高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时达标检测（四十三）双曲线-人教版高三数学试题

课时达标检测(四十三）双曲线[练基础小题——强化运算能力]1．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝________.解析：因为双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1，所以e2＝1＋eq\f(3,a2)＝4，因此a2＝1，a＝1.答案：12．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为________．解析：在双曲线中离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(3)，可得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，故双曲线的渐近线方程是y＝±eq\r(2)x.答案：y＝±eq\r(2)x3．已知双曲线C的焦点坐标为(5,0)，(－5,0)，离心率为eq\f(5,4)，则双曲线C的标准方程是________．解析：因为所求双曲线的焦点为(5,0)，(－5,0)，离心率为eq\f(5,4)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝14．(2018·海安县高三质量测试)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意eq\f(b,a)＝eq\r(3)，b2＝3a2，所以c2＝a2＋b2＝4a2，所以e＝eq\f(c,a)＝2.答案：25．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a＞0)的一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，则实数a＝________.解析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±eq\f(2,a)x.因为一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，所以eq\f(2,a)＝2，解得a＝1.答案：1[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6eq\r(6))．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－eq\f(y2,8)＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.因为|AF|＝eq\r(32＋6\r(6)2)＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF1的方程为y＝2eq\r(6)x＋6eq\r(6)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(6)x＋6\r(6)，,x2－\f(y2,8)＝1，))得y2＋6eq\r(6)y－96＝0，解得y＝2eq\r(6)或y＝－8eq\r(6)(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝eq\f(1,2)×6×6eq\r(6)－eq\f(1,2)×6×2eq\r(6)＝12eq\r(6).答案：12eq\r(6)2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为________．解析：由题意，设双曲线C的方程为eq\f(y2,4)－x2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，则eq\f(22,4)－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C的方程为eq\f(y2,4)－x2＝－3，即eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1.答案：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝13．设F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为________．解析：因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，则10a2＝4c2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,2)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2)(负值舍去)．答案：eq\f(\r(10),2)4．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．解析：由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).∵A1B⊥A2C，∴eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.答案：±15．(2018·江南十校联考)已知l是双曲线C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝0，则点P到x轴的距离为________．解析：由题意知F1(－eq\r(6)，0)，F2(eq\r(6)，0)，不妨设l的方程为y＝eq\r(2)x，点P(x0，eq\r(2)x0)，由eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝(－eq\r(6)－x0，－eq\r(2)x0)·(eq\r(6)－x0，－eq\r(2)x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6＝0，得x0＝±eq\r(2)，故点P到x轴的距离为eq\r(2)|x0|＝2.答案：26．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，则由题意得eq\f(b,a)＞2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＞eq\r(1＋4)＝eq\r(5).即双曲线离心率的取值范围为(eq\r(5)，＋∞)．答案：(eq\r(5)，＋∞)7．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的方程为________________．解析：易得椭圆的焦点为(－eq\r(5)，0)，(eq\r(5)，0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝5，,\f(b,a)＝2，))∴a2＝1，b2＝4，∴双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,4)＝1.答案：x2－eq\f(y2,4)＝18．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x＝eq\f(3,2)与两条渐近线y＝±eq\f(\r(3),3)x的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，±\f(\r(3),2))).不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(－2,0)，F2(2,0)，故四边形F1PF2Q的面积是eq\f(1,2)|F1F2|·|PQ|＝eq\f(1,2)×4×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)9．设F1，F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于______．解析：由题意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|＝|BF1|＝2eq\r(2)，所以其面积为eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4.答案：410．已知点F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值为9a，则双曲线的离心率为________．解析：在双曲线中，P为右支上一点，则|PF1|＝|PF2|＋2a，则eq\f(|PF1|2,|PF2|)＝eq\f(|PF2|＋2a2,|PF2|)＝|PF2|＋eq\f(4a2,|PF2|)＋4a≥2eq\r(4a2)＋4a＝8a(当且仅当|PF2|＝2a时取等号)，因为已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|2,|PF2|)))min＝9a，故|PF2|≠2a，在双曲线右支上点P满足|PF2|min＝c－a，则c－a＞2a，即c＞3a，故e＞3，又由eq\f(|PF1|2,|PF2|)≥9a，所以eq\f(c－a＋2a2,c－a)＝9a，解得e＝5或e＝2(舍)．答案：5二、解答题11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点(4，－eq\r(10))．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)∵e＝eq\r(2)，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵双曲线过点(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则eq\o(MF1,\s\up7(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up7(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)．∴eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3).由(2)知m＝±eq\r(3).∴△F1MF2的高h＝|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.12．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2eq\r(13)，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解：(1)由题知c＝eq\r(13)，设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))解得a＝7，m