2022届广西高三4月大联考数学（文）试题（解析版）

2022届广西高三4月大联考数学（文）试题

一、单选题

1.若z=l+2i,贝!]三二!■=()

4;

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】B

【分析】按复数的代数运算法则求解即可.

【详解】也。+22)二1—

4/4/4/i

故选：B.

【点睛】z=a+bi(a,be/?),zz=(a+bi)(a-bi)-a2+b2=\z^.

2.已知集合4={乂％40或xNl},B={x[3'<9},则AB=()

A.{x|l<x<2}B.{RxWO或14x<2}

C.{x|x<2}D.{x[04x<2}

【答案】B

【分析】解出不等式3,<9,然后根据集合的交集运算可得答案.

【详解】因为4={小40或x训，B={x|3v<9）={小<2},所以A8={小40或

1<x<2},

故选：B

3.从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，则甲、乙均不被选

中的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

10201010

【答案】C

【分析】利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.

【详解】从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，有：甲乙、甲

丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊，共10种选法，

其中甲、乙均不被选中的有3种，

所以所求事件的概率为本

故选：C

4.已知角。终边落在第二象限，且tana=-2,则sina+8sa=（）

D.9

A.-1B.1

【答案】D

【分析】根据同角三角函数基本关系可求得sine和cosa的值，即可求解.

sinac

tanex,--------=—2

【详解】根据题意cosa，因为角a终边落在第二象限,

[sin2a+cos2a=1

2石

sina=—^―j-

所以《l，则sina+cosa=——，

>/55

cosa=------

5

故选：D.

5.下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是()

A.y=cosxB.y=~T—^C.y=ln|x|D.y=T-Tx

【答案】D

【分析】根据奇函数和偶函数的定义判断各选项的奇偶性，再由余弦函数，指数函数,

对数函数的性质判断各函数的单调性即可.

【详解】V函数y=cosx为偶函数，A错，

/(-%)=In|-jj=In|x|=/(x),函数y=ln|R为偶函数，C错,

V/(-x)=7,=-/(X),函数y=f一为奇函数，

(z一工)+1r+1

12

当x=l时，y=—»x=2时，y=一,

25

函数y=在定义域上不是单调递增函数，B错，

r+1

•••f(-x)=2-'-2X=-f(x),又函数y=2*在定义域上单调递增，函数y=2-*在定义域

上单调递减,

/.函数y=2，-2T既是奇函数，又在定义域上单调递增，D对，

故选：D.

3

6.如图，4,8是两个形状相同的杯子，且8杯高度是A杯高度的不，则8杯容积与A

杯容积之比最接近的是()

AB

A.1:5B.2:5C.3:5D.1:3

【答案】A

【分析】根据两个杯子形状相同可得底面积之比为高之比的平方，因此容积之比为高之

比的立方，即可求解.

.3

【详解】因为A,8是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的《，

所以底面半径比也是:3，

所以两个杯子的底面积之比为SB：S，=^J,

所以5杯容积与A杯容积之比曳包=七］x-=—»0.2=1:5,

SA-hA\5)5125

故选：A

7.将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成

数列｛4｝，则%=()

A.130B.132C.142D.144

【答案】C

【分析】由条件确定数列的通项公式，再由通项公式求出.

【详解】1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，

这样的数构成首项为10,公差为12的等差数列，所以q=10+12(〃-1)=12〃-2,

故%=10+12(12-1)=142.

故选：C.

8.已知抛物线C：/=4》的焦点为F,准线为/,P为C上一点，过P作/的垂线，垂

足为M.若|MF|=|PF|,贝()

A.2B.V3C.4D.2上

【答案】C

【分析】由抛物线定义及已知条件知△PMF为等边三角形,进而可求1P

【详解】由抛物线的定义知：I尸尸l=|PM|,又IMFRPFI,

.•.△PM尸为等边三角形，易知：|PM|=2p=4.

故选：C.

9.按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，

到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池迎来了蓬

勃发展的风口.Pe必e”于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah）,放电时间/（单位:

h）与放电电流/（单位：A）之间关系的经验公式：C=〃1,其中〃为常数,

为了测算某蓄电池的Peukerf常数n,在电池容量不变的条件下，当放电电流/=20A时，

放电时间f=20h；当放电电流/=30A时，放电时间f=10h.则该蓄电池的Peukert常数

〃大约为（）（参考数据：怆2"0.30,lg3=0.48）

A.一B.—C.-D.2

333

【答案】B

【分析】根据题意可得C=20”.20,C=30"/0,两式相比结合对数式与指数式的互化

及换底公式即可得出答案.

【详解】解：根据题意可得C=20"-20,C=30"10,

两式相比得磊”即目4

所以"二崛_lg2_lg2..0.35

=10§2|2i2Ig3-lg20.48-0.3

g3.

故选：B.

10.甲、乙、丙、丁四位同学参加知识竞猜，一道多项选择题有A、B、C、。四个选项,

全部选对得5分，漏选得2分，错选不得分.甲选择AB；乙选择BCD；丙选择AC；

丁选择BC.已知该题四人的平均分为1.5分，则该题的正确答案为()

A.ABDB.BCDC.ABCD.AD

【答案】C

【分析】结合题意，依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，当正确答案为AB。时，甲得分为2分，乙，丙，丁得分0

分，此时均分为0.5分，故错误；

对于B选项，当正确答案为BC。，甲，丙得分。分，乙得分5分，丁得分2分，此时

平均分为1.75,故错误；

对于C选项，当正确答案为A8C时，甲，丙，丁得分2分，乙得分。分，均分为1.5

分，故正确；

对于D选项，当正确答案为4。时，甲，以，丙，丁得分均为0分，故错误.

故选：C

11.已知数列｛4｝的前"项和为5"，其中q=l,4,2%,%+3成等差数列，且

a“+i+则%=()

A.2n-lB.2n-'C.(l+Af'-lD.(1+A)"

【答案】B

【分析】由=2S“+1,利用数列通项与前〃项和的关系求解.

【详解】由已知，an+1=AS„+l,贝lJ4=2S,i+l(nN2),

a

~„=NS,-2S,i=Aan,

,,a”+i=(4+l)a”，

；•｛/｝是等比数列.

又；a,+a3+3=4a2,a3+4=4a,,

q2+4=4q,

4=2,

二«„=2nl.

故选：B

22

12.己知双曲线C:3一与=1的左、右焦点分别为K(-c,0)，E(c,0),斜率为左且过K的

ab

2

直线/交双曲线C的渐近线于A,B两点，若|小4|=|月刊，S4^+5Wjf2=|c（S"F,表

示的面积），则双曲线C的离心率为（）

A.叵B.叵C,&D.咨或巫

25222

【答案】C

【分析】利用点差法可得生列方程可得。力关系，由此可求离心率.

a

【详解】直线斜率存在，设4（与,芳）,3优,%）,（王*七），A8中点加（毛,％）,

当M在x轴上方时，由5附8+5防与=《/，得力+%=：。，则%=1c,

因为内川=优8|，所以巴故名为直角三角形，。为丹人的中点，

所以|。叫=g|耳玛卜c,所以/=土乎.

%y=o

由/~62（乂+%）（乂一%）

由自学J/EWF'即％•%=/.

当”（13gc）时，&A0==4c5（_-=§，k<>M=］，

kOM^AB=7Xo=_J所以U=——=I+—=7，所以6=丁・

43aaaa42

九

当M〔一gc，jc）时，=k-MR=-4c§（^^=3'^OM=-Z

3b1

自防•&=-：x3=r，矛盾，舍去，

当M在X轴下方时，同理可求得6=正

2

综上所述6=正.

2

故选：C.

二、填空题

13.已知向量a=（l,a），。=（3,-2）,且（a+®_L力，贝ljm=.

【答案】8

【分析】根据题意，由向量坐标的加法运算可得:+力=（4,m-2）,再利用向量垂直与向

量数量积的关系分析可得。+））：=4X3+（m-2）x（-2）=0,即可解得〃?的值.

【详解】根据题意，向量。=（1,“），人=（3,-2）,则4+斤（4,〃?一2）

Prr

由（〃+。）J_Z?,可得（4+4力=4、3+（帆一2）乂（-2）=0,

解得机=8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查向量坐标的加法运算，数量积的坐标计算公式，关键是掌握向量垂直

与向量数量积的关系，属于基础题.

x+l>0

14.若实数x,y满足约束条件r-yVO,则z=x-gy的最小值是.

2x+3y-l<0—

3

【答案】

【分析】作出约束条件所表示的可行域，再利用直线截距的几何意义，即可得答案.

x+l>0

【详解】画出满足约束条件卜的可行域，如图所示.

2x+3y-l<0

目标函数z=x_gy化为y=2x-2z.

X=-1r

由21,解得.“二,则A（-U）.

y=——x+-y=l

33i

13

当直线y=2x—2z过点A时，z=x—3y取得最小值为一万.

—・3

故答案为：-]

15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是

12

俯视图

【答案】14万

【分析】根据三视图还原几何体为一个三棱锥，再补形为长方体，利用三棱锥与长方体

共一个外接球可求出结果.

【详解】依题意，所给三视图的原几何体是三棱锥R-4BC,如图,

将三棱锥2-ABC补形成长方体ABC。-A4c2,其长宽高分别为1,2,3,

三棱锥2-ABC与长方体ABC。-agCQi有同一个外接球,

71+22+32V14

则球半径为R=；BD}=---------------

22

所以外接球表面积S=4乃K=]4%.

故答案为：14万.

16.若直线y=辰+〃是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+2)的切线，则

b=________

【答案】1

【分析】设出函数y=lnx+2的切点，对函数求导，求出曲线y=lnx+2的切线方程,

同理求出曲线)，=ln(x+2)的切线方程，根据题意这两条切线方程与直线y=重合

进行求解即可.

【详解】曲线y=lnx+2的切点坐标为：区,必)，因此有y=ln&+2

y=/(x)=Inx+2=>/'(x)=^=>/'(x,)=^-,所以过该切点的切线方程为：

广,」。-芯)？y—x+ln.r,+1,

占x,

曲线y=ln(x+2)的切点坐标为：(%，%)，因此有为=1"々+2)

11

产g(x)=ln(x+2)og(x)=--=g(x2)=-------,所以过该切点的切线方程为：

x+2x2+2

y-%=—^(x-七)？y-^―x+ln(x2+2)-由题意可知：

x2+2x2+2x2+2

f11fx,=l

k,=——=---------

X)x2+2x2=-l

J

Z?=Inx,4-1=ln(x9+2)-----—"

x2+2k=\

故答案为：1

【点睛】本题考查了两条曲线公切线问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能

力.

三、解答题

1jr27r

17.如图在四边形ABCD中，cosZABC=-,NADC=—，ZBAD=—,AB=5,BC=1.

763

(1)求NS4C；

(2)求四边形488的面积.

【答案】(1)NBAC=?

⑵426

【分析】(1)在一43c中，根据余弦定理求出AC,再根据正弦定理可求出结果;

(2)根据三角形的面积公式可求出结果.

【详解】(1)在一ABC中，由余弦定理知：

AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC=25+49-2x5x7x1=64,

7

BCAC

AAC=8,由正弦定理知

sinZ.BACsinZ.ABC'

因为COSZ4BC=L,所以sinNA8C=Jl-cosZBC=

7

7_8

sinNBAC_46,/.sinABAC=—.

亍2

又NBAD=g,:.乙BAC=g

TTTTrr

(2)由(1)知NC4£>=§,ZADC=-・,・NACO=—，AD=2AC=16,

6f2

，四边形A3C£>的面积为：S^D+S^BC=^xl6x8xsiny+^-x5x8xsiriy=42>^.

18.自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产.某医疗器

械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，并将所得数据分成五组并绘制出如图所

示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.

（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数（结果写成分数的形式）；

（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机

抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如下表：

工龄X（单位：年）4681012

生产速度y（单位：件/小时）4257626267

根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的回归方程y=6x+a，并据此估

计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度.

附：回归方程卜=区+4中斜率和截距的最小二乘估计公式为：》=J----——,

x

E1=1(--4

a=y-bx-

【答案】(1)罟455

(2)80件/小时

【分析】(1)先利用等差数列的通项公式和频率分布直方图各矩形的面积之和为1求出

各组频率，再利用频率分布直方图求中位数；

(2)先求出7、亍，利用最小二乘法求出回归直线方程，再进行预测其生产速度.

【详解】(1)解：设前4组的频率分别为％,生，%，%，公差为d，

a=0.16

由频率分布直方图，得2

4+a,+/+q=1—0.16—0.84

4+d=0.16\a,=0.06

即4q+6d=0.84’解得［d=0.1

则a1+a2+%=0.48,%=0.36,

,“0.5-0.48s455

所以中位数为50+--------xl0=—.

aA9

(2)解：由题意，得［=］(4+6+8+10+12)=8,

-1

y=-(42+57+62+62+67)=58,

、一4x(-16)+(-2)x(-l)+0x4+2x4+4x911

由所给公式，得以(5+(—)4+4舒一=1.

S=y-》x=58-Ux8=36,

4

所以回归直线方程为§=?x+36,

4

则当x=16时，y=80，

即估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度为80件/小时.

19.已知函数f(x)=gx3-f+2.

⑴讨论函数“X)的单调性；

⑵求函数f(x)在区间[a,a+l](q>0)的最大值.

【答案】⑴函数/(X)在(Y>,0),(2,心)单调递增，在(0,2)单调递减

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】(1)求导由/'(x)>0,/'(x)<0求解；

(2)根据(1)的结论，分0<a«l,l<a<2,a>2,讨论求解.

【详解】(1)解：/(力=/-2x=x(x-2),

当x<0或x>2时，/,(x)>0；

当0<x<2时，f(x)<0；

•••函数〃x)在(e,0),(2,y)单调递增，在(0,2)单调递减；

⑵由(1)知当0<々41,函数“X)在区间［4M+1］单调递减，

”("皿=，(")=#-/+2,

当l<a42,函数〃x)在区间［a,2］单调递减，在［2,a+l］单调递增，

］q?I4

/(4+l)=§(a+l)-(a+1)-+2=-tz5-a+-,

〃a+l)-/⑷=片一""|

①当1<04三弃时，〃a)N〃a+l),,/⑺=/(〃)=93_/+2,

6J

x3

②当3+y5时,〃a)v/(a+l),f()maK=/(^+1)=^-^+^,

633

当〃>2时，函数在区间+单调递增，

14

•••/(xLrS+DW'Ja+l

综上所述，当0<a£三普时，/(x)a=；a3-〃+2,

3

当时，/(x)^-a-a+-

20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AD1.CD,AD//BC,尸DJ_平面A88,

E是P8的中点，PC与平面A£>E交于点尸，BC=DC=PD=2AD=2.

(1)求证：尸是PC的中点；

4PM

(2)若M为棱尸。上一点，且直线B4与平面E/必所成的角的正弦值为：，求尧■的值.

【答案】(1)证明见解析

cPM1„3

(2)----=_或_

PD44

【分析】(1)由线面平行的判定与性质可得5C//M,即可得证；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法由线面角公式求解即可.

【详解】⑴因为4J//8C,

ADa平面PBC,BCu平面PBC,

所以AD〃平面PBC.

因为AOu平面的>E,平面ADEc平面P3C=EF,

所以AD//EF.

所以BC//EF.

因为点E是PB的中点，

所以点P是PC的中点.

(2)因为P£)_L平面ABC。，AROCu平面A8CD,

所以PD_LAQ,P£>_LC£>.

由ADLCO,如图建立空间直角坐标系。-型，

x

则A(1,O,O),5(2,2,0),C(O,2,O),P(0,0,2),E(l,l,l),F(0,l,l),

£F=(-1,0,0).pb=(0,0,-2)>EP=(-1,-1,1)，PA=(1,0,-2).

设PG=4P3=(O,0,-22),04241,

所以或=E%+尸卷1-2/1).

设平面EFM的一个法向量为n=(x,y,z)，

ri-EF=0,-x=0,

则即《

n-EM=0,-x-y+(l-22)z=0.

令z=l,则y=l—2/1,所以w=(0,l-2/U).

——>

T

,C,\A?,PA

所以cos(”,PA)==-----z

Inl-I^l国(T/lf+l

设直线PA与平面EFM所成的角为9,

—>—>24

则sin6=costn,PA

后J(l_2"+15y

13

解得：石;或2

44

PM\PM3

所rrr以I方二或下力

22

21.已知椭圆+[=1的焦点为尸（2,0）,长轴长与短轴长的比值为0.

a~b~

⑴求椭圆M的方程;

⑵过点尸的直线/与椭圆M交于A8两点，8。，不轴于点。，AOLx轴于点O,直线

8。交直线x=4于点£,试证明ECD与的面积相等.

22

【答案】（1）^--H—=1

84

（2）证明见解析

【分析】（1）根据椭圆长短轴的定义得到/=2〃，结合c=2,a2=b2+c2,求出/和

/可得结果;

（2）设直线/的方程为y=Mx-2）,设4（司/）,8（々,必），联立得

（1+2产卜2-8rx+（8公—8）=0,根据韦达定理得玉+七和玉%，利用斜率公式推出

C,A,E三点共线，并根据三点共线可证结论成立.

【详解】⑴由题设，应,所以〃2=2凡

又因为c=2,a2=b2+c2,所以2Z?2=〃+4,解得。2=4,〃2=8,

22

所以椭圆M的方程为二+二=1.

84

⑵由题意可知，直线/斜率存在，设直线/的方程为y=z（x-2）,

由I；：；；：2；'得（1+2公尸_8心+（8&2_8）=0,

设4（4,凶）,3（々,%），则为+三=言\'中2=苧浸

1+NK1+2.K,

因为AOJ_x轴，所以。（%,0）.

直线8。方程为y=六（一3所以人喷川

y匕二.(4-xJ

因为8c_Lx轴，所以C（&,0）,kAC

飞一9'"(X2-A,)(4-X2)'

为(1J)

所以“£C—MlC

(X,-^)(4-X2)X,-X2

必(4_xJ+y(4_&)么(々_2)(4一3)+%(用_2)(4_々)

(X2-XI)(4-X2)(X2-X,)(4-X2)

=(“x；(4_j[6W2平2-16]=qUj]恚一品—8

T6k3攵2_公+1_[-2公

2

(x2-^I)(4-X2)\+2k

所以Mx=砥c，所以CAE三点共线，因为BC//AO,所以S^=S.c

所以SgCD=0心网.

一fx=l+costz

22.在直角坐标系x。），中，曲线C的参数方程为｛（a为参数），在以坐标原

[y=sma

点。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为

/?sin（9+（）=2\/2.

（1）求曲线C的普通方程与直线/的直角坐标方程；

（2）过原点且倾斜角为锐角的直线与曲线C,直线/分别交于A,8两点，且2|。4|=|。用，

求该倾斜角的值.

【答案】