2021届高中数学综合、交汇习题集23

《2021届高中数学综合、交汇习题集30篇》

在这套习题中，我们仅仅关注高中数学知识之间的跨界组合、综合交汇的

考查。它们也许是数列与函数的交汇、也许是函数与几何的交汇、也许统计与

圆锥曲线的交汇、也可能是基本不等式与解三角形的交汇……

第23篇

1

1.(多选)设O，4，B是平面内不共线的三点，若OC—OA+”08(〃=1,2,3),则下列选项正确的

是()

A.点G，c2,C3在同一直线上B.==

C.0C1•OB<OC2.OB<OC3,OBD.0C1,0A<0C?,0A<0C^,0A

2.(多选)在直角坐标系内，由A,B,C,。四点所确定的〃N型函数〃指的是三次函数

f(x)^axi+bx2+cx+d(a^O),其图象过A，O两点，且/(x)的图像在点A处的切线经过点B,

在点O处的切线经过点C.若将由4(0,0),8(1,4),C(3,2),。(4,0)四点所确定的"N型函数"记为

y=”x)，则下列选项正确的是()

A.曲线y=f(x)在点D处的切线方程为y=-2x+8

B./(x)=1x(x-4)(x-8)

8

C.曲线y=/(x)关于点(4,0)对称

D.当44xW6时，/(x)>0

3.“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，

学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧QHT是一个以。点为圆心、QT为直径的半圆,

QT=60G米.圆弧QST的圆心为p点，尸。=60米，圆弧QRT与圆弧QST所围成的阴影部分为月牙

泉的形状，则该月牙泉的面积为平方米.

Q

4.假设苏州肯帝亚球从在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于P,其中0<夕<1,且各场比赛互不

影响.令X表示连续9场比赛中出现输球的场数，且令P*代表9场比赛中恰有人场出现输球的概率

P(X=Z).已知〃+〃45,则该球队在这连续9场比赛中出现输球场数的期望为.

45=。"6---------------

2

5.(多选)若〃x)满足对任意的实数4，。都有〃a+与=/(a)/e)且/⑴=2,则下列判断正确的

有()

A./(X)是奇函数

B./(无)在定义域上单调递增

C.当xe(O,+8)时，函数

D.fm+./I£l+£(6)+...-/(2016)+./(2018)+./(2020)_

'/(I)/(3)*5)/(2015)/(2017)/(2019)

22

6.定义运算"(g)",(x,yeR,孙HO).当x>0,y>0时，x®y+(2y)8x的最小

值为______

7.设ae，oo,l],b&R,g(x)=G?-x,xe[-l,l],则g(x)的值域是，函数/"(x)=咨(x)-/

l可——I।

2

在[-1,1]的最大值鼠，则〃+〃的值是

3

8.[x]表示不超过X的最大整数，已知函数/(x)=x-[x],有下列结论：①/(x)的定义域为R；

②“X)的值域为[0,1]；③"X)是偶函数：④/(x)不是周期函数；⑤/(x)的单调增区间为

(k,k+l)(kwN).其中正确的个数是()

A.3B.2C.1D.0

9.已知正三棱柱ABC-A与G的体积为54,AB=6,记三棱柱ABC-A£G的外接球和内切球分别

为球«,球。2,则球。।上的点到球。2上的点的距离的最大值为()

A.2y/3B.715+273c.4-出D,巫+出

10.已知关于X的不等式上土也匕>inx在(0，+<冲上恒成立，则实数力的取值范围为()

X+1

A.B.(e,+oo)C.^0,1]D.(0,e)

LJ[J

x2y2FF

11.已知椭圆C：/+庐=l(Q>0>0)的左、右焦点分别为I，2,点M，N是椭圆。上关于原点

对称的两点，若NMEN2150。恒成立，则椭圆。的离心率的取值范围为.

3

12.己知函数f（x）=e'-ar（aeR）有两个零点无，x（x<x）,则有下列结论：①a>e；②0cx<1；

12121

③电>1；®xt+x2>2.正确结论的是（）

A.②③④B.①③④C.①②③D.①②③④

fV1riYl

13.设集合A=〈（x,y）x2+—=1>,3=〈(x,y)y=|_|则AnB的子集的个数是（）

14J1⑷J

A.4B.3C.2D.1

14.己知UABC中，AB=4,AC=4JJ，8c=8,动点尸自点。出发沿线段CB运动，到达点8时

停止，动点。自点8出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点。的速度是动点尸的2倍.若二者同

时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中AP-A。的最大值是（）

749

A.—B.4C.—D.23

22

12.（多选）如图，在直三棱柱A6C—A5G中，A41=AC=2,A2=3,N84C=90°，点O,E分

ECDC

别是线段BC,8C上的动点（不含端点），且—=_，则下列说法正确的是（）

1B.CBC

A.EDH平面ACQ

B.四面体A-BDE的体积是定值

C.异面直线与AA所成角的正切值为Ji百

II

2

4

D,二面角A-EC-D的余弦值为—

13

4

《2021届高中数学综合、交汇习题集》第23篇参考答案

1.【答案】AC

【解析】利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案；

【详解】

而=OQ-证=(^4+2OB^(04+6F)=而，

0C1-0Q=4彳13丽?d(A+2OB^OF7所以GG=C2C3,A正确.

由向量加法的平行四边形法则可知8不正确.

0C2-0A-0G•0A=0A-0B，无法判断与0的大小关系，而

■■■■・■■■・/■■■»■■■.\■■■■■■■•■■■•■■■，22

0C,OB=<QA+OBpB=OAOB+OB,OC2OB=（0A+2OB）OB=OAOB+2OB,

同理0。3・08=。4-08+308，所以C正确，。不正确.

故选：AC.

2.【答案】ABC

【解析】A.根据函数在点。处的切线经过点C,利用点斜式求解判断；B才艮据/(X)的图象过点A(0,0)及

D(4,0),设/(x)=x(x—4)0+机)(其中丘0),然后再利用r(0)=4,尸(4)=2求解判断;C.

由B得到/(x)+/(8—x)=0判断；D.由B结合4Wx46,有X—420,x—8<0判断.

【详解】

因为直线CO的斜率为^_=—2,所以CO的方程为丁-0=-2(九一4),即y=-2x+8,所以A正确.

4-3

因为/(龙)的图象过点A(0,0)及0(4,0),所以/(x)有两个零点0,4,故可设

/(x)=x(X-4)(kx+(其中女w0),则/'(x)=依(x—4)+(kx+m)(2x-4),由/,(())=4.

/'(4)=2,得机=一1,k=],所以/(x)=1x(x-4)(x-8),故B正确.

88

由选项B可知，/(x)+/(8-x)=0,所以曲线y=/(x)关于点(4,0)对称，故c正确.

当44xW6时，有x—420,x—8<0,所以/(x)K0,故D不正确.

故答案为：ABC.

5

3.【答案】150^4-900^

【解析】连接P。，利用题目所给条件结合解三角形知识解出NQP。，从而得出NQPT的大小，则根据

题意可知，该月牙泉的面积为半圆QRT的面积减去弓形QST的面积，然后计算各部分的面积作差即可.

【详解】

如图所示，连接PO,易知PO1QT,

因为sinNQPO=,所以/。「。=二/-QPT—_L

T33

则弓形QST的面积为：s=[x乜6()2-6()2x义，

12322

又半圆QRT的面积为：S2=1x^x(30

所以月牙泉的面积为：

S-S-S=』x；zx(303)2--6()2—，x6()2x/=150/900

I22J13X22I；3(平方米).

故答案为：150处9006

4.【答案】—

5

2

【解析】利用二项分布列出等式，解方程求出p=_，再根据E(X)=秋即可求解.

5

【详解】

由题意知P(X=A)=C»(l-p)9”,因为P+〃=?〃，

945g6

所以C4P4(1-pY+C5P5(_p)4=、6p6Q_pj,

99T9

2]Q

化简得15p?+4p-4=0,解得p=__,从而E(X)=np_=.

55

6

故答案为：一

5

5.【答案】BCD

【解析】利用新定义结合函数的性质进行判断.计算出/(I)判断A;先利用/(I)=2>1证明所有有理数P,

有/(p)>l,然后用任意无理数4都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得了(q)〉l,这样可

/(2〃)

判断C,由此再根据单调性定义判断B,根据定义计算定——(neTV),然后求得D中的和，从而判

断D.

【详解】

令。=02=1,则/⑴=/(1+0)=/(1)/(0),即2=2/(0),"(0)=1,/(X)不可能是奇函数，A

错；

对于任意xeR,/(%)*0,若存在％eR,使得/(/)=0,则

/(0)=/(%,>+(一/))=/(尤。)/(一%)=0，与/(0)=1矛盾，故对于任意xeR，/(x)=0，

・74•羊万音O一、r(Xx\(x}fx}「,「x'L八

••对十任意XER,f(x)=f+=ff=f>0,

k--⑷3[⑴」

ii

•.•/(1)=2>1,.•.对任意正整数〃，/।++…+f2>1,

14一二-----n「‘Ifi\.......1.1

I''।、巴1么I,L(力

U

同理/(〃)=/(1+1+…+1)=/(1)/⑴…/⑴=2"〉\,

对任意正有理数P,显然有夕="(，"，〃是互质的正整数)，则/(p)=于(m、「(i]T">i,

LftJj

〃

对任意正无理数4,可得看作是某个有理数列〃…的极限，而八p)>l，iwN,：.f⑷与f(Pi)

的极限，.../(q)>1，

综上对所有正实数x,有〃x)>l,c正确，

设xt<x2,则x2-x,>0，,/(尤2—匹)>1,则/(々)=/(再+(々一再))=/(z),/(々一再)>/(再)，

7

...f(x)是增函数,B正确;

由已知人吁心—(21)/⑴=2/(21)，，悬=2,

.〃2)+〃4)+/(6)+〃2016)+〃2018)J2020)=2+2+.T2=2X1010=2020,D正

1

"A)"3)/(5)/(2015)/(2017)/(2019)101^2

确.

故选：BCD.

6.【答案】垃

【解析】根据新定义，把x③y+(2y)区x用通常的运算表示，然后用基本不等式求得最小值.

【详解】

£_y24y2—x23X2+2y2xy；------

由题意x+(2y)Nx=______+_______=______+_>2±.匕=立，当且仅当

xy2xy2xy2yx\2yx

xy

.=~»即x=J2y时等号成立.

2yx

...所求最小值为0.

故答案为：及.

7•【答案】［a—1,1—a］1

9

【解析】求出导数g'(x),由已知条件得g(x)W0,从而确定g(x)的单调性，得函数g(x)值域，由最大

(2

2/㈠鼻

值得/■(工)《今恒成立，从而12，由此化简变形后求得得/+及，

/(1)<

〔?

【详解】

由题意g'(x)=3<zx2—1,；a(>xG［—1,1］,gr(x)—?>ax2—1<0»g(x)在［—1,1］上单调递减，

3

g(X)max=g(—D=1一。，g(X)min=g(D=a—l，

...g(x)值域为［a-1,1-a］；

的最大值是22

函数/(x)=|g(x)-『在［T,l］即/(x)W在［T［］上恒成立,

33

8

2

/(-1)=[Q+1—乍

$,两式相加得|4

—ci+1—q+i〃+1一句〈,

2

<2-1-b<_3

W)斗13

415

又|-4+1—,+1—勺2,Q-2|2^Z-2i<_,解得_,

1333

又<a<_9a=\,

33

3+1一生2[242/<4

可得《忖52，即仁-性’解叽二小：.b=Q,

13|3[I3I3I3

：.a2+b2=L.

9

故答案为：[a—1,1—a]；_.

9

8.【答案】C

【解析】直接根据解析式可知①正确：根据周期函数的定义可知④不正确；求出值域为[0/)，可知②不正确;

举特值可知③不正确；根据当xe[O,l)时，函数/(x)=尤为增函数，且函数〃x)的周期为1,可知

⑤不正确.

【详解】

因为函数/(x)=x—[x|,所以/(x)的定义域为R,故①正确；

因为/(x+l)=x+l-[x+l]=x+l-[x]-1=x-[x]=/(x),

所以/(X)是周期为1的周期函数，故④不正确；

当OWx<l时，/O)=x—[x]=x-0=xe[0,l),当X=1时，/(%)=1-[1]=1-1=0,

所以当OWxVlH寸，/(x)e[0,l),

根据周期为1可知，Ax)的值域为[0,1),故②不正确；

因为/(0.2)=0.2-[0.21=0.2-0=0.2,/(—0.2)=-0.2-[-0.2]=-0.2-(-1)=0.8,

所以/(0.2)牛/(-0.2),所以函数/(x)不是偶函数，故③不正确；

因为当xc[0,l)时，函数/。:)=%为增函数，且函数f(x)的周期为1,

9

所以函数/(X)的单调增区间为(上火+1)伏eZ),故⑤不正确.

所以①正确，②③④⑤不正确.

故选：C

9.【答案】D

【解析】由正三棱柱ABC-A与G知外接球与内切球的球心重合，两球面上点的最大距离为d=R+r,

根据底面外接圆的半径与侧棱长即可求外接圆半径R,内切圆的半径r为侧棱长的一半，即可求距离d最

大值.

【详解】

由题意知：正三棱柱ABC-ABC的底面积S=)x62xsin60°=9G且底面外接圆半径

r=6=2巧,而正三棱柱ABC-ABC的高〃=丫=54

'2sin60。飞93，

...外接球半径R=］尸+§=巫,若设内切球半径为一，则有：八白道,

•.•正三棱柱A8C-A产的外接球与内切球的球心重合，知：当两球上的点在过球心的直线上且在球心

两侧时距离最大，

...最大距离d=R+r=厉+君

故选：D

10.【答案】A

【解析】不等式整理为(T+l)lne*>(x+l)lnx,构造函数〃x)=(x+l)lnx,求导函数判断原函数单

调性，再取对数变量分离，再求导函数进而求最值.

【详解】

由一(")ln，〉］nx，得(1+l)ln*>(x+l)lnx,构造函数/(x)=(x+l)】n光，

X+1

则/(d)〉/(x)

r(x)=lnx+l+1,7(x)=1-11

xxx2x2

当X£(0,l)时，/f(x)<0,当X£(l,+8)时，/z(x)<0

(x)mi„=r(1)=2>0,所以/(x)在(0,+勾上单调递增，

10

得尤，Ax>Inx,在(0,+。)上恒成立，

X

5/\Inx，/、1-Inx

设g(x)^_,g(x)=,

XX

当xe(0,e)时,g(x)>0,g(x)单调增，

当xe(e,+oo)时，g，(x)<0,g(x)单调减,

g(x)=g(e)=J，所以小1

maxee

故选:A.

ii、【答案】(o,#-g

4

【详解】

因为点M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，所以四边形MQN工为平行四边形，

因此由150。恒成立得/居30°恒成立，

设B为椭圆短轴端点，则/产产后2/居加尸2,因此只需/尸产工《30。

因为sin3%=%=f=eeKsin15-=sin(45°一30°)=产一平

2BF{a4

椭圆c的离心率的取值范围为(o,加二31

4

故答案为：(0,诙二啊

4

12.【答案】D

【解析】根据/W在x40上恒正且在定义域上有两个零点，则极值必小于0即可推断a>e,又/(I)<0

进而可得0<西<1,々>1,修+々>2可知正确选项.

【详解】

函数/W有两个零点为，々(王<9)，知：/(X)存在极值点，

而/'(X)=e即—4=0,有X=111。且。>。，可知：入<0时/(1)>。，

00

/(Ina)=a-a\na<0t即a>e,又/(l)=e-a<0,

ii

Ie'-ax.

/.0<x<1,x>1,且《,即x+x=2In67+ln（xx）>2

I2...1212

2

[e-ax2

故选：D

13.【答案】A

【解析】由题意，集合4表示椭圆，集合8表示指数函数，画出图形，数形结合可得答案.

【详解】

[/1fnvl

集合A=＜（x,＞）/2+—=1},B=〈（x,y）y=\_|＞,

[4J["

2y

X+-t^r-=1

J画出图形如图:

v_rni

飞I

由图可知，AC5的元素有2个，则AA8的子集有2?=4个，

故选：A

14.【答案】C

【解析】由题意BQ=—2CP,AB1AC,ZABC=60°,ZACB=300,故

AP-AQ=（AC+CP）（AB+3Q）,展开可得关于|c/|的一元二次函数，配方，即可求得AP-AQ的最

大值.

【详解】

□ABC中，A8=4，AC=46,BC=8,

AB2+AC2=BC2,:.ABIAC,ZABC=60°,ZACB=30°.

由题意BQ=-2CP，

：.AP^AQ=（4C+CP）^B+BQ^AC^AB+AC^BQ+CF^AB+CP^BQ

=0+|AC卜2cp.os30°+,尸汗台"s60°+中一^CPcc|sl80o

12

—•「49

.•.当yq=〈时，AP-AQ取得最大值，最大值为宝.

故选：C.

12.【答案】ACD

【解析】说明四边形BCCM是矩形，然后证明ED//BBX//AAX,推出ED〃平面ACC-判断A；设

ED=m,然后求解四面体A-BOE的体积可判断B；说明异面直