2018年广东省中考数学试卷及答案详解

2018年广东省东莞市中考数学试卷

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选

项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.

1.（3分）（2018•东莞市）四个实数0、1,—3.14、2中，最小的数是（）

C.-3.14

2.（3分）（2018•东莞市）据有关部门统计，2018年“五一小长假"期间，广东各

大景点共接待游客约14420000人次，将数14420000用科学记数法表示为（

）

A.1.442xl045*7B.0.1442xl07C.1.442xl08D.0.1442xl08

3.（3分）（2018•东莞市）如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主

视图是（）

4.（3分）（2018•东莞市）数据1、5、7、4、8的中位数是（）

5.（3分）（2018•东莞市）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图

形的是（）

A.圆平行四边形D.等腰三角形

（3分）（2018•东莞市）不等式3x-L.x+3的解集是（

A.冗，4B.x.AC.其，2D.X..2

7.（3分）（2018•东莞市）在AABC中，点0、E分别为边A3、AC的中点，则

ZVLDE与AABC的面积之比为（）

8.（3分）（2018•东莞市）如图，AB//CD,则N£）£C=100。，NC=40。，则N8

的大小是（)

B.40°C.50°D.60°

9.（3分）（2018•东莞市）关于x的一元二次方程/一3%+m=0有两个不相等的

实数根，则实数m的取值范围是（）

9

A.m<—B.姓4-c."2D.m...-

444

10.（3分）（2018•东莞市）如图，点P是菱形ABC。边上的一动点，它从点A出

发沿在3-Cf。路径匀速运动到点。，设APA。的面积为y,尸点的

运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为（）

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11.（4分）（2018•东莞市）同圆中，已知所对的圆心角是100。，则A8所

对的圆周角是.

12.（4分）（2018•东莞市）分解因式：f-2x+l=.

13.（4分）（2018•东莞市）一个正数的平方根分别是x+1和％-5,则》=.

14.（4分）（2018•东莞市）已知&-）+|b-1|=0,则a+l=.

15.（4分）（2018•东莞市）如图，矩形ABCD中，BC=4,CD=2,以A£＞为

直径的半圆。与8c相切于点E,连接BD,则阴影部分的面积为一.（结

果保留兀）

0

16.（4分）（2018•东莞市）如图，已知等边AOAg,顶点&在双曲线y=Y^（x〉0）

X

上，点用的坐标为（2,0）.过用作交双曲线于点A2,过为作

4约//A4交x轴于点打，得到第二个等边融出打；过作坊&//44交

双曲线于点人,过A,作&&//4与交x轴于点,，得到第三个等边A82A3B3；

以此类推，…，则点&，的坐标为—.

17.（6分）（2018•东莞市）计算：|-2|—2018°+（g）T

18.（6分）（2018•东莞市）先化简，再求值：型.或应，其中。=@.

a+4a'-4a2

19.（6分）（2018•东莞市）如图，8。是菱形ABC。的对角线，NCBD=75°,

（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线石/，垂足为E,交AD于尸；（不

要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接8/，求/DBb的度数.

20.（7分）（2018•东莞市）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的

单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与

用4200元购买5型芯片的条数相等.

（1）求该公司购买的A、8型芯片的单价各是多少元？

（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条

A型芯片？

21.（7分）（2018•东莞市）某企业工会开展"一周工作量完成情况"调查活动，

随机调查了部分员工一周的工作量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如

图1和图2所示的不完整统计图.

（1）被调查员工的人数为人:

（2）把条形统计图补充完整；

（3）若该企业有员工10000人,请估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”

的员工有多少人？

却图2

22.（7分）（2018•东莞市）如图，矩形ABC。中，AB>AD,把矩形沿对角线AC

所在直线折叠，使点5落在点E处，AE交CD于点、F,连接。E.

（1）求证：

（2）求证：ADE/是等腰三角形.

23.（9分）（2018•东莞市）如图，已知顶点为。（0,-3）的抛物线y=o?+伏。工0）

与x轴交于A,8两点，直线y=过顶点C和点8.

（1）求加的值；

（2）求函数y=ox2+83/0）的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M,使得NMC3=15。？若存在，求出点M的坐标;

24.（9分）（2018•东莞市）如图，四边形438中，AB=AD=CD,以A3为

直径的。0经过点C，连接AC、QD交于点E.

（1）证明：OD//BC；

（2）若tanNABC=2,证明：D4与。。相切；

（3）在（2）条件下，连接8。交。。于点八连接£/，若BC=1,求EF

的长.

25.（9分）（2018•东莞市）已知RtAOAB,ZOAB=90°,/4BO=30°,斜边

0B=4,将RtAOAB绕点。顺时针旋转60。，如图1,连接BC.

(1)填空：NOBC=°；

(2)如图1,连接AC,作垂足为P,求OP的长度；

(3)如图2，点M,N同时从点。出发，在△0为边上运动，M沿。-C->3

路径匀速运动，N沿0->3-C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已

知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运

动时间为x秒，AOMV的面积为y,求当x为何值时y取得最大值？最大值为

多少？

图1备用国

2018年广东省东莞市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选

项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.

1.（3分）四个实数0、-3.14、2中，最小的数是（）

3

A.0B.-C.-3.14D.2

3

【考点】2A：实数大小比较

【专题】1：常规题型

【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实

数绝对值大的反而小，据此判断即可.

【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得

-3.14<0<-<2,

3

所以最小的数是-3.14.

故选：C.

【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是

要明确：正实数〉0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小.

2.（3分）据有关部门统计，2018年"五一小长假"期间，广东各大景点共接待游

客约14420000人次，将数14420000用科学记数法表示为（）

A.1.442xl07B.0.1442xl07C.1.442xl08D.0.1442xl08

【考点】1/：科学记数法-表示较大的数

【专题】28：探究型

【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本

题得以解决.

【解答】解:14420000=1.442xlO7,

故选：A.

【点评】本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数

法的表示方法.

3.（3分）如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（)

【考点】U2：简单组合体的三视图

【专题】55F：投影与视图

【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可.

【解答】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是8中的图形,

故选：B.

【点评】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是

分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形.

4.（3分）数据1、5、7、4、8的中位数是（）

A.4B.5C.6D.7

【考点】W4：中位数

【专题】542：统计的应用

【分析】根据中位数的定义判断即可；

【解答】解：将数据重新排列为1、4、5、7、8,

则这组数据的中位数为5

故选：B.

【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力.中位数是将一组数据从小到

大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），

叫做这组数据的中位数.

5.（3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.圆B.菱形C.平行四边形D.等腰三角形

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形

【专题】1：常规题型

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

8、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

。、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是

寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对

称中心，旋转180度后与原图重合.

6.（3分）不等式3x-L.x+3的解集是（）

A.x„4B.x..4C.2D.x..2

【考点】C6：解一元一次不等式

【专题】11：计算题；524：一元一次不等式（组）及应用

【分析】根据解不等式的步骤：①移项；②合并同类项；③化系数为1即可得.

【解答】解：移项，得：3x-x..3+l,

合并同类项，得：2x..4,

系数化为1，得：x.2,

故选：D.

【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式

的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为L

7.（3分）在AABC中，点。、E分别为边AB、AC的中点，则AA0E与A48C

的面积之比为（）

A.—B.—C•—D■—

2346

【考点】KX：三角形中位线定理；S9：相似三角形的判定与性质

【专题】55D：图形的相似

【分析】由点。、E分别为边AB、AC的中点，可得出。E为AABC的中位线,

进而可得出DE//3c及AADESA43C,再利用相似三角形的性质即可求出

AADE与ZVLBC的面积之比.

【解答】解：.点D、E分别为边A3、AC的中点，

.♦.OE为AABC的中位线，

..DE//BC,

..-----(---)———.

S^BCBC4

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用三角

形的中位线定理找出OE//BC是解题的关键.

8.(3分)如图，AB//CD,则/D£C=100。，ZC=40°,则ZB的大小是(

A.30°B.40°C.50°D.60°

【考点】JA-.平行线的性质

【专题】551：线段、角、相交线与平行线

【分析】依据三角形内角和定理，可得ND=4()。，再根据平行线的性质，即

可得到NB=NZ)=4()。.

【解答】解：•.ZDEC=100。，ZC=40°,

ZD=40°,

又•.AB!/CD,

ZB=NO=40。，

故选：B.

【点评】本题考查了平行线性质的应用，运用两直线平行，内错角相等是解题

的关键.

9.（3分）关于x的一元二次方程V-3x+〃?=0有两个不相等的实数根，则实数

的取值范围是（）

9c9一9r9

AA.m<—B.nt,—C.m>—D.m..r~

4444

【考点】A4：根的判别式

【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于加的不等式，求出川的取

值范围即可.

【解答】解：关于x的一元二次方程d-3x+根=0有两个不相等的实数根，

/\=b2-4ac=（-3）2-4xlx>0,

9

：.m<—.

4

故选：A.

【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）

△>o=方程有两个不相等的实数根；（2）a=oo方程有两个相等的实数根;

（3）△<0o方程没有实数根.

10.（3分）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在

Af。路径匀速运动到点£>,设APAD的面积为y,P点的运动时

间为x，则y关于x的函数图象大致为（）

yy4

【考点】E7：动点问题的函数图象

【专题】31：数形结合

【分析】设菱形的高为〃，即是一个定值，再分点P在A3上，在BC上和在CD

上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择

答案即可.

【解答】解：分三种情况：

①当P在43边上时，如图1,

设菱形的高为〃，

y^-AP.h,

2

AP随x的增大而增大，〃不变，

，y随x的增大而增大，

故选项。不正确；

②当P在边BC上时，如图2,

y=—AD»h,

-2

和力都不变，

・•・在这个过程中，y不变，

故选项A不正确；

③当P在边CO上时，如图3,

y=-PD-h,

2

尸>£）随x的增大而减小，〃不变，

y随x的增大而减小，

P点从点A出发沿在A-8->C-。路径匀速运动到点。，

.•.P在三条线段上运动的时间相同，

故选项。不正确；

故选：B.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同,

分三段求出AP49的面积的表达式是解题的关键.

二、填空题(共6小题，每小题4分，满分24分)

11.(4分)同圆中，已知43所对的圆心角是100。，则AB所对的圆周角是

50°

【考点】M5：圆周角定理

【专题】11：计算题

【分析】直接利用圆周角定理求解.

【解答】解：弧4?所对的圆心角是1()()。，则弧A8所对的圆周角为50。.

故答案为5()。.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角

相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

12.(4分)分解因式：X2-2X+1=_(X-1)2_.

【考点】54：因式分解-运用公式法

【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可.

【解答】解：X2-2X+1=(X-1)2.

【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公

式是解题的关键.

13.（4分）一个正数的平方根分别是x+1和x-5,则x=2.

【考点】21：平方根

【专题】511：实数；11：计算题

【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得.

【解答】解:根据题意知x+1+x—5=0,

解得：尤=2,

故答案为：2.

【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质

是解题的关键.

14.（4分）已知五-'+lb-1|=0,则”+1=2.

【考点】16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根

【专题】L常规题型

【分析】直接利用非负数的性质结合绝对值的性质得出力的值进而得出答案.

【解答】解:-1|=0,

：.b-\=0,a—b=0,

解得：b=\,a=l,

故a+1=2.

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了非负数的性质以及绝对值的性质，正确得出。，。的值

是解题关键.

15.（4分）如图，矩形A3CO中，BC=4,8=2,以AD为直径的半圆。与

相切于点E,连接3D,则阴影部分的面积为—乃（结果保留万）

0

【考点】LB-.矩形的性质；MC-.切线的性质；MO：扇形面积的计算

【专题】11:计算题

【分析】连接0E,如图，利用切线的性质得0D=2,OELBC,易得四边形

OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形.EC。-S扇形E”计算由弧

。石、线段EC、CO所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的

面积即可得到阴影部分的面积.

【解答】解：连接OE,如图，

以AD为直径的半圆0与BC相切于点E,

：.OD=2,OELBC,

易得四边形OECO为正方形，

.•.由弧OE、线段EC、CD所围成的面积

90•乃

5正方形OECOS扇形EOD=2~二4—乃

360

,阴影部分的面积=gx2x4-(4-4)=乃.

故答案为7.

0

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现

圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了

矩形的性质和扇形的面积公式.

16.(4分)如图，已知等边AO4耳，顶点用在双曲线y=Y^(x〉0)上，点用的

x

坐标为(2,0).过B/乍44/交双曲线于点4，过&作&员//44交X轴

于点B2,得到第二个等边A£?,A52；过作约4//B,A交双曲线于点4,过4

作44//4与交X轴于点与，得到第三个等边A与A,；以此类推，…，则

点B6的坐标为_(2遥「())_.

y

/

B,B2B3X

【考点】KK：等边三角形的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征

【专题】1：常规题型

【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出

B?、鸟、生的坐标，得出规律，进而求出点线的坐标.

【解答】解：如图，作4c_Lx轴于点C,设BC=a，则AC=Ga，

0C=0B[+BtC=2+a,4（2+a,百a）.

点4在双曲线y=由（x>0）上，

X

（2+a）.6a=百，

解得。=及-1,或。=-亚-1（舍去），

:.OB?=OB、+2B1C=2+2母-2=,

.••点B2的坐标为（2夜，0）；

作轴于点。，设B?D=b,则4。=屏，

OD=OB2+B2D=14i+h,%（2丘+b,麻）.

点儿在双曲线y=X」（x>0）上，

X

.♦.（20+与•岛=百，

解得匕=-逝+6,或6=-四-百（舍去），

0员=0员+2为。=2&一20+=2g,

点鸟的坐标为（2百,0）；

同理可得点名的坐标为（2衣，0）即（4,0）；

二点8”的坐标为（2«,0）,

二点练的坐标为（2c，0）.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确

求出与、灰、鸟的坐标进而得出点纥的规律是解题的关键.

三、解答题

17.（6分）计算：|-2|-2018°+（g）T

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幕；6F：负整数指数幕

【专题】1：常规题型

【分析】直接利用负指数基的性质以及零指数基的性质、绝对值的性质进而化简

得出答案.

【解答】解：原式=2-1+2

=3.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.（6分）先化简，再求值：屈二.之处，其中。=更.

。+4。-4a2

【考点】6D：分式的化简求值

【专题】11：计算题；513：分式

【分析】原式先因式分解，再约分即可化简，继而将。的值代入计算.

（。+4）（。一4）

【解答】解:原式=----•----------

a+4a（a-4）

二2a,

当。=走时，

2

原式=2x-^--5/3.

2

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺

序和运算法则.

19.（6分）如图，3。是菱形ABC。的对角线，NC8D=75。，

（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线"，垂足为£,交于尸；（不

要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接BE,求NOB尸的度数.

【考点】KG-.线段垂直平分线的性质；£8：菱形的性质；N2：作图-基本作

图

【专题】555：多边形与平行四边形

【分析】（1）分别以4、8为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作

2

直线即可；

（2）根据NZ汨尸=NAB77计算即可；

【解答】解：（1）如图所示，直线E尸即为所求；

（2）四边形ABC。是菱形,

ZABD=ZDBC=-ZABC=75°,DCIIAB,ZA=NC.

2

ZABC=150°,ZABC+ZC=180°,

NC=ZA=30。，

所垂直平分线段AB,

：.AF^FB,

:.ZA^ZFBA=3Q°,

ZDBF=ZABD-ZFBE=45°.

【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型.

20.(7分)某公司购买了一批A、8型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片

的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B

型芯片的条数相等.

(1)求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？

(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条

A型芯片？

【考点】B7：分式方程的应用

【专题】34：方程思想；522：分式方程及应用；521：一次方程(组)及应用

【分析】(1)设8型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x-9)元/条，

根据数量=总价+单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买8

型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结

论；

(2)设购买。条A型芯片，则购买(200-a)条8型芯片，根据总价=单价x数量,

即可得出关于。的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：(1)设8型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x-9)元/

条，

根据题意得：照=幽，

x-9x

解得：x=35,

经检验，x=35是原方程的解，

x~9—26.

答：A型芯片的单价为26元/条，8型芯片的单价为35元/条.

（2）设购买。条A型芯片，则购买（200-幻条8型芯片,

根据题意得：26a+35(200—a)=6280,

解得：a=80.

答：购买了80条A型芯片.

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：

（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元

一次方程.

21.（7分）某企业工会开展"一周工作量完成情况"调查活动，随机调查了部分员

工一周的工作量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的

不完整统计图.

（1）被调查员工的人数为800人:

（2）把条形统计图补充完整；

（3）若该企业有员工10000人，请估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”

的员工有多少人？

却图2

【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图

【专题】1：常规题型；542：统计的应用

【分析】（1）由"不剩”的人数及其所占百分比可得答案；

（2）用总人数减去其它类型人数求得“剩少量”的人数，据此补全图形即可;

（3）用总人数乘以样本中"剩少量"人数所占百分比可得.

【解答】解：（1）被调查员工人数为400+50%=800人，

故答案为：800；

(2)"剩少量”的人数为800-(400+80+40)=280人,

补全条形图如下:

却

（3）估计该企业某周的工作量完成情况为"剩少量”的员工有10000x至=3500

800

人.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不

同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示

出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.也考查

了用样本估计总体.

22.（7分）如图，矩形ABCO中，AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,

使点8落在点E处，AE交CD于点F,连接OE.

（1）求证：AADE三ACED；

（2）求证：ADER是等腰三角形.

【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；PB：翻折变换（折

叠问题）

【专题】14：证明题

【分析】（1）根据矩形的性质可得出4）=3。、AB=CD,结合折叠的性质可得

出AD=CE、AE=CD,进而即可证出AAOE三△CED（SSS）；

（2）根据全等三角形的性质可得出NDM=NEZ）E,利用等边对等角可得出

EF=DF,由此即可证出户是等腰三角形.

【解答】证明：（1）四边形A8CO是矩形，

AD=BC,AB=CD.

由折叠的性质可得：BC=CE,AB^AE,

AD-CE，AE=CD.

AD=CE

在AAD£和△CEO中，lAE=CD,

DE=ED

AADE合kCED(SSS).

(2)由(1)得AADEMACE。，

..ZDEA=NEDC,即NDEF=NEDF,

EF=DF,

.•.AD所是等腰三角形.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题

的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出4）=CE、AE=CD；

（2）利用全等三角形的性质找出ZDEF=ZEDF.

23.（9分）如图，已知顶点为C（0,—3）的抛物线丁=0^+优。70）与犬轴交于4,

B两点,直线y=x+〃?过顶点。和点8.

（1）求m的值；

（2）求函数,=必2+匕（。/0）的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M,使得NMC3=15。？若存在，求出点M的坐标;

若不存在，请说明理由.

【考点】HF-,二次函数综合题

【专题】53：函数及其图象

【分析】(1)把。(0,-3)代入直线＞=%+加中解答即可;

(2)把y=0代入直线解析式得出点8的坐标，再利用待定系数法确定函数关系

式即可；

(3)分"在8C上方和下方两种情况进行解答即可.

【解答】解：⑴将(0,-3)代入y=

可得：m=—3；

(2)将y=0代入y=x—3得：x=3,

所以点8的坐标为(3,0),

将(0,—3)、(3,0)代入^=必2+。中,

%=—3

可得:

9a+b=Q

解得：r=3,

b=—3

2

所以二次函数的解析式为：y=-x-3;

-3

(3)存在，分以下两种情况：

①若加在8上方，设交x轴于点O,则/8。=45。+15。=6（）。，

OD=€?C»tan300=V3,

设。。为y=依一3,代入（代，0）,可得：k=6

y=也x-3

联立两个方程可得：卜=1小3,

解得：卜二:，卜=38，

[%=-3[y2=6

所以M1（3月，6）；

②若“在8下方，设MC交x轴于点E,则NOEC=45。+15。=60。，

/.OE=OC.tan60°=3G，

设七。为丁=依-3,代入（3百，0）可得：k=与,

\63

y=——x-3

联立两个方程可得：3,

y=—JC2-3

I3

解得：卜=0,卜2=6,

J=-31%=-2

所以如（■，一2），

综上所述"的坐标为（3百，6）或（G，-2）.

【点评】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解

析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键.

24.（9分）如图，四边形43CZ）中，AB=AD=CD,以A8为直径的经

过点C,连接AC、交于点E.

（1）证明：OD//BC；

（2）若tan/ABC=2,证明：D4与相切；

（3）在（2）条件下，连接BO交O。于点尸，连接ER,若BC=1,求EF

的长.

【考点】MR-.圆的综合题

【专题】15：综合题；554：与圆有关的位置关系

【分析】（1）连接OC,iff\OAD\OCDWZADO=ZCDO,由AD=CD知

DE1AC,再由AB为直径知BC,AC,从而得QD//BC；

（2）根据tanNABC=2可设BC=a、则AC=2a、

AD=AB=ylAC2+BC2,证。£为中位线知OE=-a、

2

AE=CE=-AC=a,进一步求得='3-AE：=2a,再AAQD中利用

2.

勾股定理逆定理证/。4£>=90。即可得；

(3)先证^AFD^^BAD得DF.BD^AD2①，再证AA£Z)^AQ4Z>得

nrnF

OD.DE=AD2②，由①②得DF.BD=OD.DE,即——=—,结合

ODBD

NEDF=NBDO知AEDFsMDO,据此可得空=匹，结合(2)可得相

OBBD

关线段的长，代入计算可得.

【解答】解：（1）连接0C,

J

在△0A£>和AOC。中，

OA=OC

<ADCD,

OD=OD

:.\OAD^\OCD{SSS},

：.ZADO=ZCDO,

又AD=CD,

：.DE±AC,

AB为O。的直径，

/.ZACS=90°,

ZACB^90°,即BCJ.AC,

:.OD//BC；

(2)tanZ.ABC=----=2,

BC

.♦.设BC=a、则4C=2a,

..AD^AB^y]AC2+BC2^y[5a,

OE//BC,且42=8。，

:.OE^-BC=-a,AE=CE」AC=a,

222

在A4£D中，DE=>JAD2-AE2=2a,

在AAO£>中，AO2+AD2=(—)2+(V5«)2=—a2

24

125

OD2=(OE+DE)2=(—a+2a)2=—a2,

24

/.AO2+AD2=OD2,

ZOAD=90°,

则D4与O。相切;

(3)连接A£,

AB是0。的直径,

ZAFD=ZBAD=90°,

ZADF^ZBDA,

：.^AFD^/^JBAD,

,即OF.3D=A£)2①，

ADBD

X•1-ZAED=ZOAD=90°,ZADE=Z0DA,

：./\AED^AOAD,

Ann/7

/.——=——，^OD.DE=AD2@,

ODAD

DFDF

由①②可得DF-BD=0D*DE,即”=丝,

ODBD

又/EDF=/BDO,

垄DFs^BDO,

■：BC=\,

.•.A8=AO=6、OD=~.ED=2、BD=M、0B=—,

22

EFDEEF2

——,即Hn〒二

OBBD<5Vio

2

五

解得:EF=—

2

【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全

等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识

八占、、,

25.(9分)已知RtAOAB,NQ4B=90°,NA8O=30°,斜边。8=4,将RtAOAB

绕点。顺时针旋转6()。，如图1,连接8C.

(1)填空：ZOBC=60°；

(2)如图1,连接AC,作OPJ_AC,垂足为P,求。P的长度；

(3)如图2，点M,N同时从点。出发，在AOCB边上运动，M沿。fC-8

路径匀速运动，N沿Of路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已

知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运

动时间为x秒，AOMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值？最大值为

图1图2备用图

【考点】RB：几何变换综合题

【专题】152：几何综合题

【分析】(1)只要证明AOBC是等边三角形即可；

(2)求出AAOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；

(3)分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜匕，§时，M在。。上运动，

3

Q

N在OB上运动,此时过点N作NELOC且交。。于点E.②当？＜%,4时,

3

M在BC上运动，N在OB上运动.

③当4＜%,4.8时，M、N都在8c上运动，作OG_LBC于G.

【解答】解：(1)由旋转性质可知：OB=OC,NBOC=60。，

3c是等边三角形，

：.ZOBC=60°.

故答案为60.

(2)如图1中,

B

图1

05=4,ZABO=30°,

:.OA--OB^2,AB=^30A=2A/3,

2

/.SA,”=--OA-AB」x2x26=26

22

ABOC是等边三角形，

ZOBC=60°,ZABC=ZABO+ZOBC=90°,

AC=yjAB2+BC2=2A/7，

2s_473_2V21

.QP=^QC

AC=2V7=­r

Q

(3)①当0<%,2时，加在。。上运动，N在OB上运动，此时过点N作

3

N£_LOC且交OC于点E.

则NE=ON・sin60°=无》,

2

302

--------X

二.x=g时，y有最大值，最大值

②当§<%,4时，M在BC上运动，N在。B上运动.

3

J3

作于则BM=8—1.5x,MH=BM.sin60°=^-(8-1.5x),

y=—xONxMH--^^-x2+2y/3x.

-28

当》=,时，y取最大值，y<,

③当4<%,4.8时，M、N都在6c上运动，作OG_L3C于G.

y=L.MN.OG=12痒述尤，

-22

当x=4时，y有最大值，最大值=26,

综上所述，y有最大值，最大值为哈

【点评】本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形

的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思

想思考问题，属于中考压轴题.

考点卡片

1.非负数的性质：绝对值

任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为。时，则其中

的每一项都必须等于0.

根据上述的性质可列出方程求出未知数的值.

2.科学记数法一表示较大的数

(1)科学记数法：把一个大于10的数记成aXIOn的形式，其中a是整数数位

只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式:

aXlC)n,其中lWaVlO,n为正整数

(2)规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原

来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指

数n.

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数

同样可用此法表示，只是前面多一个负号.

3.平方根

(1)定义：如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根，也叫做a的

二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没

有平方根.

(2)求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数a的正的平方根表示为“a”,负的平方根表示为"-a”.

正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a.零的算术平方根仍旧是

零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负

数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立

方根是负数，0的立方根是0.

4.非负数的性质：算术平方根

（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性.

（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开

方的结果也是非负数列出不等式求解.非负数之和等于。时，各项都等于0

利用此性质列方程解决求值问题.

5.实数大小比较

实数大小比较

（1）任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数

大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，

右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

6.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、

减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、

开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按

照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的"三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）

运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级

运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

7.因式分解-运用公式法

1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.

平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；

完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2；

2、概括整合：

①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形

式，且符号相反.

②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个

数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止.

8.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进

行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度

太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为"当…时，原式

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的

具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数

的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0.

9.零指数事

零指数幕:a°=l(a#0)

由am!am=Lam3am=am-m=a。可推出aO=l(aWO)

注意：0°#l.

10.负整数指数幕

负整数指数毒：aP=lap(aWO,p为正整数)

注意：①aWO；

②计算负整数指数基时，一定要根据负整数指数幕的意义计算，避免出现(-3)

一2=(-3)X(-2)的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

11.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况.

一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）的根与△4？-4ac有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当时，方程有两个相等的两个实数根；

③当时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

12.分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、歹！J、解、验、答.

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答

叙述要完整，要写出单位等.

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：

工作效率=工作量工作时间

等等.

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，

提高理解能力.

13.解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号;

③移项；④合并同类项；⑤化系数为L

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方

向，其他都不会改变不等号方向.

注意：符号"2"和分别比">"和"<"各多了一层相等的含义，它们是不等号

与等号合写形式.

14.动点问题的函