2022届高考数学考前保分题及答案解析

2022年高考数学考前保分题

1.如图，四棱锥中，底面Z8CC是菱形，ZBAD="是棱尸8上的点，。是

力。中点，且P。，底面/BCD,OP=V3OA.

(I)求证：BC上OM；

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(II)若PM=jPB,求二面角B-OM-C的余弦值.

【分析】(I)利用等边三角形的性质可得02，/。，从而得到O8L2C,再利用线面垂

直的性质可得OPJ_8C,从而可证8C_L平面P08,即可证明8C_LOA7；

(ID建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法

求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】(I)证明：在菱形月88中，NB4D=60°,所以为等边三角形，

又因为。为/。的中点，所以08J_/D,

又因为4O〃8C,所以O8_L8C,

因为P。，底面Z8C。，BCu平面N8C。，所以

因为OPnO8=O,OP,O2u平面尸。8,所以3C_L平面尸。8,

因为M是棱P8上的点，所以。A/u平面P08,所以8CJ_0Af；

(H)解：因为POJL底面N8C。，OBLAD,建立空间直角坐标系如图所示，

设04=1,则OP=O3=V5,

所以。(0,0,0),4(1,0,0),8(0,VL0),C(—2,W，0),P(0,0,V3),

贝位=(-2,V3,0),由茄丽=|(0,V3,-V3),

所以0%=b+|而=(0,竽，易，

设平面OMC的法向量为蓝=(x,y,z),

则有可=0,即2y+z=0

2x—

(OC-m=0V3y=0'

令y=l,则％=整，z=-2,故茄=(坐’1,-2),

又因为平面夕。8的法向量为£=(L0,0),

所以|cosVm,n>\=

|m||n|Jl+1+423’

由图可知，二面角8-OM-C为锐二面角,

—V69

所以二面角8-。小。的余弦值为亚

【点评】本题考查线面垂直的判定定理的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角问

题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行

研究，属于中档题.

2.已知正方形/8EZ)的边长为夜，。为两条对角线的交点，如图所示，将RtZ^BEO沿8。

所在的直线折起，使得点E移至点C,满足/8=4C.

(1)求四面体ABCD的体积K；

(2)请计算:

①直线BC与AD所成角的大小；

②直线BC与平面ACD所成的角的大小.

【分析】(1)利用勾股定理证明CO±AO,结合COLBD,证明CO,平面从而

C。是三棱锥C-48。的高，由锥体的体积公式求解即可；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标.

①利用异面直线所成角的计算公式求解即可；

②利用待定系数法求出平面的法向量，然后由线面角的计算公式求解即可.

【解答】解：(1)由已知可得，/O=CO=1,AB=AC=V2,

所以故co_L/。，

又COLBD,BDCAO=O,AB,ZOu平面/血

所以CO_L平面48。，

故CO是三棱锥C-ABD的高，

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所以三棱锥C-ABD的体积V=1•SMBD-CO=IxiX(VI)x1=1；

(2)分别以04OB,OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,

贝ij4(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(0,-1,0),

故就■=((),-1,1),AD=(-1,-1,0),AC=(-1,0,1),

①|cosV品,而>|=呼应I=

\BC\\AD\,2x42z

所以线BC与力。所成角的大小为60°；

②设平面ACD的法向量为7=(x,y,z),

则有区.空=0

嫌•4C=0

令x=l,则y=-l,z—1,故7=(1,-1,1),

所以|cosV/\n>\=\BC-n\_2：：y6

|5C||n|gxe3

故直线BC与平面ACD所成的角的大小为arcs讥苧.

【点评】本题考查了锥体体积的求解以及线线角与线面角的求解，在求解有关空间角问

题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行

研究，属于中档题.

3.如图，在四棱锥尸中，处_L平面ABLBC,BC//AD,AB=BC=\,AD

=2,AP=3.

（1）证明：平面尸8_L平面/MC；

（2）求平面PC。与平面RI8所成的锐二面角的余弦值.

【分析】（1）在梯形/8CD中，过点C作于点〃，利用勾股定理证明/C,8,

由平面”38,可得利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证

明即可；

（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面尸C£＞的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】（1）证明：在梯形中，过点C作CHLW于点，，

由题意可知C〃=/18=l,4H=HD=l,

所以AC=y/AB2+BC2=2,CD=VCH2+HD2=V2.

则/C2+CC>2=4=月。2,即4c_LC£),

因为/P_L平面ABCD,CDu平面ABCD,

所以CDA.AP,

又所以COJ_平面R4C,

又由CDu平面PCD,所以平面PCZ3_L平面PAC-.

(2)解：因为AD,/P两两垂直，

所以以力为原点，以AD,/P所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系/

-xyz,

可得力(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,3),

所以而=(1,1,-3),PD=(0,2,-3),

设平面PCZ)的法向量为胃=(x,y,z),

则n-PC=x+y-3z=0

{n■PD=2y-3z=0

取y=3,则z=2,x=3,

则7=(3,3,2),

平面PAB的一个法向量为石=(0,2,0),

AD-n_3722

所以cos<4。，n>=~~~=22