专题04条件概率与全概率公式（4个知识点2个拓展1个突破7种题型1个易错点）

专题04条件概率与全概率公式（4个知识点2个拓展1个突破7种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.条件概率知识点2.乘法公式知识点3.全概率公式知识点4.贝页斯公式拓展1.条件概率的求解拓展2.全概率公式的应用突破：全概率公式与贝叶斯公式的应用【方法二】实例探索法题型1.条件概率的概念与计算题型2.事件的独立性与条件概率的关系题型3.乘法公式的应用题型4条件概率的综合应用题型5.全概率公式的应用题型6.贝叶斯公式的应用题型7.全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【方法三】差异对比法易错点：混淆“条件概率”与“交事件的概率”【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.条件概率一、条件概率的概念一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．二、条件概率的性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)设eq\x\to(B)和B互为对立事件，则P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．例1．单选题（2024·全国·模拟预测）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件为“两位游客选择的景点相同”，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用条件概率公式即可求得的值.【详解】由题意，知，所以．故选：A．知识点2.乘法公式对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．例2．填空题（2024上·山东滨州·高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则【答案】【分析】由题设求出，，，利用全概率公式、条件概率公式进行求解即可．【详解】由题意得，，，若发生，此时乙箱中有6个红球，2个白球和3个黑球，则，先发生，此时乙箱中有5个红球，3个白球和3个黑球，则，先发生，此时乙箱中有5个红球，2个白球和4个黑球，则．，；.故答案为：知识点3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式．例3．多选题（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（

）A．在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为B．在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为C．甲获得奖品的概率为D．若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【分析】设出事件后，结合条件概率与全概率公式逐个计算即可得.【详解】设，，，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：，故A正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：，故B错误；由题意可知，，，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：，故C正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则，，，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球的机会最小，故D正确.故选：ACD.知识点4.贝叶斯公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)=，i＝1,2，…，n.例4．（2023·全国·高二随堂练习）现在一些大的建筑工程都实行招投标制．在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的．设B=“被调查的施工企业资质不好”，A=“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知，．现已知在被调查的施工企业当中有确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）．【答案】0.55【分析】由贝叶斯公式计算即可.【详解】由题意可得，，，所以，.即评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率约为0.55.拓展1.条件概率的求解1．（2024·广东肇庆·统考模拟预测）小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是.【答案】【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】记事件A为“取出的2本中有1本是数学”，事件为“另1本是物理或化学”，则，所以.故答案为：.拓展2.全概率公式的应用2．（2024上·福建泉州·高三统考期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率；(2)设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求；(3)对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明.【答案】(1)(2)详见解析(3)详见解析【分析】（1）根据全概率公式求解即可；（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；（3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可.【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为，于是由全概率公式，得.（2）由已知得，，，.（3）由（2）可得，即，可猜想：,证明如下：由条件概率及，得，，所以.突破：全概率公式与贝叶斯公式的应用1．多选题（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（

）A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为【答案】AB【分析】A选项，设出事件，利用乘法公式求出A正确；B选项，由全概率公式得到B正确；C选项，结合B选项，利用贝叶斯公式得到C错误；D选项，利用对立事件求概率公式求出答案.【详解】A选项，用分别表示抽到的学生是男生､女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼.由题意得，则，故抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为，A正确；B选项，由全概率公式得，B正确.C选项，由B选项可得，C错误；D选项，由C选项可得，D错误.故选：AB【方法二】实例探索法题型1.条件概率的概念与计算1．（2024上·天津和平·高三统考期末）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是；（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是．【答案】//【分析】放回和不放回两种抽取时，考查抽取的所有情况及不同条件下的情况，利用古典概型概率计算公式计算即可.【详解】放回的抽取时，两次抽取共有种情况，其中两次抽取颜色相同共有种情况，其中黑色相同的有种，白色相同的共有种，故所求概率为；当不放回的抽取时，颜色相同的有种情况，其中其中黑色相同的有种，白色相同的共种，所以在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率为.故答案为：；题型2.事件的独立性与条件概率的关系2．多选题（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（

）A．事件与相互独立 B．C． D．【答案】BCD【分析】A选项，计算出，根据，判断出与相互独立；BD选项，利用条件概率求出答案；C选项，利用全概率公式求出答案.【详解】A选项，由题意，，，而，A错误；B选项，由，，所以，B正确；C选项，，C正确；D选项，，正确．故选：BCD．题型3.乘法公式的应用3．（2024上·上海·高二校考期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为.【答案】【分析】求出第一次取到0个、1个、2个新球的概率，再结合条件概率及全概率公式列式计算即得.【详解】用表示第一次取到个新球的事件，用表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件，则，且两两互斥，，，因此，所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为.故答案为：题型4条件概率的综合应用4．（2024上·天津河北·高三统考期末）甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为.【答案】【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式，分别计算对应概率，即可选出答案.根再根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为，则甲乙二人全部命中的概率为，两人至少命中两次为事件A,甲恰好命中两次为事件B,，，所以.故答案为：,.题型5.全概率公式的应用5．（2024·贵州·校联考模拟预测）甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.（2）利用条件概率公式求解即可.【详解】（1）记取到甲盒子为事件，取到乙盒子为事件，取到丙盒子为事件，取到黑球为事件B：由全概率公式得，故摸出的球是黑球的概率是.（2）由条件概率公式得，故此球属于乙箱子的概率是题型6.贝叶斯公式的应用6．（2023·全国·高二随堂练习）某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大？【答案】【分析】首先列出条件中的概率，再根据贝叶斯公式，即可求解.【详解】设“抽查的人患有癌症”为事件，“实验结果为阳性”为事件，则“抽查的人不患癌症”为事件,已知，，，，由贝叶斯公式.所以此人是癌症患者的概率约为.题型7.全概率公式与贝叶斯公式的综合应用7．（2024·天津·校考模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是．【答案】/0.4【分析】利用条件概率公式求摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式和贝叶斯公式求红球来自乙箱的概率.【详解】记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”，则，，故，即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则，，，，所以，所以，即若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.故答案为：；【方法三】差异对比法易错点：混淆“条件概率”与“交事件的概率”1．判断题（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）.()（2）事件发生的条件下，事件发生的概率，相当于同时发生的概率．()（3）.()（4）.()【答案】错误错误错误错误【分析】根据条件概率的知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】（1），而，所以，（1）错误.（2）事件发生的条件下，事件发生的概率是，同时发生的概率是，所以（2）错误（3），（3）错误.（4），，不一定相等，所以不一定相等，（4）错误.故答案为：错误；错误；错误；错误【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023下·浙江·高二校联考阶段练习）从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件概率的定义和古典概型计算.【详解】第一次取到的是偶数有：，共有种方法，在第一次是偶数的条件下，第二次取到的是3的倍数共有11种方法，；故选：A.2．（2021·高二课时练习）英国数学家贝叶斯（17011763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（

）A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1【答案】C【分析】利用条件概率的概率公式求解即可.【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，则，，，，故所求概率，故选：C.3．（2021上·山东淄博·高三统考阶段练习）甲袋中有个白球、个红球，乙袋中有个白球、个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是红球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】记事件抽取的为甲袋，记事件抽取的为乙袋，记事件抽取的一球为红球，求出、、、，利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件抽取的为甲袋，记事件抽取的为乙袋，则，记事件抽取的一球为红球，则，，因此，.故选：D.4．（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（

）A．0.5 B．0.4 C．0.25 D．0.125【答案】A【分析】利用古典概率公式及条件概率公式即可求出结果.【详解】因为，，故选：A.5．（2023下·高二课时练习）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件概率公式求解即可【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件，“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，则由题意可得，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为.故选：.6．（2022下·江苏泰州·高二泰州中学校考期中）医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%．专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是（

）A． B． C．1% D．10%【答案】A【分析】在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是感染者为阴性除以正常人为阴性与感染者为阴性的和.【详解】由题意知，某小区感染了该病的人有，未感染的人有该试剂将感染者判为阳性的概率是，则试剂将感染者判为阴性的概率是将正常者判为阳性的概率是，则将正常者判为阴性的概率是则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率为故选：A.7．（2021·高二课时练习）已知，，等于A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：根据条件概率的定义和计算公式：把公式进行变形，就得到，故选C.考点：条件概率.8．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）某人从A地到B地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A地到B地迟到的概率是（

）A．0.16 B．0.31 C．0.4 D．0.32【答案】B【分析】根据全概率公式结合已知条件求解即可.【详解】设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，则，，，，，，，由全概率公式得：.故选：B.二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（

）A．第二天去甲游乐场的概率为0.54B．第二天去乙游乐场的概率为0.44C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为【答案】AC【分析】利用条件概率公式、全概率公式以及对立事件的概率计算公式一一代入计算即可.【详解】设事件：小王同学第一天去甲游乐场，事件：小王同学第二天去甲游乐场，事件：小王同学第一天去乙游乐场，事件：小王同学第二天去乙游乐场，则，，，，所以，故选项A正确；，故选项B不正确；因为，，所以，，所以，故选项C正确；，故选项D不正确，故选:AC．10．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（

）A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为B．第二次抽到3号球的概率为C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种【答案】ABC【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用贝叶斯公式求解；对于D，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解.【详解】记第一次抽到第号球的事件分别为则有对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为故A选项正确；对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，即第二次抽到3号球的事件为，，故B选项正确；对于C，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，记第二次抽到3号球的事件为，,第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同，即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C选项正确；对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D选项错误；故选：ABC.11．（2023下·辽宁抚顺·高二校联考期中）已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．C．若B和C是两个互斥事件，则D．当时，【答案】ACD【分析】根据条件概率的公式和性质逐一判断即可.【详解】因为，所以．A正确．，B错误．若B和C是两个互斥事件，则，C正确．因为，所以．，D正确．故选：ACD.12．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）某公司成立了甲、乙、丙三个科研小组，针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会获得奖励．已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为，且三个小组各自独立进行科研攻关，则（

）A．该技术难题被攻克的概率为：B．在该技术难题被攻克的条件下，只有一个小组获得奖励的概率为C．在丙小组攻克该技术难题的条件下，恰有两个小组获得奖励的概率为D．在该技术难题被两个小组攻克的条件下，这两个小组是乙和丙的概率最大【答案】BD【分析】对于A项，运用对立事件概率计算即可，对于B项，分别计算三组中恰有一组获得奖励另外两组未获得奖励的概率之和，结合条件概率计算即可，对于C项，由只有甲丙或乙丙获得奖励的概率及条件概率公式计算即可，对于D项，先求出恰有两个小组甲乙或甲丙或乙丙获得奖励的概率，结合条件概率求解即可.【详解】记甲、乙、丙三个小组各自攻克该技术难题分别为事件A，B，C，对于A项，记该技术难题被攻克为事件M，则，故A项错误；对于B项，记恰有一个小组获得奖励为事件R，则．由A项知，记技术难题被攻克为事件M，则，在该技术难题被攻克的条件下，只有一个小组受到奖励的概率为，故B项正确；对于C项，在丙小组攻克该技术难题的条件下，恰有两个小组获得奖励的概率为，故C项错误；对于D项，记恰有两个小组获得奖励为事件N，则．在该技术难题被两个小组攻克的条件下，这两个小组是乙和丙的概率为，这两个小组是甲和乙的概率为，这两个小组是甲和丙的概率为，故D项正确．故选：BD.三、填空题13．（2023下·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）从编号为1~5号的球中随机抽取一个球，记编号为i，再从剩下的球中取出一个球，记编号为j，在的条件下，的概率为．【答案】/0.4【分析】根据事件A以及AB包含的基本事件个数，即可利用条件概率的定义求解.【详解】设事件A：，事件B：，则事件AB：，则事件A包含的基本事件有,故，事件AB包含的基本事件有，则，从而,故答案为：14．一只袋内装有大小相同的3个白球，4个黑球，从中依次取出2个小球，已知第一次取出的是黑球，则第二次取出白球的概率是．【答案】【分析】将问题转化为个白球和个黑球，从中任取一个，取到白球的概率来求解.【详解】由于第一次取出黑球，故原问题可转化为个白球和个黑球，从中任取一个，则取到白球的概率为.【点睛】本小题主要考查条件概率的计算，考查古典概型的计算，属于基础题.15．（2023下·北京西城·高二统考期末）抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数不小于甲骰子点数的概率为．【答案】【分析】先求出总的事件数目，再求出符合的事件数目，即可求出概率.【详解】甲投掷股子可能出现的点数为：，乙投掷股子可能出现的点数为：，则所有出现的情况为（第一个表示甲投掷的，第二个表示乙投掷的）：，，一共有18种情况，乙不小于甲骰子点数的情况有：，，一共有12种，则在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数不小于甲骰子点数的概率为.故答案为：16．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张，则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为．【答案】【分析】设事件A表示“第一次抽到中奖券”，事件B表示“第二次抽到中奖券”，则，，利用条件概率计算公式即可得解．【详解】设事件A表示“第一次抽到中奖券”，事件B表示“第二次抽到中奖券”，∴，，∴在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率：.故答案为：．四、解答题17．（2023上·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中）为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可；（2）先设事件，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可.【详解】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，则，，所以第二题抽到的是概念叙述题的概率（2）设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，，，，，18．（2023上·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中）为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可；（2）先设事件，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可.【详解】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，则，，所以第二题抽到的是概念叙述题的概率（2）设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，，，，，19．（2024上·吉林·高二校联考期末）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺了”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用古典概型求解；（2）利用条件概率求解；（3）利用全概率求解.【详解】（1）设事件“取出饺子是肉馅”，，（2）设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，事件“取出第二个盒饺子是