新版高中数学人教A版选修2-1习题第三章空间向量与立体几何检测（A）

第三章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在空间四边形ABCD中,连接AC,BD,若△BCD为正三角形,且E为其中心,则化简AB+12BC-A.AB B.2BD C.0 D.2DE解析:如图,F是BC的中点,E为DF的三等分点,于是3212则AB+12BC-3答案:C2设平面α内的两个向量a=(1,2,1),b=(1,1,2),则下列向量中是α的法向量的是()A.(1,2,5) B.(1,1,1) C.(1,1,1) D.(1,1,1)解析:设平面α的法向量为n=(x,y,z),则x+2y+z=0,-x+y答案:B3在以下命题中,不正确的个数为()①“|a||b|=|a+b|”是“a,b共线”的充要条件;②若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb;③对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=2OA2OB-OC,则P,A,B,C④|(a·b·c)|=|a||b||c|.A.2 B.3 C.4 D.5解析:①|a||b|=|a+b|⇒a与b的夹角为π,是充分不必要条件,故不正确;②当且仅当b为非零向量时成立,故不正确;③由221≠1,结合共面向量定理知,不正确;④由基底的定义知正确;⑤由向量的数量积的性质知不正确.答案:C4若向量a=(1,x,2),b=(2,1,2),a,b夹角的余弦值为89,则x等于()A.2 B.2 C.2或255 D.2或解析:cos<a,b>=a·解得x=2或x=255答案:C5已知两个不同的平面α与β的法向量分别为m=(3,1,5),n=(6,2,10),则()A.α⊥β B.α∥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对解析:∵n=(6,2,10),m=(3,1,5),∴n=2m.∴m∥n.∴α与β平行.答案:B6已知点A(3,4,3),O为坐标原点,则OA与坐标平面yOz所成角的正切值为()A.34 B.35 C.53解析:∵点A在平面yOz上射影为B(0,4,3),且|OB|=5,∴OA与平面yOz所成角θ满足tanθ=|AB答案:B7如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3,则A1C的长为()A.5 B.22C.14 D.17答案:A8在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°.将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=1,则二面角BACD的余弦值为()A.13 B.12 C.23解析:设菱形对角线AC与BD相交于点O,则∠BOD为二面角BACD的平面角,由余弦定理可得cos∠BOD=13答案:A9若a=(0,1,1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数λ的值是()A.1 B.0 C.1 D.2解析:a+λb=(0,1,1)+(λ,λ,0)=(λ,1+λ,1).由(a+λb)⊥a,知(a+λb)·a=0.所以λ×0+(1+λ)×11×(1)=0,解得λ=2.答案:D10已知正三角形ABC,BC⊂平面α,点A在α上的射影为点A',∠BA'C=90°,则平面ABC与平面α所成的二面角的正弦值等于()A.63 B.134 C.195解析:如图所示,过点A'作A'D⊥BC,垂足为D,连接AD,则易知∠ADA'为所求二面角的平面角,令BC=a,则AB=AC=a,∴A'B=A'C=22a∴A'A=22a又∵AD=AA'=AA'∴sin∠ADA'=AD·答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11若空间三点A(1,5,2),B(2,4,1),C2p,3,q2共线,解析:由已知,得AB=(1,1,3),AC=∵AB∥AC,∴∴p=32,q=8.故p+q=19答案:1912若a=(4,2,4),b=(6,3,2),则(2a3b)·(a+2b)=.

答案:20013若由空间向量a=(1,2,3),b=(1,1,1)构成向量集合A={x|x=a+kb,k∈Z},则向量x的模|x|的最小值为.

答案:1314在空间四边形OABC中,若OB=OC,∠AOB=∠AOC=π3,则cos<OA,BC>的值是解析:cos<OA,BC=|OA||OC答案:015如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.

解析:如图,以点D为原点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则MA1=(2,1,2),DN=(0,2,1),M故异面直线A1M与ND所成的角为90°.答案:90°三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知a=(1,2,2).(1)求与a共线的单位向量b;(2)若a与单位向量c=(0,m,n)垂直,求m,n的值.分析(1)a与b共线,则b=(λ,2λ,2λ),根据|b|=1,可求得λ;(2)a⊥c,则a·c=0,且|c|=1,注意讨论解的情况.解:(1)设b=(λ,2λ,2λ),而b为单位向量,∴|b|=1,即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1,∴λ=±13∴b=13,23,-(2)由题意,知a解得m17(8分)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是侧棱CC1上一点,CP=m.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.解:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).则BD=(1,1,0),BB1=(0,0,1),AP=(1,1,m),AC=(又由AC·BD=0,AC·BAC为平面BB1D1D的一个法向量.设AP与平面BB1D1D所成的角为θ,则sinθ=|cos<AP,AC>|=依题意得22+m2·2=sin解得m=63.故当m=63时,直线AP与平面BDD1B1所成角为6018(9分)如图,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2.(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值;(2)求点P到平面DEF的距离.解:(1)如图所示,以A为原点,AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D12,0,0,E设平面DEF的法向量n=(x,y,z),则n即(取z=1,则平面DEF的一个法向量n=(2,0,1).设PA与平面DEF所成的角为θ,则sinθ=|PA故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为55(2)∵PF=0,1∴点P到平面DEF的距离d=|PF19(10分)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=2,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE;(3)求二面角ABED的大小.(1)证明如图,设AC与BD交于点G,连接EG.∵EF∥AG,且EF=1,AG=12AC=∴四边形AGEF为平行四边形,∴AF∥EG.∵EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,∴AF∥平面BDE.(2)证明∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,∴CE⊥平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz,则C(0,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),F∴CF=22,22,1,BE=(0,2,1),DE=(2,0,1),∴CF·BE=01+1∴CF⊥BE,CF⊥DE.又BE∩DE=E,∴CF⊥平面BDE.(3)解:由(2)知,CF=22,设平面ABE的法向量n=(x,y,z),则n·BA=0,n·BE=0.即(x,y,z)·令y=1,则z=2.∴n=(0,1,2),从而cos<n,CF>=n·∵二面角ABED为锐角,∴二面角ABED的大小为π620(10分)如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=22.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.(1)证明:PQ∥平面BCD;(2)若二面角CBMD的大小为60°,求∠BDC的大小.方法一(1)证明:取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3FC.连接OP,OF,FQ,因为AQ=3QC,所以QF∥AD,且QF=14AD因为O,P分别为BD,BM的中点,所以OP是△BDM的中位线,所以OP∥DM,且OP=12DM又点M为AD的中点,所以OP∥AD,且OP=14AD从而OP∥FQ,且OP=FQ,所以四边形OPQF为平行四边形,故PQ∥OF.又PQ⊄平面BCD,OF⊂平面BCD,所以PQ∥平面BCD.(2)解:作CG⊥BD于点G,作CH⊥BM于点H,连接GH.因为AD⊥平面BCD,CG⊂平面BCD,所以AD⊥CG.又CG⊥BD,AD∩BD=D,故CG⊥平面ABD.又BM⊂平面ABD,所以CG⊥BM.又GH⊥BM,CG∩GH=G,故BM⊥平面CGH,所以GH⊥BM,CH⊥BM.所以∠CHG为二面角CBMD的平面角,即∠CHG=60°.设∠BDC=θ.在Rt△BCD中,CD=BDcosθ=22cosθ,CG=CDsinθ=22cosθsinθ,BG=BCsinθ=22sin2θ.在Rt△BDM中,HG=BG·在Rt△CHG中,tan∠CHG=CGHG所以tanθ=3.从而θ=60°.即∠BDC=60°.方法二(1)证明:如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0,2,2),B(0,2,0),D(0,2,0).设点C的坐标为(x0,y0,0).因为AQ=3QC,所以Q34因为M为AD的中点,故M(0,2,1).又P为BM的中点,故P0,所以PQ=又平面BCD的一个法向量为u=(0,0,1),故PQ·u=0.