2023-2024学年北京市海淀区师达中学八年级（上）证明题大赛数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年北京市海淀区师达中学八年级（上）证明题大赛数学试卷1．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BF＝EC．求证：△ABC≌△DEF．2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠CAE＝∠BAD．求证：∠B＝∠D．3．已知：如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，且AD＝CD，DF是AC边的中线，DE平分∠ADB交AB于点E．求证：DF⊥DE．4．△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE＝DF．5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB＝AC+CD．6．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是边AB，AC上一点，并且有∠EDF+∠EAF＝180°，试判断DE和DF的数量关系，并证明．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC上的点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）求证：BD＝CE；（2）当∠BAC＝90°时，BD、CE的位置关系是；（3）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．当∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论．8．在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．①补全图形；②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD＝∠BCD．

2023-2024学年北京市海淀区师达中学八年级（上）证明题大赛数学试卷参考答案与试题解析1．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BF＝EC．求证：△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠CAE＝∠BAD．求证：∠B＝∠D．【解答】证明：∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠B＝∠D．3．已知：如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，且AD＝CD，DF是AC边的中线，DE平分∠ADB交AB于点E．求证：DF⊥DE．【解答】证明：∵AD＝CD，DF是AC边的中线，∴∠CDF＝∠ADF，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°，∴DF⊥DE．4．△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE＝DF．【解答】证明：∵AB＝AC，D是BC中点，∴∠ABC＝∠ACB，BD＝DC．∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠DEB＝∠DFC＝90°在△DEB和△DFC中，，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴DE＝DF．5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB＝AC+CD．【解答】证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE＝CD，连接DE．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CE＝CD，∴∠B＝∠CAB＝（180°﹣∠ACB）＝45°，∠E＝∠CDE＝45°，∴∠B＝∠E．∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（AAS）．∴AE＝AB．∵AE＝AC+CE＝AC+CD，∴AB＝AC+CD．证法二：如答图所示，在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED＝∠C＝90，CD＝ED，又∵AC＝BC，∴∠B＝45°．∴∠EDB＝∠B＝45°．∴DE＝BE，∴CD＝BE．∵AB＝AE+BE，∴AB＝AC+CD．6．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是边AB，AC上一点，并且有∠EDF+∠EAF＝180°，试判断DE和DF的数量关系，并证明．【解答】证明：过D作DN⊥AC于N，DG⊥AB于点G，∴∠EGD＝∠FND＝90°，∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DN⊥AC，∴DG＝DN（角平分线性质），∵∠EAF+∠EDF＝180°，∴∠AED+∠AFD＝360°﹣180°＝180°，∵∠AED+∠DEG＝180°，∴∠GED＝∠NFD，在△EGD和△FND中，，∴△EGD≌△FND（AAS），∴DE＝DF．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC上的点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）求证：BD＝CE；（2）当∠BAC＝90°时，BD、CE的位置关系是BD⊥CE；（3）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．当∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：同理可得△BAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠B，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴BD⊥CE．故答案为：BD⊥CE；（3）解：当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，∵∠BAD+∠DAC＝α，∠DAC+∠CAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B+∠ACB＝180°﹣α，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°﹣α＝β，∴α+β＝180°；②当点D在线段CB的延长线上时，∵∠BAD+∠BAE＝α，∠BAE+∠CAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，∵∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°，∠CED＝∠AEC+∠AED，∴α＝β．③当点D在BC的延长线上时，如图所示，此时α＝β；综上所述，α与β之间的数量关系为α＝β或α+β＝180°．8．在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．①补全图形；②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD＝∠BCD．【解答】解：（1）①补全图形；②结论：∠BAD+∠BCD＝180°，理由如下：过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于F，则∠AED＝∠CFD＝90°．∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF．∵直线l垂直平分AC，∴DA＝DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．∴∠BAD＝∠FCD．∵∠FCD+∠BCD＝180°