2020-2021学年人教版数学必修4模块素养评价 含解析

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模块素养评价

（120分钟150分）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1.与-597°角终边相同的角的集合是（

A.{aIa=k•360°+237°,k£Z}

B.(a|a=k•360°+597°,kez}

C.{a|a=k•360°+123°,kez}

D.{aIa=k•360°-263°,kez}

【解析】选C.-597。=-360°-237°,

而-237°=-360°+123°.所以-597°=-2X360°+123°.故选C.

2.已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是(

A.[-4,6]B.[-6,4]C.[-6,2]D.[-2,6]

【解析】选C.由|a+b|W5平方得a2+2a•b+b2^25,由题意得

8+2(-10+2k)+25+k?W25,

即k2+4k-12^0,(k+6)(k-2)WO,求得-6WkW2.

C-,J.(TT\7-y^2c7,।ct,

3.已知sin(ct--)=--,cos2a=—，则rltan-=(

k4710252

A.3B.-3C.±3D.±4

【解析】选A.由sin(a-()=?=sina-cosa=g①，

C_72.2_7

cosza二一0cosa-sInQ二一,

2525

所以(cosa-sina)(cosa+sin

由①②可得cosa+sina

34

由①③得sina二一,cosa,

55

所以角a为第二象限角，所吟为第一、三象限角,

4.（2019•全国卷H）下列函数中，以］为周期且在区间弓弓）单调递增

的是（）

A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|

C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|

【解析】选A.分别画出上述函数的图象可得选项A的周期书，选项B

的周期为；而选项C的周期为2耳，选项D不是周期函数.结合图象的升

2

降情况可得A正确.

5.（2020・武汉高一检测）已知索（1,1）,丽=（4,1）,oc=（4,5）,则获与

最夹角的余弦值为（）

［解析］选B.AB=(3,0),AC=(3,4),

3X3+0X4_3

所以cose

3X>/32+425

6.设a=(l-cosa,V3),b=(3,-sin&)且2_1_匕则锐角a为()

A.-B.-C.-D.—

64312

【解析】选C.因为a±b,所以3(1-cosa)-V3sina=0n

3-2V3(fcosa+,1-sm.a

2

=3-2禽sin(a+；卜。，故sin(a+；)§,

所以a+-=-+2kn或a+工空+2kn（k£Z）,故锐角a为马.

33333

7.（2020•海口高一检测）设aB且tana

则（）

B.2a-B「

2

C.3a+B=］D.2a+3=-

2

【解析】选B.方法一：由tana=3受

cosp

since1+sinp..

付---=------,即s।nacosp=cosa+cosasinp,

cosacosP

所以sin(a-B)=cosa=sin(1-a

因为ae（o,»B《O，H所以a-B4《，；），已£（。，；）•所

以由sin(a-B)=sin(1-a),得a-B-a.所以2a-B=/

_l+sinp_l+cos(£p)

)去—,tana——zjy、

cospSing-p)

二2cos2(若):cos(C9

2sing-f)cosg-fjsinQ-f)

所以a=kn+([+§),k£Z.

所以2a—B=2kJi+；,卜£乙又a£(0,；”£(喝，所以

2a-B£(-；m),所以k=0,2a-B=1.

8.已知|p|=2衣，|q|=3,p,q的夹角为：如图,若族=5p+2q,AC=p-3q,D

4

为BC的中点,则|A"为()

A.—B.-C.7D.18

22

i

【解析】选A.AD=-(AC+AB)

2

11

=-(5p+2q+p-3q)=-(6p-q),

所以IA6|=S布2=J(6p-q)2

/J36P2-12pq+q2

二/36x(2V2)2-12x2V2x3xcos^+32=y.

9.(2020•长沙高一检测)y=Asin(ax+6)(A>0,3>0,|6|<it)的图象

的一段如图所示,它的解析式是(

32

A.y=|sin^2x+引

B.y=|sin(2x+

C.y=|sin(2x-^

D.y=|sin(2x+

2

【解析】选A.由题干图象可知A=一,

3

T—2X----(u)—Ji,所以3——

L12\12)11n

所以y=2sin(2x+6),代入点(-二，三)'

3\123

2

得sin(-§+(p)=1，又因为|6|<n,所以6二一五.

3

所以y=|sin^2x+：TT).

10.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=V2cos3x

的图象()

A.向右平移上个单位B.向右平移马个单位

124

C.向左平移二个单位D.向左平移马个单位

124

【解析】选A.y二sin3x+cos3x=J^sin(3x+：)

=V2sin[3+

又y=V2cos3X=V2Sin(3x+

=V2sin3(X+：).

所以应向右平移一个单位.

12

11.(2019-天津高考)已知函数

f(x)=Asin(ax+6)(A>0,3>0,[4)|<n)是奇函数，将y=f(x)的图象上

所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数

为g(x).若晨x)的最小正周期为2n,且gQ)=V2,则f)=()

A.-2B.-V2C.V2D.2

【解题指南】只需根据函数性质逐步得出A,3。的值即可.

【解析】选C.f(x)为奇函数，可知f(0)=Asin4)=0,

由|6|<n可得6=0;把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得

1

g(x)=Asin-wx,g(x)的最小正周期为2n,可得3=2,

2

由可得A=2,所以f(x)=2sin2x,f管Kin詈

12.已知菱形ABCD的边长为2,NBAD=120°,点E,F分别在边BC,DC

2

上,BE=入BC,DF=uDC.若AE•AF=1,CE•CF=—,贝ij入+p=()

3

A.-B.-C.-D.—

23612

【解析】选C.因为NBAD=120°,

所以AD=IAB|•|AD|•COS120°=-2.

因为BE二XBC,DF二uDC,所以入MA讲XAD,AF=AI>I-UAB.

又因为靛•AF=1,

所以(A百+XAD)•(AD+uAB)=1,

3

即2入+2口一入u二—.①

2

2

同理可得，左•CF=XU-X-11=--.②

3

由①+②,得入+U二

6

二、填空题(每小题5分，共20分)

1Q(17吟

13.COS(--y-J=.

【解析】cos(-^■卜cos(-6n+9=COS；=1.

答案；1

2

14.如图所示，已知0为平行四边形ABCD内一点，QA=a,o§=b,杉c,则

OD=

【解析】OD=004-CD=CX>BA=004-（0A-0B）=c+a-b.

答案:c+a-b

15.（2019•全国卷I）函数f（x）=sin（2x+弓）-3cosx的最小值

为，

【解析】f(x)=sin3+T>cosx二一cos2x-3cosx

3、217

COSXH—I+一,

（478

因为一1WcosxW1,所以当cosx=1时，千（x）min=-4,

故函数千(x)的最小值为-4.

答案:-4

16.(2020•全国m卷)关于函数f(x)=sinx+二一有如下四个命题:

sinx

①f(x)的图象关于y轴对称.

②f(x)的图象关于原点对称.

③f(x)的图象关于直线xq对称.

④f(x)的最小值为2.

其中所有真命题的序号是.

【解析】对于①，由sinxWO可得函数的定义域为{x|xWkir,k£Z},

11

故定义域关于原点对称，由f(-x)=sin(-x)+----二-sinx-----=-f(x),

sin(-x)sinx

所以函数为奇函数，图象关于原点对称，①错②对.

1

对于③，由于f(冗一x);sinO-X)+------

sin(n-x)

=sinx+」一=f(x),所以f(x)关于x=U对称，③对.

sinx2

1

对于④，令t=sinx,t£[7,0)U(0,1],由对勾函数g(t)=t+；的性质,

可知g(t)G(-oo,-2]U[2,+8),所以f(x)无最小值,④错.

答案:②③

三、解答题(共70分)

17.(10分)已知角a的终边过点PC，-§.

(1)求sina的值.

sinf--a)

⑵求潟,tan(a-n)

的值.

cos(37i-a)

【解析】(1)因为|0P|==(0为坐标原点),

所以点P在单位圆上，

3

由正弦函数定义得sinQ

小ecosatanasina1

(2)原式二一一•----=--------=----,

-sina-cosasinacosacosa

由⑴得sina=-gp在单位圆上,

4，

所以由已知条件得cosa所以原式二-.

54

18.(12分)如果向量X5=i-2j,BC=i+mj,其中，i,j分别是x轴,y轴正方

向上的单位向量,试分别确定实数m的值使：

(DA,B,C三点共线.

(2)AB±BC.

【解析】(1)由题意知，Aa入B£,则i-2j=X(i+mj),

(X=1,

于是、。得m=-2.

(Am=-2,

(2)由AB±前得蔗•BC=0,

所以(i-2j),(i+mj)=i2+mi,j-2i,j-2mj2=0,

1

所以1-2m=0,解得m=一.

2

【补偿训练】

设ebe2是正交单位向量，如果oA=2ei+me2,OB=nei-e2,oc=5e-e2,

若A,B,C三点在一条直线上，且m=2n,求m,n的值.

【解析】以0为原点，ebe2的方向分别为x,v轴的正方向，建立平面直

角坐标系xOy,

则QA=(2,m),OB=(n,-1),oc=(5,-1),

所以AC=(3,-1-m),BC=(5-n,0),

又因为A,B,C三点在一条直线上，所以AG〃BC,

所以3X0-(-1-m),(5-n)=0,与m=2n构成方程组,mn5m+n50,

Im=2n,

解得严;或『=1。，

n=in=5.

2

19.(12分)已知a=(cosa,sina),b=(cosB,sin

(1)若|a-b|=>用,求证：a_Lb;

(2)设c=(0,1),若a+b=c,求a,B的值.

【解析】(1)由题意得|a-b1=2,

(a-b)2=a2-2a•b+b2=2.

又因为a2=b2=|a12=|b12=1,

所以2-2a・b=2,即a•b=0,故a_Lb.

⑵因为a+b=(cosa+cosB,sina+sin8)=(0,1),

“(cosa+cosB=0,,,°、

所以《,।.o4由此得,cosa二cos(n-B),

(sina+sinp=1,

由得0<n-B<n.

又0<a〈ji,故=代入sina+sinB=1,

得sina=sinB而a>B,所以a,B

266

20.(12分)已知函数y」cos2x+如sinxcosx+l,x£R.

22

⑴求它的振幅、周期和初相.

⑵用“五点法”作出它的简图.

⑶该函数的图象可由y=sinx(x£R)的图象经过怎样的平移和伸缩变

换得到？

1V3.41

【解析】y=-cos2x+—sInxcosx+1=-cos

224

2x+—sin2x+-=-sin(2xH—)+—・

442\6/4

17IT

⑴小、+*inxcosx+1的振幅为A二-，周期为T=2~=兀，初相为

22

n

6t二一.

6

(2)令XF2X+-,贝寸y=}in(2x+沙:

6

=-sinxi+-,

24

列出下表，并描点得出的图象如图所示：

71Tl5IT2TT117T

X

12612T12

Tl3n

X10JI2n

2T

y=sinXi010-10

尸刎(2X+£)

57535

544444

+一

4

⑶方法一:将函数图象依次作如下变换:

向左平移［■个单位

0

函数y=sinx的图象"函数y=

sinx+l的图象.

各点横坐标缩短到原来的十（纵坐标不变）

函数y=sin(2x+的图象

各点纵坐标缩短到燎来的弓■（横坐标不变）

—函数y=

向上平移毋个单位

1.

-s।n（2x+：）的图象“函数y=

2

+当+号的图象，即得函数yJcos1+

6742

—sinxcosx+1的图象.

2

方法二：函数y=sinx的图象

各点横坐标缩短到原来的弓（纵坐标不变）

向左平移6个单位

一»函数y=sin2x的图象"函数

向上平移4个单位+）|的图象

+A）的图象---------►函数

各点纵坐标缩短到原来的;（横坐标不变）1卜：的图象，即得函数

------------------------a函凌攵y=-sinX+J+

2

1

y=-cos2x+—sinxcosx+1的图象.

22

21.(12分)在如图所示的直角坐标系xOy中，点A,B是单位圆上的点,

且A(l,0),NA0B=:现有一动点C在单位圆的劣弧姮上运动，设

ZA0C=a.

(1)求点B的坐标.

1

⑵若tanaq,求加.比的值.

(3)若o6=xo4+y而,其中x,y£R,求x+y的最大值.

【解析】(1)由任意角的三角函数定义，可得点B的坐标为(表9)

(2)因为OA=(1,0),oc=(cosa,sina),

_.1T[

所以苏•(acosa.又tana二一,且0WaW—,

33

〜,3710

所以cosa=----,

10

即不武造

10

⑶方法一：由OC=XQA+yOB,

得(cosa,sina)=x(1,0)

V3

cosa=x+-y,x=cosa-sina,

所以L2得3

.V32V3.

sina=­y,y=-sina,

所以x+y=cosa+—sina=—(V3cosa+sina)

33

3~^sin(a+又OWa

3\3/3

所以当a二一时，x+y有最大值二一.

63

方法二：由已知可得

OC•OA-xOA-OA+>OB•OA,

OC-OB=xOA-OB+yOB•OB,

,1

cosa=x+-y,

即

cos碧-a)=Ix+y.

2

所以x+y=-cosa+cos

3

=-f—sina+-cosaVcosa+—sina

3k2273

=V2V3s.,V（