高考数学二轮复习 3个附加题综合仿真练（六）-人教版高三数学试题

3个附加题综合仿真练(六)1．本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：(1)∠PAC＝∠CAB；(2)AC2＝AP·AB.证明：(1)因为PC切半圆O于点C，所以∠PCA＝∠CBA.因为AB为半圆O的直径，所以∠ACB＝90°.因为AP⊥PC，所以∠APC＝90°.因此∠PAC＝∠CAB.(2)由(1)知，△APC∽△ACB，故eq\f(AP,AC)＝eq\f(AC,AB)，即AC2＝AP·AB.B．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02)).(1)求AB；(2)若曲线C1：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．解：(1)因为A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))，所以AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,10)).(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x，y)，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y0＝x，,x0＝y，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y，,y0＝\f(x,2).))因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，则eq\f(x\o\al(2,0),8)＋eq\f(y\o\al(2,0),2)＝1，从而eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,8)＝1，即x2＋y2＝8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2＋y2＝8.C．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝sinα－2))(α为参数)．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝β，若圆C与直线l相切，求直线l的极坐标方程．解：圆的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝1，设直线l对应的直角坐标方程为y＝kx，因为圆C与直线l相切，所以d＝eq\f(|2|,\r(1＋k2))＝1，得到k＝±eq\r(3)，故直线l的极坐标方程θ＝eq\f(π,3)或θ＝eq\f(2π,3).D．[选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.证明：由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.2.已知正六棱锥S­ABCDEF的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积．(1)求概率P(X＝eq\r(3))的值；(2)求X的概率分布，并求其数学期望E(X)．解：(1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有Ceq\o\al(3,7)＝35种取法．其中X＝eq\r(3)的三角形如△ABF，这类三角形共有6个．因此P(X＝eq\r(3))＝eq\f(6,35).(2)由题意，X的可能取值为eq\r(3)，2，eq\r(6)，2eq\r(3)，3eq\r(3).其中X＝eq\r(3)的三角形如△ABF，这类三角形共有6个；其中X＝2的三角形有两类，如△SAD(3个)，△SAB(6个)，共有9个；其中X＝eq\r(6)的三角形如△SBD，这类三角形共有6个；其中X＝2eq\r(3)的三角形如△CDF，这类三角形共有12个；其中X＝3eq\r(3)的三角形如△BDF，这类三角形共有2个．因此P(X＝eq\r(3))＝eq\f(6,35)，P(X＝2)＝eq\f(9,35)，P(X＝eq\r(6))＝eq\f(6,35)，P(X＝2eq\r(3))＝eq\f(12,35)，P(X＝3eq\r(3))＝eq\f(2,35).所以随机变量X的概率分布为：Xeq\r(3)2eq\r(6)2eq\r(3)3eq\r(3)Peq\f(6,35)eq\f(9,35)eq\f(6,35)eq\f(12,35)eq\f(2,35)所求数学期望E(X)＝eq\r(3)×eq\f(6,35)＋2×eq\f(9,35)＋eq\r(6)×eq\f(6,35)＋2eq\r(3)×eq\f(12,35)＋3eq\r(3)×eq\f(2,35)＝eq\f(36\r(3)＋6\r(6)＋18,35).3．已知数列{an}满足：a1＝1，对任意的n∈N*，都有an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2＋n)))an＋eq\f(1,2n).(1)求证：当n≥2时，an≥2；(2)利用“∀x＞0，ln(1＋x)＜x”，证明：an＜2eeq\f(3,4)(其中e是自然对数的底数)．证明：(1)①由题意，a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))×1＋eq\f(1,2)＝2，故当n＝2时，a2＝2，不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即ak≥2，则当n＝k＋1时，ak＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,kk＋1)))ak＋eq\f(1,2k)＞2.所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①②可知，对所有n≥2，an≥2成立.(2)当n≥2时，由递推公式及(1)的结论有an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2＋n)))an＋eq\f(1,2n)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2＋n)＋\f(1,2n＋1)))an(n≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x)＜x，得lnan＋1≤lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2＋n)＋\f(1,2n＋1)))＋lnan＜lnan＋eq\f(1,n2＋n)＋eq\f(1,2n＋1)，故lnan＋1－lnan＜eq\f(1,n2＋n)＋eq\f(1,2n＋1)(n≥2)，求和可得lnan－lna2＜eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,n－1n)＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＋…＋eq\f(1,2n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))＋eq\f(1,23)·eq\f(1－\f(1,2n－2),1－