高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题4 立体几何 第13讲 空间几何体专题限时集训 理-人教版高三数学试题

专题限时集训(十四)空间几何体(建议用时：45分钟)1．(2014·盐城模拟)已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是________．18eq\r(3)[设底面正六边形外接圆半径为r，正六棱锥的高为h，则r＝3，h＝eq\r(52－32)＝4，故V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×32))×4＝18eq\r(3).]2．(2016·苏锡常镇调研二)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,π)，则eq\f(S1,S2)的值为________．eq\f(3\r(2),π)[由题意可知V1＝a3，S1＝6a2，V2＝eq\f(1,3)×πr2×r＝eq\f(πr3,3)，S2＝eq\r(2)πr2，由eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,π)得a＝r，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,\r(2)πr2)＝eq\f(3\r(2),π).]3．如图13－5，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3图13－56[连结AC交BD于O，在长方体中，∵AB＝AD＝3，∴BD＝3eq\r(2)且AC⊥BD.又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC.又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AO为四棱锥A－BB1D1D的高且AO＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(3\r(2),2).∵S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝3eq\r(2)×2＝6eq\r(2)，∴VA－BB1D1D＝eq\f(1,3)S矩形BB1D1D·AO＝eq\f(1,3)×6eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)＝6(cm3)．]4．(2013·江苏高考)如图13－6，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V图13－61∶24[设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于eq\f(1,4)S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F－ADE的高等于eq\f(1,2)h，于是三棱锥F－ADE的体积V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，故V1∶V2＝1∶24.]5．已知三棱锥P－ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2eq\r(6)，则三棱锥P－ABC的体积为________．9[设棱长为a，由题意知该三棱锥表面展开后得到一个边长为2a的正三角形，故有eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×2a))＝2eq\r(6)，解得a＝3eq\r(2).设三棱锥的高为h，则h2＝a2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)a))2，所以h＝2eq\r(3)，所以VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×3\r(2)2))×2eq\r(3)＝9.]6．如图13－7，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－图13－7eq\f(1,6)[VD1－EDF＝VF－DED1，△DED1的面积为正方形AA1D1D面积的一半，三棱锥F－DED1的高即为正方体的棱长，所以VD1－EDF＝VF－DED1＝eq\f(1,3)S△DED1·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)DD1×AD×AB＝eq\f(1,6).]7．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为________．【导学号：19592042】eq\f(1,3)[如图，由题意知，在三棱锥A－PEF中，PA，PE，PF两两垂直，且PE＝PF＝1，PA＝AB＝2，所以VA－PEF＝eq\f(1,3)S△PEF·AP＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×12))×2＝eq\f(1,3).]8．正三棱锥S－ABC中，BC＝2，SB＝eq\r(3)，D，E分别是棱SA，SB上的点，Q为边AB的中点，SQ⊥平面CDE，则三角形CDE的面积为________．eq\f(\r(10),4)[根据题意在正三棱锥S－ABC中，Q为边AB的中点，故可得AB⊥平面SCQ，则AB⊥SQ，又由SQ⊥平面CDE，故DE∥AB，假设DE∩SQ＝F，又在△SCQ中，SC＝CQ＝eq\r(3)，SQ＝eq\r(2)，则CF＝eq\r(\r(3)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(10),2)，故S△CDE＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(10),2)＝eq\f(\r(10),4).]9．(2016·苏州期末)将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________.5[∵2πr1＝eq\f(1,6)×10π，∴r1＝eq\f(5,6)，同理r2＝eq\f(10,6)，r3＝eq\f(15,6)，∴r1＋r2＋r3＝eq\f(30,6)＝5.]10．(2016·苏北三市三模)已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为________cm3.96π[设圆锥的底面半径为r，则S侧＝πr×10＝60π，∴r＝6.∴圆锥的高h＝eq\r(102－62)＝8.∴圆锥的体积V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×36×8＝96π.]11．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________．eq\r(6)π[如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，从而三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线．由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB·AC＝\r(2)，,AC·AD＝\r(3)，,AB·AD＝\r(6)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝\r(2)，,AC＝1，,AD＝\r(3)，))所以长方体的对角线长为eq\r(AB2＋AC2＋AD2)＝eq\r(6)，从而三棱锥外接球的体积为V＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))3＝eq\r(6)π.]12．用6根木棒围成一个棱锥，已知其中有两根的长度为eq\r(3)cm和eq\r(2)cm，其余四根的长度均为1cm，则这样的三棱锥的体积为________cm3.【导学号：19592043】eq\f(\r(2),12)[由题意知该几何体如图所示，SA＝SB＝SC＝BC＝1，AB＝eq\r(2)，AC＝eq\r(3)，则∠ABC＝90°，取AC的中点O，连结SO，OB，则SO⊥AC，所以SO＝eq\r(SA2－AO2)＝eq\f(1,2)，OB＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),2)，又SB＝1，所以SO2＋OB2＝SB2，所以∠SOB＝90°，又SO⊥AC，所以SO⊥底面ABC，故所求三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),12).]13．若正三棱锥的底面边长为eq\r(2)，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为________．eq\f(1,6)[记正三棱锥为P－ABC，点P在底面ABC内的射影为点H，则AH＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×\r(2)))＝eq\f(\r(6),3)，在Rt△APH中，PH＝eq\r(AP2－AH2)＝eq\f(\r(3),3)，所以VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PH＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,6).]14．已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.则所有正确命题的序号是________．②[①中，不一定正确；②正确；③中，也可能有l⊂α；④中，也可能有l⊂α，不正确．综上只有②正确．]15．(2016·扬州期末)已知正四棱锥底面边长为4eq\r(2)，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为________．5[设正四棱锥的高为h，则eq\f(1,3)×4eq\r(2)×4eq\r(2)×h＝32，∴h＝3，∴底面对角线的长为4eq\r(2)×eq\r(2)＝8.侧棱长为eq\r(32＋42)＝5.]16．(2016·无锡期末)在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________．图13