2021年陕西师大附中中考数学二模试卷（附答案详解）

2021年陕西师大附中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.-2021的相反数是（）

A.—2021B.~C.D.2021

20212021

2.被命名为COV/D-19新型冠状病毒的平均直径约是0.00000009米.将数

0.00000009用科学记数法表示为（）

A.0.9X10-8B.0.9x10-7C.9x10-8D.9xICT,

如图，AB//CD,AD1.AC,/.BAD=35°,则44CD=

A.35°

B.45°

C.55°

D.70°

4.如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，记甲10次成绩的方差

为S"乙10次成绩的方差为53根据折线图判断下列结论中正确的是（）

）成绩饵

・—一甲

一乙

00~~234567—8910

A.S*>S：B.S*<S：C.S旨=S：D.无法判断

5.下列整式运算正确的是()

A.3a+2b=5abB.a2-a3=a6C.(—a3b)2=a6b2D.a2b3+a=/

6.如图，在AABC中，AB=10,cos/ABC=|,。为

BC边上一点，且AC=AC,若DC=4,则8。的值//\

//\

D

B.3

C.4

D.5

7.若点M(l,2)关于y轴的对称点在一次函数y=(3k+2)x+上的图象上，则k的值为

()

A.-2B.0C.-1D.V

8.如图，将矩形ABC。折叠，使点C和点A重合，折痕为EF,E尸与4c交于点。,若

AE=5,BF=3,则40的长为()

A.V5

9.如图，在半径为3的。。中，AB是直径，4c是弦，D

是配的中点，AC与交于点E.若E是8。的中点,

则AC的长是()

A.

B.3V3

C.3V2

D.4V2

10.已知二次函数y=产_2bx+2b2-4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点

A(l-b,m),B(2b+c,m),且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为

()

A.-1B.2D.4

二、填空题(本大题共4小题，共12.0分)

11.分解因式：m3—m=.

12.如图，在正六边形A88EF中，分别以C、尸为圆心，以边长为半径作弧，图中阴

影部分的面积为24兀，则AE长为

第2页，共27页

B

13.如图，在Rt^ABO中，/.ABO=90°,反比例函数y=-(k<0)的图象与斜边。4

相交于点C,且与边AB相交于点D.已知。C=24C,且△4。。的面积为1,则女的

值为.

14.如图，AaBC和AADE均为等腰直角三角形，AB=3,AD=2,连接CE、BE,效

F、G分别为OE、BE的中点，连接尸G,在AZDE旋转的过程中，当。、E、C三

点共线时，线段FG的长为.

三、解答题(本大题共11小题，共78.0分)

15.计算：（—述）X&-G）T+|V5-2].

mz-4m+43

16.

m-1m-1-1)

17.如图，AABC为锐角三角形，AB=AC,过C作直线m〃4B.请你用尺规在直线〃?

上找一点尸，使得NBPC=：Z_B4C.（保留作图痕迹，不写作法）

C刑

18.如图，在AABC中，点O,E分别是AB、AC边上的点,

BD=CE,乙ABE="CD,BE与CO相交于点尸,求证：

AB=AC.

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19.为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，我学校举行有关垃圾分类的知识测试活动，

现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分，6分及6分以上为

合格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

七年级20名学生的测试成绩为：

7,8,7,9,7,6,5,9,10,9,8,5,8,7,6,7,9,7,10,6.

八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：

年级平均数众数中位数

七年级7.5b7

八年级a8C

请你根据以上提供信息，解答下列问题:

⑴上表中a=,b=>।

(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？

请说明理由(写出一条理由即可)；

(3)我校七、八年级共1100名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成

绩合格的学生人数是多少？

20.如图，建筑物BC上有一个旗杆A8,小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，

测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树产。，小芳沿CD后退，

发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面

上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆48=3米，FD=4

米，DE=5米，EG=1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条

直线上，AC、FD均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC.

21.小芳从甲地出发沿一条笔直的公路匀速骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y(0n)

与出发时间t(h)之间的函数关系式如图1中的线段AB所示，在小芳出发的同时，

小亮从乙地沿同一公路匀速骑行前往甲地，两人之间的距离s(kzn)与出发时间t(h)

之间的函数关系式如图中折线段CD-DE-EF所示.

(1)小芳骑行的速度为km"，小亮骑行的速度为km/h；

(2)求线段。E所表示的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3)求两人出发后1.5无两人之间的距离.

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图1图2

22.如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2,

4,6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1,3,5的三个完全相同的小球

.小芳先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转)，

小亮再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字，然后将小球放回瓶中.

(1)小亮随机摸球15次，其中6次摸出标有数字5的球，求这15次中摸出标有数

字5的球的频率；

(2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小芳赢；若得到的两数字之和是7的倍数,

则小亮赢，此游戏公平吗？请说明理由.

23.如图,A8为。。的直径,C为BA延长线上一点,CO与。。相切与点£>,靛=2配,

连接4E,DE.

⑴求证：/.ADC=4E：

(2)若s讥C=%BD=6,求AE的长.

D

24.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/+bx+c过4(一3,-4),B(0,-l)两点.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a.x2+瓦x+Q(%40),点

C是平移后的抛物线与原抛物线的交点，点。为原抛物线对称轴上的一点，在平面

直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四边形为矩形，若存在，

请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由.

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25.问题探究：

⑴如图1,已知A/IBC中，BC=6,-1=120。，则448。面积的最大值=.

(2)如图2,已知(ABC中,AB=4,Z.BAC=105°,ZC=45°,。为边3c的中点，

求AABD的面积.

问题解决：

(3)如图3,某市打算在一处空地规划一个正方形的大型新兴商业区A8CQ,Q是

边上的正门，且DQ=3AQ,E、B分别为48边上的两个安全出口，且力F=BE,

其中BD与CE的交点G是服务台，DF与AG的交点P是母婴室.按相关政策规定

正门距母婴室的距离0P不超过50相，试求在符合政策规定的前提下，亲子区域即

△4DP面积的最大值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：-2021的相反数是：2021.

故选：D.

利用相反数的定义分析得出答案.

此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键.

2.【答案】C

【解析】解：0.00000009=9x10-8.

故选：C.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO-%与较大数的科

学记数法不同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面

的。的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axIO",其中lW|a|<10,〃为由

原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

3.【答案】C

【解析】解：AB//CD,

•••乙4DC=乙BAD=35°,

vAD1AC,

：.乙4DC+N4CD=90°,

Z.ACD=900-35°=55°,

故选：C.

由平行线的性质得N4DC=^BAD=35。，再由垂线的定义可得三角形AC。是直角三角

形，进而得出4ACD的度数.

本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，属于基础题型.

4.【答案】A

【解析】解：由折线统计图得乙运动员的成绩波动较大，所以s*>s3

故选:A.

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利用折线统计图可判断乙运动员的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方

差的大小.

本题考查了折线统计图和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,

则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳

定性越好.

5.【答案】C

【解析】解：A、2a与%不是同类项，无法计算，故此选项错误；

B、a2-a3=a5,故此选项错误；

C、（一a3b）2=a6b2,故此选项正确；

£＞、a2b34-a=ab3,故此选项错误；

故选：C.

直接利用合并同类项，同底数事的乘法，积的乘方运算法则分别计算得出答案.

此题主要考查了合并同类项，同底数幕的乘法，单项式除以单项式，积的乘方，正确掌

握运算法则是解题关键.

6.【答案】C

【解析】解：过点4作4E1BC,垂足为E.

AD=AC,AE1BC,

•••DE=CE=-DC=2.

2

在RtZk/BE中，

3

vAB=10,cosZ-ABC=

XvcosZ-ABC=与

AB

・♦.BE—6.

.•■BD=BE-DE=6-2=4.

故选：C.

过点4作4EIBC,垂足为E.根据等腰三角形的性质先求出OE,再在直角△ABE中求

出BE,求BE与。E的差可得结论.

本题考查了等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握等腰三角形的三线合一和直角三角

形的边角间关系是解决本题的关键.

7.【答案】A

【解析】解:M(l,2)关于y轴的对称点是(-1,2),

把(—1,2)代入可得：2=—(3k+2)+k,

解得：k=—2.

故选：A.

根据M的坐标可得它关于)，轴对称点的坐标(-1,2),再把(-1,2)代入关系式可得k的值.

本题考查一次函数的性质、关于y轴对称的点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利

用一次函数的性质解答.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段

的长是得出答案的前提.由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF=FC=AE=5,

由勾股定理求出AB,AC,进而求出04即可.

【解答】

解：•.•矩形A8CD,

AD//BC,AD=BC,AB=CD,

:.Z.EFC=Z.AEF9

由折叠可得N4FE=乙EFC,

Z.AEF=Z.AFE,

•■AE=AF=3,

由折叠得，FC=AF,0A=0C,

•••BC=3+5=8,

在Rt△力BF中，AB=V52-32=4-

在Rt△4BC中，AC=V42+82=4痘,

•••0A-0C—2V5>

故选：C.

9.【答案】D

【解析】

第12页，共27页

【分析】

连接。。，交AC于F,根据垂径定理得出。D_LAC,AF=CF,进而证得DF=BC,根

据三角形中位线定理求得OF=lBC=^DF,从而求得BC=OF=2,利用勾股定理即

可求得AC.

本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定

理是解题的关键.

【解答】

解：连接0。交AC于巴

D是黛的中点，

OD14C,AF=CF,

乙DFE=90°,

•••OA=OB,AF=CF,

•••OF=2-BC,

・•・48是直径，

乙ACB=90°,

在^EFD^hECB中

\LDFE=Z.ACB=90°

Z-DEF=乙BEC

DE=BE

^LEFD^LECBf.AAS),

・・・DF=BC,

・•・OF=-DF,

vOD=3,

・・・OF=1,

：•BC=2,

在RM48C中，AC2=AB2-BC2,

・•・AC=7AB2-BC2=76?-22=4企,

故选D.

10.【答案】c

【解析】解：由二次函数y=x2-2bx+2b2-4c的图象与x轴有公共点，

•••(-26)2-4x1x(2b2-4c)>0,即/一4cW0①，

由抛物线的对称轴x=-学=b,抛物线经过不同两点力(1—b,m)，B(,2b+c,m),

②代入①得，b2-4(b-l)<0,即(6-2)240,因此b=2,

c=b-1=2-1=1,

,b+c=2+l=3,

故选：C,

求出抛物线的对称轴无=再由抛物线的图象经过不同两点

b,4(1-bfm)fB(2b+c,m),

也可以得到对称轴为If当b+c,可得=c+1,再根据二次函数的图象与X轴有公共点，

得到川―4cS0,进而求出仇c的值.

本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关

系是解决问题的关键.

11.［答案】m(m+1)(租—1)

【解析】解：3

m-m9

=m(m2—1),

=m(m+l)(m—1).

先提取公因式加，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解

因式.

12.【答案】6V3

【解析】解：设正六边形的边长为r,£-------------/

正六边形的内角为(6-2义18。0=120。，

•阴影部分的面积为24兀，J\„\\，一

2'12071/

=24兀，

360

第14页，共27页rD

解得r=6,

则正六边形的边长为6,

连接AE,过尸作FH14E于",

vFA=FE,

■■■AAFH=-2AFE=60°,AH=EH,

•••AH=AF-sin600=6x—=3显,

2

:.AE=6V

故答案为：6^3.

根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，由扇形面积公式可求得正六边形的边长，

过尸作FH14E于"，解Rt△AFH即可求得AH,进而得到AE.

本题考查了正多边形和圆，扇形面积的计算，本题的关键是根据多边形的内角和公式求

出扇形的圆心角.

13.【答案】一：

【解析】解：过点C作CHlx轴，交OD于M,

vAB1%轴,

/.CH//AB,

•••△0cMAOD,

vOC=2AC,

OC2

(*(----•一,

OA3

.S-ocM_4

S^OAD9'

又・•・△/。。的面积为1,

AS^OCM=g，

•・•△。£77与4OBD的公共部分为△0MH,

''S»OCM=S四边形BHMD，

VCH"AB,

0MHs△OBD,

.S-OMH=£

SAOBD9'

S四边形DBHM5

--------------=­,

S^OBD9

SAOBD=

••・根据k的几何意义和函数过第二象限可得,

k=­

5

故答案为：—

首先过点C作CH1x轴，根据相似得到△0cM的面积，然后根据等积变形得到四边形

的面积，然后根据相似得到△OBD的面积，最后根据上的几何意义即可得到结果.

本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数图像与性质，相似的性质，等积变形，

因此分析图形，找到面积之间的关系是解答本题的关键.

14.【答案】学或学

【解析】解：如图1,连接3。,

・・•乙BAD=90°-乙BAE,Z.CAE=90°-乙BAE,

・•・Z.BAD=Z.CAE.

在△4D8和△/EC中，

AD=AE

Z.BAD=Z.CAE,

AB=AC

•••△/DBwzMEC(SAS).

：•BD=CE,Z.ADB=L.AEC=135°,

・・・乙BDC=135°-45°=90°.

第16页，共27页

•••△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB=3,4D=2,

DE=2vLBC=3V2.

设BD=x,则DC=2V2+x.

在RtZiBDC中，禾I」用勾股定理BO?+。。2=8。2,

22=

•••x+(2A/2+x)=18>解得X]=一四一夕(舍去)，%2­/2+V7.

•••点F、G分别为DE、BE的中点，

FG=-BD=币.

22

如图2,同理，设BO=CE=a,

在RtZkBDC中，BD24-CD2=FC2,

:.a2+(a-2V2)2=18,

解得Q=夜—V7(舍去)，a=V7+V2»

FG=-BD=且它，

22

分两种情况画出图形，如图1,连接8。，证明△ADB三△AEC,求得NBDC=90。，在

Rt^BDC中利用勾股定理求出8。长度，最后利用三角形中位线性质求解FG长度，如

图2,同理可求出8。的长，则可得出答案.

本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线性质，解题的关键

是找到共顶点的全等三角形，从而得到直角三角形，运用勾股定理求解线段长度.

15.【答案】解：原式=-A/6x2-2-（百-2）

=-2V3—2—V3+2

=—3>/3.

【解析】根据二次根式的乘法法则、负整数指数幕和绝对值的意义计算.

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次

根式即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，

选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

16.【答案】解：原式=如立+匕--丝辿:当

m-1*7n-lm-1

(m-2)2(2―m)(2+m)

m—1m—1

(m—2)2m—1

=-------x-------------

m—1(2—tn)(2+m)

_2-m

2+m*

【解析】直接将括号里面通分，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案.

此题主要考查了分式的混合运算，正确将括号里面通分运算是解题关键.

17.【答案】解：如图，点P、P'为所作.

【解析】先在直线加上截取CD=CA,则A。平分NBAC,再截取DP=4B,则证明

所以NBPC=：4BAC,然后以8点为圆心，8P为半径画弧交直线加于P',则/BP'C=

-Z.BAC.

2

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结

合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行线的判

定与等腰三角形的性质.

18.【答案】证明：•••乙4BE=^4CD,

•••乙DBF=Z.ECF,

在ABD尸和aCEF中，

2DBF=Z.ECF

乙BFD=Z.CFE,

BD=CE

•••ABDF"CEF^AAS),

第18页，共27页

・•・BF=CF,

・•・乙FBC=Z-FCB,

:.Z-ABE+Z-FBC=Z.ACD+乙FCB,

・•・LABC=Z-ACB,

・•・AB=AC.

【解析】先证△BDF=LCEF,得至IJBF=CF,由全等三角形的性质得至=乙FCB,

进而得出乙4BC=LACB,根据等腰三角形的判定即可得到AB=AC.

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定

是解决问题的关键.

19.【答案】7.577.5

【解析】解：⑴a5X2+6X4+7X4+8X5+9X2+10X3=7.5（分）,

20

七年级学生成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此七年级学生成绩的众数为7

分，即b=7；

八年级学生成绩，从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为詈=7.5(分)，因

此八年级学生成绩的中位数是7.5分，即c=7.5；

故答案为：7.5,7,7.5；

(2)八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由为：八年级的学生成绩的中位数、众数都

比七年级学生的高；

(3)1100x黑=990(人)，

答：我校七、八年级1100名学生中测试成绩合格大约有990人.

(1)根据中位数、众数、平均数的计算方法求解即可得出。、6、c的值；

(2)从中位数、众数的角度调查结论即可；

(3)求出七、八年级的总体合格率即可.

本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、平均数、众数的计

算方法是正确解答的前提.

20.【答案】解：由题意可得，^ACF=^EDF=90°,^AFC=AEFD,

•••△/ICF-AEDF,

AC__CF_

ED-DF'

即rjr-t-3-+-BC=-C-D-+-5

45

CD=

4

由题意可得，Z-BCG=Z.EDG=90°,乙BGC=^EGD,

BCG~XEDG,

BC_CG

ED~DG9

□(IBCCD+5+1.5

即7=

5+1.5

・•・6.5BC=4(CD+6.5),

6.5BC=4X^££^+26,

4

••・BC=14,

••.这座建筑物的高BC为14米.

【解析】根据相似三角形的判定和性质得出CD,进而解答即可.

此题考查似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质解答.

21.【答案】1620

【解析】解：(1)由题意可得：小芳速度=瑞=16(km"),

设小亮速度为xkm",

由题意得：1x(16+x)=36,

・•・x=20,

答：小亮的速度为20km//i,小芳的速度为16/cm//i；

故答案为：16,20；

(2)由图象可得：点E表示小亮到了甲地，此时小芳没到,

•••点E的横坐标=非='

点E的纵坐标=(x16=詈

•••点黑芳),

,设线段。E所表示的函数关系式为：s=kt+b,

将。(1,0),E(3,詈)代入得:

A+b=0

〃+b=匕解得：｛fk:=36

b=-36'

.55

第20页，共27页

线段。E所表示的函数关系式为：s=36t-36,

•••小亮速度较快，

・•・相遇后小亮前往甲地的时间为：芫=0.8(h),

•••自变量的取值范围为：lWtW1.8；

(3)t=1.5,1<1.5<1.8,

•••t—1.5时，s=36x1.5-36=18(/cm),

答：两人出发后1.5八两人之间的距离是18h〃.

(1)由点A,点B,点。表示的实际意义，可求解；

(2)理解点E表示的实际意义，则点E的横坐标为小亮从甲地到乙地的时间，点E纵坐

标为小芳这个时间段走的路程，根据。，E的坐标即可求解；

(3)根据1<1.5<1.8以及(2)中求得的函数关系式即可求解.

本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，掌握路程、速度、时间之间的

关系，属于中考常考题型.

22.【答案】解：(1)小亮随机摸球15次，其中6次摸出标有数字5的球，这15次中摸

出标有数字5的球的频率为卷=|：

(2)此游戏公平，理由如下：

用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

盘

摸铲、246

12,14,16,1

32,34,36,3

52,54,56,5

共有9种等可能的结果，BP(2,1)(2,3)(2,5)(4,1)(4,3)(4,5)(6,1)(6,3)(6,5)；

得到的两数字之和是3的倍数的有3个，得到的两数字之和是7的倍数有3个,

••・小芳赢的概率=小亮赢=g=%

•••此游戏公平.

【解析】(1)由频率公式求解即可；

(2)画树状图，求出小芳赢的概率=小亮赢=%即可得出结论.

本题考查了游戏公平性、列表法或树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每

个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.

23.【答案】（1）证明：如图，连接0。,

D

•••0)与0。相切与点。，

:.乙CD0=90°,

・・・48为。。的直径，

・•・Z,ADB=90°,

・•・Z.ADC+Z.ADO=乙BDO+/.ADO=90°,

•・,OD=OB,

:.Z-ODB=Z.OBD,

:.Z.ADC=乙OBD,

v乙OBD=乙E,

・，・Z-ADC=乙E；

(2)解：在RtACOD中，sinC=^=p

设。7)=X,则0C=3%,

•••CD=yJOC2-OD2=2缶，

:.AC=OC-OA=OC-OD=3x—x=2x,

.・.BC=AC+AB=2%+2%=4%,

v/.ADC=乙E,乙E=乙B,

:.Z.ADC=乙B,Z-C=Z.C,

・•・△ADC~bDBC,

AAD_CD

•・BD~CB9

BD—6,

AD2yfix

•••—_____,

64%

AD=3近，

•••AB=yjAD2+BD2=V54=376.

连接BE,

第22页，共27页

D

-：AE=2BErAB是直径,

1•-4BAE=30°,

AE=AB-cos300=3V6x—=^.

22

答：AE的长为这.

2

【解析】(1)连接。。，根据切线的性质和圆周角定理即可证明结论；

(2)根据sinC=%BO=6,设。。=x,则。C=3x,证明△ADCsADBC对应边成比例

可得AO的长，根据勾股定理可得AB的长,根据第=2配,AB是直径，可得NB4E=30°,

利用特殊角三角函数值即可求出AE的长.

本题属于几何综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的

判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识.

24.【答案】解：(1)将点A、8的坐标代入抛物线表达式

得

[—4=9-3b+c

tc=—1

解得e?i，

故抛物线的表达式为：y=%2+4%-l；

(2)抛物线的表达式为：y=%24-4%—1=(%4-2)2—5,

则平移后的抛物线表达式为：y=/-5,

联立上述两式并解得：二]:，

故点C(-l,-4).

设点D(—2,巾)、点E(s,t),而点8、C的坐标分别为(0,—1)、(-1,-4)；

①当BC为矩形的边时，

点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B,同样。(E)向右平移1个单位向上平移

3个单位得到E(C),

即—2+1=s且m+3=t①或-2-1=s且m-3=t②，

当点。在E的下方时，则BE=BC,即s2+(t+l)2=M+32(^,

当点。在E的上方时，则BD=BC,即2?+(m+1尸=/+32④，

联立①③并解得：s=-l,t=2或-4(舍去一4),故点E(-l,2)；

联立②④并解得：s=—3,t=—4+V6>

故点E(—3,-4+遍)或(-3,-4一通)：

②当BC为矩形的的对角线时，

则由中点公式得：-1=s-2且-4-1=m+t⑤，

此时，BD=BE,即2?+(m+1)2=$2+(t+⑥，

联立⑤⑥并解得：s=l,t=-3,

故点E(l,-3),

综上，点E的坐标为：(一1,2)或(―3,-4+遍)或(―3,—4—遍)或(1,一3).

【解析】(1)将点4、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

(2)分BC为矩形的边、矩形的的对角线两种情况，分别求解即可.

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法确定函数解析式，一次函数的性质、

矩形的性质、图形的平移等，其中第(