模型07 将军饮马模型（教师版）

PAGE1模型介绍模型介绍一、两条线段和的最小值。基本图形解析：（一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）点A、B在直线m异侧：解：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’例题例题精讲考点一、两定一动模型【例1】.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（）A．7 B．6 C．9 D．10解：如图所示，连接BM，∵DE是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴AM+CM＝BM+CM，当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，又∵AC＝4，BC＝6，∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，故选：D．变式训练【变式1-1】．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是（）A．2 B． C． D．4解：如图，连接BE，则BE就是PA+PE的最小值，∵Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，∴CE＝2cm，∴BE＝＝2，∴PA+PE的最小值是2．故选：C．【变式1-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝，即PA+PB的最小值为．故答案为：．【变式1-3】．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（5，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为．解：作N关于OA的对称点N'，连接N'M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN'，∴ON＝ON'，∠N'ON＝2∠AON＝60°，∴△NON'是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N'M⊥ON，∵点N（5，0），∴ON＝5，∵点M是ON的中点，∴，∴，∴．故答案为：．考点二、一定两动模型【例2】.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________.解：在AB上取一点G，使AG＝AF，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS），∴FE＝EG，∴CE+EF＝CE+EG，则最小值时CG垂直AB时，CG的长度，CG＝．变式训练【变式2-1】．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝4，若E是BC上的动点，F是AC上的动点，则AE+EF的最小值为3．解：∵∠A＝90°，∠B＝60°，∴∠C＝30°，作A关于BC的对称点D，交BC于H，过D作DF⊥AC于F，交BC于E，则此时AE+EF的值最小，且AE+EF的最小值＝DF，连接CD，则△ACD是等边三角形，∵S△ADC＝AC•DF＝AD•CH，∵AD＝AC，∴DF＝CH，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，∴AB＝BC＝2，同理BH＝AB＝1，∴CH＝BC﹣B＝3，∴DF＝CH＝3，∴AE+EF的最小值为3，故答案为：3．【变式2-2】.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是2．解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，∴P′D′＝2，即DQ+PQ的最小值为2，故答案为：2．【变式2-3】．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为100°．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，∵∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠130°＝50°，由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．故答案为：100°．考点三、线段差最大值模型【例3】.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.解：∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，∴BC＝20﹣12＝8（cm），在MN上取点P，∵MN垂直平分AC连接PA、PB、PC∴PA＝PC∴PA﹣PB＝PC﹣PB在△PBC中PC﹣PB＜BC当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm．变式训练【变式3-1】．如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P在直线y＝﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为_________.解：作A关于直线y＝﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y＝﹣x﹣；求BC与直线y＝﹣x的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值，其他BCP不共线的情况，根据三角形三边的关系可得|PC﹣PB|＜BC；【变式3-2】．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于10．解：延长AB交MN于点P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|PA﹣PB|的最大值等于10，故答案为：10．【变式3-3】．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD上一动点，连接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．解：由菱形性质可知，C点关于BD的对称点A，连接AP，则AP＝CP，在△APE中，|PE﹣PA|＜EA，则当点P、E、A三点共线时，|PE﹣PA|取最大值，最大值为AE．∴|PC﹣PE|的最大值为AE．∵菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∵点E为AB边的中点∴AE＝2.5，∴|PC﹣PE|的最大值为2.5．模型四、造桥选址模型（即动线段类型）【例4】.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为12．解：∵AB＝5，PQ＝2，∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM＝PQ，∵点F是BC的中点，∴点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，∴CM＝＝5，∴四边形APQB的周长最小值为5+7＝12．故答案为：12．变式训练【变式4-1】．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为（，0）．解：点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝2，DE＝CE＝2，AE＝，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝6﹣2﹣x＝4﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝4﹣x，∴，解得：x＝，∴BP＝6﹣2﹣＝，故点P的坐标为：（，0）．故答案为：（，0）．【变式4-2】．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE、CF，则△CEF周长的最小值为．解：如图所示，连接AE，AC，以AE，EF为邻边作平行四边形AEFG，则AE＝FG，EF＝AG＝，∠GAD＝∠ADF＝45°＝∠DAC，∴∠GAC＝90°，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴CE＝AE＝GF，∴CE+CF＝GF+CF，∴当G，F，C在同一直线上时，CF+FG的最小值等于CG的长，此时，Rt△ACG中，CG＝＝＝2，∴CF+FG的最小值等于2，又∵EF＝，∴△CEF周长的最小值为，故答案为：．【变式4-3】．在直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，线段EF在边OA上移动，保持EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E，F的坐标．解：如图，作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG＝2，连接D′G与x轴交于点E，在EA上截EF＝2，∵GC∥EF，GC＝EF，∴四边形GEFC为平行四边形，有GE＝CF，又DC、EF的长为定值，∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小，∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，有＝，∴OE＝＝＝＝，∴OF＝OE+EF＝2＝，∴点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，0）．实战演练实战演练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A． B．4 C．5 D．解：作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，如图2所示.∵AD平分∠BAC，∴点Q′在直线AB上，PQ＝PQ′，∴PC+PQ＝PC+PQ′，∴当CQ′⊥AB，点P为CQ′与AD的交点时，PC+PQ′取得最小值，最小值为CQ′．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∴AC•BC＝AB•CQ′，即×6×8＝×10•CQ′，∴CQ′＝，∴PC+PQ的最小值为．故选：D．2．如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PC+PE最小，则这个最小值的平方为（）A． B． C．12 D．解：连接AC，AE，过C作CG⊥AB，∵正方形ABEF，∴AE⊥BF，OA＝OE，即可得：E关于BF的对称点是A，连接AC交BF于P，则此时EP+CP的值最小，EP+CP＝AC，∵正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2，在Rt△BCG中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，∴CG＝1，BG＝，∴AC＝，∴AC2＝8+4，即这个最小值的平方为8+4，故选：B．3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）A． B． C． D．2解：法一：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，∵DP＝PA，∴PA+PC＝PD+PC＝CD，∵B（3，），∴AB＝，OA＝3，∠B＝60°，由勾股定理得：OB＝2，由三角形面积公式得：×OA×AB＝×OB×AM，∴AM＝，∴AD＝2×＝3，∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝AD＝，由勾股定理得：DN＝，∵C（，0），∴CN＝3﹣﹣＝1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝＝，即PA+PC的最小值是，法二：如图，作点C关于OB的对称点D，连接AD，过点D作DM⊥OA于M．∵AB＝，OA＝3∴∠AOB＝30°，∴∠DOC＝2∠AOB＝60°∵OC＝OD∴△OCD是等边三角形∴DM＝CD•sin60°＝，OM＝CM＝CD•cos60°＝∴AM＝OA﹣OM＝3﹣＝∴AD＝＝即PA+PC的最小值为故选：B．4．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2 B．3 C． D．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝8，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝4，∵N为OA中点，∴ON＝2，∴ON'＝CN'＝2，∴AN'＝6，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故选：A．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）A．0 B．4 C．6 D．8解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，FC＝4＝AE，∵点M与点F关于BC对称∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°∴∠ACM＝90°∴EM＝＝4则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2∵AB＝BC，AE＝CF，∠BAE＝∠BCF∴△ABE≌△CBF（SAS）∴BE＝BF＝2∴PE+PF＝4∴点P在BH上时，4＜PE+PF≤4∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．即共有8个点P满足PE+PF＝9，故选：D．6．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当|BC﹣AC|最大时，点C的坐标是（0，6）．解：∵A（1，4），B（3，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，∵|BC﹣AC|≤AB，∴当A、B、C三点共线时，|BC﹣AC|的值最大，此时C（0，6）故答案为（0，6）7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使三角形AMN周长最小时，则∠MAN的度数为80°．解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝130°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝50°，∴∠AMN+∠ANM＝2×50°＝100°．∴∠MAN＝180°﹣100°＝80°，故答案为：80°8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+BC＝14，tanB＝0.75，点D，E分别是边AB，BC上的动点，则DC+DE的最小值为．解：作C关于AB的对称点C'，过C'作C'E⊥BC，与AB交于点D，则DC+DE的最小值即为C'E；∵∠ACB＝90°，AC+BC＝14，tanB＝0.75，∴AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴CC'＝，∵∠B＝∠C'，∴，∴C'E＝，故答案为；9．如图，在▱ABCD中，点M、N分别是AC和BC上的动点，AB＝3，BC＝6，∠D＝60°，在点M、N运动的过程中，BM+MN的最小值为3．解：延长BA到E，使EA＝AB，过点E作EN⊥BC于N，交AC于M，连接BM,在▱ABCD中，∠D＝60°，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵△ABC中，AB＝3，EA＝AB，∴BE＝BC＝6，△EBC是等边三角形，∴点E和点B关于AC对称，∴BM+MN的最小值即为EN的长，Rt△EBN中，∠BNE＝90°，∠ABC＝60°，BE＝6，∴BM+MN＝EN＝BE×sin60°＝3．故答案为：3．10．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为2．解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′，EA′＝＝2，∴AC+BD的最小值为2．故答案为：2．11．如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB＝6，则BP﹣PE的最大值是3．解：如图，连接PC，∵△ABC是等边三角形，AD是中线，∴AD⊥BC，∴PC＝PB，∵E是AC边的中点，AB＝6，∴EC＝3，在△PCE中，CP﹣PE＜EC，∴CP﹣PE＜3，∴当P与A重合时，CP﹣PE的值最大为3，BP﹣PE的最大值是3．故答案为：3．12．如图，在平面直角坐标系中，点P（4，5），点Q（0，2），当腰长为2的等腰直角三角形ABC在x轴上滑动时，AQ+PC的最小值为．解：连接QC、AQ、CO、OP，如右图所示，∵Q（0，2），△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，∴∠CAO＝∠QOA＝∠OQC＝90°，∴四边形QOAC是矩形，∴AQ＝OC，∴AQ+PC＝OC+PC，∵OP＜OC+PC，等腰直角三角形ABC在x轴上滑动，∴当OC+PC等于OP时，取得最小值，∵点P（4，5），∴OP＝＝，∴AQ+PC的最小值是，故答案为：．13．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，EG＝EF，且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值为2．解：取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；∵MN∥AD，∴HM＝AE，∵HB⊥HM，AB＝4，∠A＝60°，∴MB＝2，∠HMB＝60°，∴HM＝1，∴AE'＝2，∴E点与E'点重合，∵∠AEB＝∠MHB＝90°，∴∠CBE＝90°，在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝4，∴EC＝2，故答案为2；14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值为4．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，则A′A＝＝3，则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，故答案为：4．15．如图抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则A（﹣3，0），B（1，0），∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，∴DE和DF都为△PBC的中位线，∴DE＝PC，DF＝PB，∴DE+DF＝（PC+PB），连接AC交直线x＝﹣1于P，如图，∵PA＝PB，∴PB+PC＝PA+PC＝AC，∴此时PB+PC的值最小，其最小值为3，∴DE+DF的最小值为．故答案为．16．如图，正方形ABCD边长为4，DE＝1，M，N在BC上，且MN＝2．求四边形AMNE周长的最小值．解：在AD上取一点A′，使得AA′＝MN＝2，作A′关于BC的对称点A″，连接A″E交BC于N．此时四边形AMNE的周长最短．由题意AE＝＝，A″E＝＝，∴四边形AMNE的周长的最小值为2++．17．（1）如图1，OC平分∠AOB，点D是射线OA边上一点，点P、Q分别在射线OC、OB上运动，已知OD＝10，∠AOC＝30°，则DP+PQ的最小值是10；（2）如图2，在菱形ABCD中，AB＝8，∠DAB＝60°，点E是AB边上的动点，点F是对角线AC上的动点，求EF+BF的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点M是AB上一动点，点N是对角线AC上一动点，请直接写出MN+BN的最小值．解：（1）当D、P、Q共线且DQ⊥OB时，DP+PQ的值最小，∴DP+PQ的最小值是5，故答案为：5；（2）连接DE、BD，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则FD＝FB，∴FE+FB＝EF+FD＝DE，即DE就是FE+FB的最小值，∵∠BAD＝60°，AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∵AE＝BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质），在Rt△ADE中，DE＝＝＝4，∴EF+BF的最小值＝4；（3）如图3，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，连接AB′交DC于P，连接BN，∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠BAC＝∠PCA，∵点B关于AC的对称点是B′，∴∠PAC＝∠BAC，∴∠PAC＝∠PCA，∴PA＝PC．令PA＝x，则PC＝x，PD＝8﹣x．在Rt△ADP中，∵PA2＝PD2+AD2，∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∵cos∠B′AM＝cos∠APD，∴AM：AB′＝DP：AP，∴AM：8＝3：5，∴AM＝，∴B′M＝＝＝，∴MN+BN的最小值＝．

18．（1）如图①，点P为直线l上一个动点，点A，B是直线l外同侧的两个定点，连接PA，PB，AB．若AB＝2，则PA﹣PB的最大值为2．（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，对角线AC⊥BD，垂足为点O，OA＝2OC，点E为OC中点，点F在AB上，且BF＝3AF，点P为BD上一动点，连接PE，PF，若AC＝6，求PF﹣PE的最大值．（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝150°，点P为平面内一动点，连接PA，PB，PC．若PA＝2，求PB﹣PC的最大值.解：（1）根据三角形三边关系两边之差小于第三边，∴只有当A、B、P共线时PA﹣PB有最大值为AB＝2，故答案为：2；（2）如图②，作点E关于BD的对称点E'，连接FE'并延长交BD于P'，同理（1）可知，此时F、E、P共线PF﹣PE有最大值为FE'，∵AC＝6，OA＝2OC，OA+OC＝AC，∴OA＝4，OC＝2，∵点E为OC中点，∴OE＝OC＝1，根据对称性得：OE'＝OE＝1，∵AB＝AD，∠BAD＝90°，AC⊥BD，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB＝AO＝4，∵BF＝3AF，AF+BF＝AB，∴AF＝，作FH⊥AC于H，∵△AOB为等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°，即△AFH也为等腰直角三角形，∴AH＝FH＝AF＝1，∴HE'＝AO﹣AH﹣OE'＝4﹣1﹣1＝2，∴FE'＝＝＝，故PF﹣PE的最大值为；（3）如图③，将△APC绕A点顺时针旋转150°得到△AP'B，则PC＝P'B，∴当点P、P'、B三点共线时，PB﹣PC有最大值为PP'，作PO⊥P'A延长线于O，∵∠BAC＝150°，∴∠OAP＝30°，∴OP＝AP＝1，∴OA＝＝＝，∴P'O＝2+，∴P'P＝＝＝＝，∴P'B﹣P'C＝，故PB﹣PC的最大值为．19．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△ACP的周长最小，请求出点P的坐标；（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．解：（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为M（1，﹣4）．（2）如图1，由（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝1，设直线x＝1交BC于点D，点P为直线x＝1上任意一点，连