2021新高考数学新课程一轮复习学案第九章第3讲变量间的相关关系与统计案例

第3讲变量间的相关关系与统计案例[考纲解读]1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；根据最小二乘法求出回归直线方程．(重点)2.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其初步应用.[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点考查内容．预测2021年将会考查：①回归直线方程的判断、求解及相关系数的意义，并用其解决实际问题；②独立性检验思想在实际问题中的应用．试题以解答题的形式呈现，难度为中等．此外，也可能出现在客观题中，此时试题难度不大，属中、低档题型.1．相关关系与回归方程(1)相关关系的分类①正相关：从散点图上看，点散布在从eq\o(□,\s\up3(01))左下角到eq\o(□,\s\up3(02))右上角的区域内，如图1；②负相关：从散点图上看，点散布在从eq\o(□,\s\up3(03))左上角到eq\o(□,\s\up3(04))右下角的区域内，如图2.(2)线性相关关系：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在eq\o(□,\s\up3(05))一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做eq\o(□,\s\up3(06))回归直线．(3)回归方程①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的eq\o(□,\s\up3(07))距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).其中，eq\o(b,\s\up6(^))是回归方程的eq\o(□,\s\up3(08))斜率，eq\o(a,\s\up6(^))是在y轴上的eq\o(□,\s\up3(09))截距，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do14(i＝1))xi，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do14(i＝1))yi，eq\o(□,\s\up3(10))(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))称为样本点的中心．说明：回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据．(4)样本相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．①当r>0时，表明两个变量eq\o(□,\s\up3(11))正相关；②当r<0时，表明两个变量eq\o(□,\s\up3(12))负相关；③r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性eq\o(□,\s\up3(13))越强；r的绝对值接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．2．残差分析(1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估计值为eq\o(e,\s\up6(^))i＝yi－eq\o(y,\s\up6(^))i＝yi－eq\o(b,\s\up6(^))xi－eq\o(a,\s\up6(^))，i＝1,2，…，n，eq\o(e,\s\up6(^))i称为相应于点(xi，yi)的残差．(2)残差平方和为eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2.(3)相关指数：R2＝1－eq\o(□,\s\up3(01))eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\o(y,\s\up6(－))2).3．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的eq\o(□,\s\up3(01))不同类别，像这类变量称为分类变量．(2)列联表：列出两个分类变量的eq\o(□,\s\up3(02))频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d构造一个随机变量K2＝eq\o(□,\s\up3(03))eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝eq\o(□,\s\up3(04))a＋b＋c＋d为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量eq\o(□,\s\up3(05))K2来判断“两个分类变量eq\o(□,\s\up3(06))有关系”的方法称为独立性检验．1．概念辨析(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．()(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生水平成正相关关系．()(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．()(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．()(5)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√(5)×2．小题热身(1)设回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝3－5x，则变量x增加一个单位时()A．y平均增加3个单位B．y平均减少5个单位C．y平均增加5个单位D．y平均减少3个单位答案B解析因为－5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位，y平均减少5个单位．故选B.(2)在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是()A．①②B．①③C．②④D．②③答案D解析①为函数关系；②显然成正相关；③显然成负相关；④没有明显相关性．(3)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．非一线一线总计愿生452065不愿生132235总计5842100算得K2＝eq\f(100×45×22－20×132,58×42×35×65)≈9.616.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”答案C解析因为K2≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．(4)已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.3x－1，则m＝________.x1234y0.11.8m4答案3.1解析由已知得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)×(1＋2＋3＋4)＝2.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)(0.1＋1.8＋m＋4)＝eq\f(1,4)×(5.9＋m)．因为(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))在直线eq\o(y,\s\up6(^))＝1.3x－1上，所以eq\o(y,\s\up6(－))＝1.3×2.5－1＝2.25，所以eq\f(1,4)×(5.9＋m)＝2.25，解得m＝3.1.题型一相关关系的判断1．下列两变量中不存在相关关系的是()①人的身高与视力；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③某农田的水稻产量与施肥量；④某同学考试成绩与复习时间的投入量；⑤匀速行驶的汽车的行驶距离与时间；⑥商品的销售额与广告费．A．①②⑤B．①③⑥C．④⑤⑥D．②⑥答案A解析根据相关关系的定义知，①②⑤中两个变量不存在相关关系．2．下列命题中正确的为()A．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强B．线性相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱C．残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好答案C解析线性相关系数r的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强，故A，B错误；残差平方和越小，相关指数R2越大，越接近于1，拟合效果越好，故C正确，D错误．3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3答案A解析易知题中图①与图③是正相关，图②与图④是负相关，且图①与图②中的样本点集中分布在一条直线附近，则r2<r4<0<r3<r1.故选A.1.判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关.(2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关．|r|越趋近于1相关性越强．见举例说明3.(3)线性回归直线方程中：eq\o(b,\s\up6(^))>0时，正相关；eq\o(b,\s\up6(^))<0时，负相关.2.判断拟合效果的两个方法(1)残差平方和越小，拟合效果越好．见举例说明2.(2)相关指数R2越大，越接近于1，拟合效果越好.1.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝eq\f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A.－1B．0C.eq\f(1,2)D．1答案D解析所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故选D.2.四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；②y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A.①②B．②③C．③④D．①④答案D解析由回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))知当eq\o(b,\s\up6(^))>0时，y与x正相关，当eq\o(b,\s\up6(^))<0时，y与x负相关，∴①④一定错误.题型二回归分析角度1线性回归方程及应用1.某汽车的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如表：使用年数x/年12345维修总费用y/万元0.51.22.23.34.5根据上表可得y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用(不足1年按1年计算)()A.8年B．9年C．10年D．11年答案D解析由y关于x的线性回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.69过样本点的中心(3,2.34)，得eq\o(b,\s\up6(^))＝1.01，即线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.01x－0.69，令eq\o(y,\s\up6(^))＝1.01x－0.69＝10，得x≈10.6，所以预测该汽车最多可使用11年．故选D.2.(2020·泉州模拟)某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试，测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子停下所需要的距离)，无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于下表.表1停车距离d(米)(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]频数26ab82表2平均每毫升血液酒精含量x(毫克)1030507090平均停车距离y(米)3050607090已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题.(1)求a，b的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；(2)根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)该测试团队认为：若驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？附：回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)依题意，得eq\f(6,10)a＝50－26，解得a＝40.又a＋b＋36＝100，解得b＝24，故停车距离的平均数为15×eq\f(26,100)＋25×eq\f(40,100)＋35×eq\f(24,100)＋45×eq\f(8,100)＋55×eq\f(2,100)＝27.(2)依题意，可知eq\o(x,\s\up6(－))＝50，eq\o(y,\s\up6(－))＝60，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90＝17800，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝102＋302＋502＋702＋902＝16500，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(17800－5×50×60,16500－5×502)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝60－0.7×50＝25，所以回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋25.(3)由(1)知当y>81时，认定驾驶员是“醉驾”.令eq\o(y,\s\up6(^))>81，得0.7x＋25>81，解得x>80，则当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”.角度2非线性回归模型的应用3.(2019·莆田二模)某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量xi(单位：亿元)对年销售额yi(单位：亿元)的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数.现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，i＝1,2，…，12，并对这些数据作了初步处理，得到了如下的散点图及一些统计量的值.令ui＝x2，vi＝lnyi(i＝1,2，…，12)，经计算得如下数据：eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2eq\o(u,\s\up6(－))eq\o(v,\s\up6(－))20667702004604.20eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\i\su(i＝1,12,)(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))3125000215000.30814(1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2)①根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)；②若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？附：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；参考数据：308＝4×77，eq\r(90)≈9.4868，e4.4998≈90.解(1)由题意，r1＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)ui－\o(u,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,12,)ui－\o(u,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,12,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(21500,\r(3125000×200))＝eq\f(21500,25000)＝eq\f(43,50)＝0.86，r2＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up6(－))vi－\o(v,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,12,)vi－\o(v,\s\up6(－))2))＝eq\f(14,\r(770×0.308))＝eq\f(14,77×0.2)＝eq\f(10,11)≈0.91，则|r1|<|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx＋t的拟合程度更好.(2)①先建立v关于x的线性回归方程，由y＝eλx＋t，得lny＝t＋λx，即v＝t＋λx；由于λ＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up6(－))vi－\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(14,770)≈0.018，t＝eq\o(v,\s\up6(－))－λeq\o(x,\s\up6(－))＝4.20－0.018×20＝3.84，所以v关于x的线性回归方程为eq\o(v,\s\up6(^))＝0.02x＋3.84，所以lneq\o(y,\s\up6(^))＝0.02x＋3.84，则eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.02x＋3.84.②下一年销售额y需达到90亿元，即y＝90，代入eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.02x＋3.84，得90＝e0.02x＋3.84，又e4.4998≈90，所以4.4998≈0.02x＋3.84，所以x≈eq\f(4.4998－3.84,0.02)＝32.99，所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元.1.利用线性回归方程时的关注点(1)正确理解计算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键.(2)回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过样本点中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．见举例说明1.(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.2.非线性回归方程的求法(1)根据原始数据(x，y)作出散点图.(2)根据散点图选择恰当的拟合函数.(3)作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程.(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程．见举例说明3.1.(2019·南宁二模)一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料.日期第1年第2年第3年第4年优惠金额x(千元)10111312销售量y(辆)22243127经过统计分析(利用散点图)可知x，y线性相关.(1)用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)若第5年优惠金额为8.5千元，估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)由题意，得eq\o(x,\s\up6(－))＝11.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝26，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝1211，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝534，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1211－4×11.5×26,534－4×11.52)＝eq\f(15,5)＝3，则eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝26－3×11.5＝－8.5.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝3x－8.5.(2)当x＝8.5时，eq\o(y,\s\up6(^))＝17，∴第5年优惠金额为8.5千元时，销售量估计为17辆.2.对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型：①y＝bx＋a，②y＝cedx拟合，得到回归方程分别为eq\o(y,\s\up6(^))(1)＝0.24x－8.81，eq\o(y,\s\up6(^))(2)＝1.70e0.022x，作残差分析，如下表：身高x(cm)60708090100110体重y(kg)6810141518eq\o(e,\s\up6(^))(1)0.410.011.21－0.190.41eq\o(e,\s\up6(^))(2)－0.360.070.121.69－0.34－1.12(1)求表中空格内的值；(2)根据残差比较模型①②的拟合效果，决定选择哪个模型；(3)若残差大于1kg的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对(2)所选择的模型重新建立回归方程．(结果保留到小数点后两位)附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)根据残差分析，把x＝80代入eq\o(y,\s\up6(^))(1)＝0.24x－8.81，得eq\o(y,\s\up6(^))(1)＝10.39.∵10－10.39＝－0.39，∴表中空格内的值为－0.39.(2)模型①残差的绝对值的和为0.41＋0.01＋0.39＋1.21＋0.19＋0.41＝2.62，模型②残差的绝对值的和为0.36＋0.07＋0.12＋1.69＋0.34＋1.12＝3.7.∵2.62<3.7，∴模型①的拟合效果比较好，选择模型①.(3)残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据如下表：身高x(cm)607080100110体重y(kg)68101518eq\o(e,\s\up6(^))(1)0.410.01－0.39－0.190.41则eq\o(x,\s\up6(－))＝84，eq\o(y,\s\up6(－))＝11.4，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝412，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝1720，由公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，得eq\o(b,\s\up6(^))≈0.24，eq\o(a,\s\up6(^))＝－8.76.得回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.24x－8.76.题型三独立性检验1.假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表如下：YXy1y2总计x1a10a＋10x2c30c＋30总计6040100对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为()A.a＝45，c＝15 B．a＝40，c＝20C.a＝35，c＝25 D．a＝30，c＝30答案A解析根据2×2列联表与独立性检验可知，当eq\f(a,a＋10)与eq\f(c,c＋30)相差越大时，X与Y有关系的可能性越大，即a，c相差越大，eq\f(a,a＋10)与eq\f(c,c＋30)相差越大．故选A.2.(2019·南昌三模)某校高三文科(1)班共有学生45人，其中男生15人，女生30人．在一次地理考试后，对成绩作了数据分析(满分100分)，成绩为85分以上的同学称为“地理之星”，得到了如下列联表和条形图：地理之星非地理之星合计男生女生合计如果从全班45人中任意抽取1人，抽到“地理之星”的概率为eq\f(1,3).(1)完成“地理之星”与性别的2×2列联表，并回答是否有90%以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关？(2)若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为90，方差为7.2，请你判断这些同学中是否有得到满分的同学，并说明理由．(得分均为整数分)参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.临界值表：P(K2≥k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828解(1)根据题意知“地理之星”总人数为45×eq\f(1,3)＝15，填写列联表如下：地理之星非地理之星合计男生7815女生82230合计153045根据表中数据，计算K2＝eq\f(45×7×22－8×82,15×30×15×30)＝1.8<2.706，所以没有90%的把握认为获得“地理之星”与性别有关.(2)没有得满分的同学.记各个分值由高到低分别为x1，x2，…，x15；①若有2个以上的满分，则s2＝eq\f(1,15)×[(100－90)2＋(100－90)2＋…＋(x15－90)2]>eq\f(40,3)>7.2，不符合题意.②若恰有1个满分，为使方差最小，则其他分值需集中分布在平均数90的附近，且为保证平均值为90，则有10个得分为89，其余4个得分为90，此时方差取得最小值，∴seq\o\al(2,min)＝eq\f(1,15)×[(100－90)2＋4×(90－90)2＋10×(89－90)2]＝eq\f(22,3