专题6.1空间向量及其运算（八个重难点突破）（原卷版）

专题6.1空间向量及其运算知识点1空间向量的有关概念1．空间向量的定义及表示定义在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量长度或模空间向量的大小叫做空间向量的长度或模表示方法几何表示法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模符号表示法若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或2.几类特殊的空间向量名称方向模表示法零向量任意0记为单位向量1或相反向量相反相等记为共线向量相同或相反或相等向量相同相等或知识点2空间向量的线性运算1.空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述2.空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义与向量的方向相同的长度是的长度的倍与向量的方向相反，其方向是任意的3.空间向量的运算律交换律结合律，分配律知识点3共线向量与共面向量1.直线的方向向量定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量．2．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义位置关系表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量与任意向量平行充要条件共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使对空间任一点O，空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有知识点4空间向量的夹角如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作，夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作知识点5空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即．零向量与任意向量的数量积为0，即.2．数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律交换律分配律3．投影向量在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．4．数量积的性质若，为非零向量，则（1）；（2）；（3），；（4）；（5）重难点1空间向量的有关概念【例1】下列命题中为真命题的是（

）A．向量与的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【例2】在正方体中，与向量相反的向量是（

）A． B． C． D．【变式11】对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式12】给出下列命题：①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体中，必有；③是向量的必要不充分条件；④若空间向量满足，，则．其中正确的命题的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【变式13】如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？(2)试写出与相等的所有向量．(3)试写出的相反向量．（1）（1）判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向．两者缺一不可，相互制约；（2）两个向量相等，起点和终点未必相同，即起点和终点相同是两个向量相等的充分不必要条件重难点2空间向量的线性运算【例3】已知四面体中，是的中点，则（

）A． B． C． D．【例4】如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（

）A． B． C． D．【变式21】在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（

）A． B． C． D．【变式22】如图，在长方体中，下列运算结果化简正确的是（

）A． B． C． D．【变式23】若空间中四点满足，则（

）A． B．3 C． D．①①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移方法获得运算结果．重难点3共线问题【例5】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例6】如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足则下列说法错误的是（

）A．当时，点在棱上B．当时，点在线段上C．当时，点在棱上D．当时，点在线段上【变式31】设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A，B，D三点共线，求实数k的值．【变式32】已知三点共线，为空间任意一点，，则.【变式33】已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．共线向量的充要条件：若共线向量的充要条件：若，则存在唯一实数，使；若存在唯一实数，使，，则重难点4向量的共面问题【例7】若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【例8】已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（

）A． B．C． D．【变式41】已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（

）A．若共面，那么中至少存在一对向量共线B．若共面，那么存在一组实数对，使得C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面【变式42】若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式43】已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（

）A． B． C． D．利用向量方法证明四点共面的基本途径：利用向量方法证明四点共面的基本途径：对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面：（1）.（2）对空间任意一点.（3）对空间任意一点.重难点5空间向量数量积的运算【例9】正四面体的棱长为2，设，，，则.【例10】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（

）A． B．1 C． D．2【变式51】（多选）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．【变式52】已知正四面体的棱长为2，点，分别是，的中点，则的值为．【变式53】如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（

）A． B．C． D．在几何体中在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形,将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.重难点6用数量积解决夹角问题【例11】已知空间向量，则（

）A． B． C． D．【例12】已知在空间四边形中，，且，，则与所成的角是（

）A． B． C． D．【变式61】空间四边形中，，，则的值是（

）A．0 B． C． D．【变式62】平行六面体，，，若，则.【变式63】已知是异面直线，，，且，则与所成的角为．（1）（1）由公式可得,所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模,再代入公式求解.（2）因为异面直线的夹角为不大于的角,所以利用夹角公式求两条异面直线的夹角时,要注意重难点7用数量积求两点的距离【例13】已知是的重心，是空间中的一点，满足，，则（

）A． B． C． D．【例14】如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，则间的距离等于（

）A． B．1 C．或2 D．1或【变式71】已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则．【变式72】如图所示，在空间四边形中，，，两两成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离．【变式73】如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．

(1)求；(2)求的长．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算重难点8证明垂直关系【例15】若为非零向量，，则与一定（

）A．共线 B．相交 C．垂直 D．不共面【例16】如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)判断与是否垂直．【变式81】在正方体中，是上底面的中心，则与的位置关系是()A．重合 B．垂直C．平行 D．无法确定【变式82】已知不共面的三个单位向量两两之间的夹角均为，，．(1)求证：；(2)求．【变式83】已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）．求证：．用向量法证明垂直关系的步骤用向量法证明垂直关系的步骤：（1）把几何问题转化为向量问题；（2）用已知向量表示要证明向量；（3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0.1．已知，，，，则向量与之间的夹角为（

）A． B．C． D．以上都不对2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，N为CD中点，如图所示，则（）A． B．C． D．3．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（

）A．共线 B．共线C．共面 D．不共面4．如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为（

）A． B． C． D．5．（多选）下列命题不正确的是（

）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有=B．“”是“共线”的充要条件C．若共线，则与所在直线平行D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面6．（多选）已知正方体的中心为，，则满足的可以是（

）A． B． C． D．7．给出下列四个命题:①方向相反的两个向量是相反向量；②若，满足且，同向，则；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任意向量，必有.其中真命题的序号为.8．已知四