新教材数学人教A版作业4-3-2对数的运算

第四章A组·素养自测一、选择题1．已知lg2＝a，lg3＝b，则lg12等于(B)A．a2＋b B．b＋2aC．a＋2b D．a＋b2[解析]lg12＝lg4＋lg3＝2lg2＋lg3＝2a＋b.2．(2021·四川成都高一联考)已知ab>0且ab≠1，有下列四个等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\f(a,b)＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lg(eq\f(a,b))2＝lgeq\f(a,b)；④lg(ab)＝eq\f(1,log（ab）10).其中正确的是(C)A．①②③④ B．①②C．③④ D．③[解析]当a<0，b<0时，①lg(ab)＝lga＋lgb不成立；②lgeq\f(a,b)＝lga－lgb不成立；③由ab>0，可得eq\f(a,b)>0，eq\f(1,2)lg(eq\f(a,b))2＝lgeq\f(a,b)成立；④根据对数的换底公式可得lg(ab)＝eq\f(1,log（ab）10)成立．故选C．3．已知x，y为正实数，则(D)A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy[解析]根据对数、指数的运算法则，有2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy.故选D．4．若lg2＝a，lg3＝b，则eq\f(lg12,lg15)等于(D)A．eq\f(2a＋b,1＋a＋b) B．eq\f(2a＋2b,1＋a＋b)C．eq\f(2a＋b,2－a＋b) D．eq\f(2a＋b,1－a＋b)[解析]eq\f(lg12,lg15)＝eq\f(lg3＋2lg2,lg3＋（1－lg2）)＝eq\f(2a＋b,1－a＋b).5．已知2x＝3，log4eq\f(8,3)＝y，则x＋2y的值为(A)A．3 B．8C．4 D．log48[解析]x＋2y＝log23＋2log4eq\f(8,3)＝log49＋log4(eq\f(8,3))2＝log4(9×eq\f(64,9))＝log464＝3，故选A．6．已知2a＝5b＝M，且eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝2，则M的值是(B)A．20 B．2eq\r(5)C．±2eq\r(5) D．400[解析]∵2a＝5b＝M，∴a＝log2M＝eq\f(lgM,lg2)，b＝log5M＝eq\f(lgM,lg5)，∴eq\f(1,a)＝eq\f(lg2,lgM)，eq\f(1,b)＝eq\f(lg5,lgM)，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2lg2,lgM)＋eq\f(lg5,lgM)＝eq\f(lg4＋lg5,lgM)＝eq\f(lg20,lgM)＝2，∴2lgM＝lg20，∴lgM2＝lg20，∴M2＝20，∵M>0，∴M＝2eq\r(5).二、填空题7．计算：27eq\s\up6(\f(1,3))＋lg4＋2lg5－eln3＝2．[解析]27eq\s\up6(\f(1,3))＋lg4＋2lg5－eln3＝(33)eq\s\up6(\f(1,3))＋(lg4＋lg25)－eln3＝3＋2－3＝2.8．溶液的酸碱度是通过pH刻画的，已知某溶液的pH等于－lg[H＋]，其中[H＋]表示该溶液中氢离子的浓度(单位：mol/L)，若某溶液的氢离子的浓度为10－5mol/L，则该溶液的pH为5．[解析]由题意可知溶液的pH为－lg[H＋]＝－lg10－5＝5.9．方程log2(x2－8)＝1＋log2x的解是x＝4．[解析]∵log2(x2－8)＝1＋log2x，∴x2－8－2x＝0，∴x＝4或－2(舍去)．三、解答题10．用lgx，lgy，lgz表示下列各式：(1)lg(xyz)；(2)lgeq\f(xy2,z)；(3)lgeq\f(xy3,\r(z))；(4)lgeq\f(\r(x),y2z).[解析](1)lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz.(2)lgeq\f(xy2,z)＝lg(xy2)－lgz＝lgx＋2lgy－lgz.(3)logeq\f(xy3,\r(z))＝lg(xy3)－lgeq\r(z)＝lgx＋3lgy－eq\f(1,2)lgz.(4)lgeq\f(\r(x),y2z)＝lgeq\r(x)－lg(y2z)＝eq\f(1,2)lgx－2lgy－lgz.11．已知loga2＝m，loga3＝n.(1)求a2m－n的值；(2)求loga18.[解析](1)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3.所以a2m－n＝a2m÷an＝22÷3＝eq\f(4,3).(2)loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.B组·素养提升一、选择题1．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为(B)A．eq\f(8,3) B．eq\f(10,3)C．2 D．1[解析]由xlog34＝1得x＝log43，所以4x＋4－x＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3)，故选B．2．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是(A)A．a－2 B．5a－2C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1[解析]log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.故选A．3．(多选题)下列等式不成立的是(CD)A．lne＝1 B．eq\f(1,\r(3,a2))＝a－eq\s\up6(\f(2,3))C．lg(MN)＝lgM＋lgN D．log2(－5)2＝2log2(－5)[解析]根据对数式的运算，可得lne＝1，故A成立；由根式与指数式的互化可得eq\f(1,\r(3,a2))＝a－eq\f(2,3)，故B成立；取M＝－2，N＝－1，发现C不成立；log2(－5)2＝log252＝2log25，故D不成立，故选CD．4．(多选题)(2021·山东滨州高一期末)已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，则eq\f(a,b)＝(AD)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．2[解析]令t＝logab，则t＋eq\f(1,t)＝eq\f(5,2)，∴2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0，∴t＝eq\f(1,2)或t＝2，∴logab＝eq\f(1,2)或logab＝2，∴a＝b2或a2＝b.∵ab＝ba，∴2b＝a＝b2或b＝2a＝a2，∴b＝2，a＝4，或a＝2，b＝4，∴eq\f(a,b)＝2或eq\f(a,b)＝eq\f(1,2).故选AD．二、填空题5．lgeq\f(5,2)＋2lg2－(eq\f(1,2))－1＝－1．[解析]lgeq\f(5,2)＋2lg2－(eq\f(1,2))－1＝lgeq\f(5,2)＋lg4－2＝－1.6．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则log(abc)x＝1．[解析]∵logax＝eq\f(1,logxa)＝2，∴logxa＝eq\f(1,2).同理logxc＝eq\f(1,6)，logxb＝eq\f(1,3).∴log(abc)x＝eq\f(1,logx（abc）)＝eq\f(1,logxa＋logxb＋logxc)＝1.7．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实数根，则lg(ab)·(lgeq\f(a,b))2＝4．[解析]由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lga＋lgb＝2,lga·lgb＝\f(1,2)))，∴lg(ab)·(lgeq\f(a,b))2＝(lga＋lgb)(lga－lgb)2＝2[(lga＋lgb)2－4lga·lgb]＝2(4－4×eq\f(1,2))＝4.三、解答题8．计算：(1)(log33eq\s\up6(\f(1,2)))2＋log0.25eq\f(1,4)＋9log5eq\r(5)－logeq\r(3)1；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[解析](1)(log33eq\s\up6(\f(1,2)))2＋log0.25eq\f(1,4)＋9log5eq\r(5)－logeq\r(3)1＝(eq\f(1,2))2＋1＋9×eq\f(1,2)－0＝eq\f(1,4)＋1＋eq\f(9,2)＝eq\f(23,4).(2)原式＝lg25＋lg8eq\s\up6(\f(2,3))＋lgeq\f(10,2)·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.9．解关于x的方程．(1)lo