新版高中数学人教A版必修5习题第一章解三角形1.2.4

第4课时几何计算问题课时过关·能力提升基础巩固1在△ABC中,c=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为().A.C.3答案:B2已知三角形的面积为1A.1 B.2 C.答案:A3已知锐角三角形ABC的面积为33A.75° B.60° C.45° D.30°解析:由S=12AC·BCsinC=3又C为锐角,故C=60°.答案:B4已知三角形两边之差为2,它们夹角的余弦值为3A.3和5 B.4和6 C.6和8 D.5和7解析:设ab=2,cosC=35S△ABC=12absinC=14,由ab=2和ab=35,解得a=7,b=5.答案:D5已知△ABC的面积S=3解析:S=12|故AB·AC=|答案:26如图,一块四边形土地ABCD的三边AD=40m,DC=30m,CB=30m,∠ADC=150°,∠DCB=120°,则该土地的面积约为m2.(精确到0.01m2)

答案:1289.717已知a,b,c是△ABC的三边,其面积为1解析:由三角形的面积公式得12ab所以sinC=a2所以tanC=1,所以C=答案:π8已知三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是方程5x27x6=0的根,则三角形的第三边长为.

解析:设三角形的第三边长为a(a>0).解方程5x27x6=0,得x1=-35因此已知两边夹角的余弦值为-得a2=52+322×5×3×故a=2答案:29在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=(1)证明由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(AB).又A,B∈(0,π),故0<AB<π,所以,B=π(AB)或B=AB,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)解由S=a2故有sinBsinC=12sin2B=sinB由sinB≠0,得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=当B+C=π2时当CB=π2时综上,A=π2能力提升1在△ABC中,a=3,b=1,B=30°,则△A.C.解析:由正弦定理得sinA=所以A=60°或A=120°.当A=60°时,C=90°,S=当A=120°时,C=30°,S=12absinC答案:D2在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为3A.1+C.解析:由12acsin30°由余弦定理,得b2=a2+c22accos30°=(a+c)22ac-3ac答案:A3在△ABC中,a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC外接圆的半径为().A.2C.解析:S△ABC=12acsinB又∵S△ABC=2,∴c=4又由余弦定理得,b2=a2+c22accosB=1+322×1×4∴b=5.又∴R=答案:C4如图所示,一块三角形土地ABC,AD是一条小路,BC=5m,AC=4m,cos∠CAD=31解析:设CD=xm,则AD=BD=(5x)m.在△CAD中,由余弦定理,可知cos∠CAD=解得x=1.∴CD=1m,AD=BD=4m.在△CAD中,由正弦定理,可知∴sinC==4∴S△ABC=12AC·BC·答案:155在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,证明:a证明由余弦定理,得a2=b2+c22bccosA,b2=a2+c22accosB.两式相减,得a2b2=b2a2+2c(acosBbcosA),即a2b2=c(acosBbcosA),则a2-b由正弦定理得故★6在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-3(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.解(1)由已知得cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0,即有sinAsinB-3sinA因为sinA≠0,所以sinB-3cosB=又cosB≠0,所以tanB=又0<B<π,所以B=(2)由余弦定理,有b2=a2+c22accosB.因为a+c=1,cosB=所以b2=3又0<a<1,于是有14≤b2<1,即有127如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点(1)若PB=(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.解(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.