1.2数列的函数特性6常见考法归类（原卷版）

1.2数列的函数特性6种常见考法归类课程标准学习目标了解数列是一种特殊函数．了解数列的函数特性、数列的通项公式．(数学抽象)知识点01数列与函数可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(k，ak)，k＝1，2，3，….注：(1)数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题．(2)要注意数列的特殊性(离散型)．因为数列的定义域是N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})，所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集合．【即学即练1】(多选题)下列说法中正确的是()A．数列a，a，a，…是无穷数列B．数列{f(n)}就是定义在正整数集N＋或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数值C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列知识点02数列的增减性1．递增数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列．2．递减数列：如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作递减数列．3．常数列：如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列．注：数列增减性与函数增减性的区别数列是一种特殊的函数，其定义域是N＋(或N＋的有限子集)，自变量的取值是离散的，而函数的定义域通常是连续的，所以数列与函数的增减性有所不同．例如，函数f(x)＝x2－2x在其定义域上没有增减性．只能说f(x)在(－∞，1)上减少，在(1，＋∞)上增加，但对于数列{an}，若an＝n2－2n，则其一定是递增数列．【即学即练2】若数列an是递增数列，则an的通项公式可能是（A．an=−1C．an=2【即学即练3】已知数列{an}的通项公式为an＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n，则数列{an}中的最大项为()A.eq\f(8,9)B．eq\f(2,3)C.eq\f(64,81) D．eq\f(125,243)【即学即练4】已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋tn＋1，若{an}是单调递增数列，则实数t的取值范围是()A．(－6，＋∞) B．(－∞，－6)C．(－∞，－3) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，＋∞))知识点03数列的周期性周期数列的常见形式①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．【即学即练5】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1,1－an)(n∈N*)，则a2018＝()A．－2 B．－1C．2 D．eq\f(1,2)【即学即练6】数列{an}满足an＋1＝eq\f(1,1－an),a8＝2，则a1＝________.【即学即练7】已知数列an满足a1=2，an+1=A．−6 B．1 C．2 D．3题型一：根据图象判断数列的增减性例1．（2023·全国·高二随堂练习）已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性．(1)；(2)．变式1．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的．变式2．【多选】（2024上·云南昭通·高二昭通市第一中学校联考期末）已知函数，设数列的通项公式为，则对于数列，下列说法正确的是（

）A．该数列的图象是二次函数的图象B．该数列是递减数列C．该数列从第3项往后各项均为负数D．该数列有两项为1【方法技巧与总结】画数列图象通常用描点法，与画函数图象的描点法有类似之处，其步骤是：(1)列表；(2)描点．但要注意描点后不能连线，这是由于数列的定义域是N＋.题型二：判断数列的增减性例2．（2023上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）下列数列是递减数列的是（

）A． B．C． D．变式1．（2023下·高二课时练习）写出数列，…的一个通项公式，并判断它的增减性．变式2．（2023上·江苏·高二专题练习）已知数列的通项公式（），试判断该数列的增减性，并说明理由．变式3．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校联考期中）若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称是T数列．下列数列不是T数列的是（

）A． B． C． D．变式4．（2023上·高二课时练习）判断下列数列的单调性：(1)；(2)；(3)；(4)．【方法技巧与总结】判断数列增减性的方法(1)根据给出的通项公式画出图象，观察图象的变化趋势；(2)作差法：用数列的后一项减去前一项，an－an－1(n≥2，n∈N＋)或an＋1－an，若结果为正，则是递增数列，若结果为负，则是递减数列；(3)作商法：在确定an为正或为负的情况下，作商，比较商值与1的关系，从而确定数列的单调性；(4)借助数列通项公式对应函数的单调性进行判断.题型三：根据数列的单调性求参数例3．（2024上·上海·高一校考期末）若（为正整数）是严格减数列，则的取值范围为（

）A． B． C． D．变式1．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知，则“”是“数列是递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件件 D．既不充分又不必要条件变式2．（2023下·广西桂林·高二统考期末）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例4．（2023上·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式1．（2023上·四川·高三校联考阶段练习）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】由数列单调性求参数取值范围时，特别要注意结合相邻项的关系，得到关于参数和的不等量关系式，再通过分离参数得出参数的范围.题型四：数列中的最值例5．【多选】（2023上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知在数列中，，则数列的最小项是（

）A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项变式1．（2023·全国·高二随堂练习）已知，画出该数列的图象，并求数列的最小项．变式2．（2023上·高二课时练习）已知数列的通项公式是，判断该数列的单调性，并求出这个数列的最小项．变式3．（2023下·辽宁辽阳·高二统考期末）在数列中，，则的最大值是（

）A． B． C． D．变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（）A．1， B．0， C．， D．1，变式5．（2023上·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（

）A．2 B．3 C．2或3 D．4变式6．（2023下·上海虹口·高二上外附中校考期中）已知数列，下列说法正确的是（

）A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项变式7．（2023上·高二课时练习）已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项．变式8．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，则数列的最大项的值是．【方法技巧与总结】1．数列{an}中，若存在m∈N＋，对任意n∈N＋都有am≥an恒成立，则am为数列{an}中的最大项；若存在t∈N＋，对任意n∈N＋都有at≤an恒成立，则at为数列{an}中的最小项.2．求数列的最大(小)项，其实质就是求相应函数的最大(小)值，但要注意数列中的n∈N＋.3．求数列最大(小)项的方法主要有两种：(1)根据数列{an}的增减性求最大(小)项；(2)利用不等式组an−1≤a题型五：数列中的恒成立问题例6．（2023·高二课时练习）数列的通项公式为，(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)数列仅第7项最小，求实数的取值范围．变式1．（2023·全国·高三对口高考）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式2．（2023下·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知数列的通项公式为，若满足，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是.变式3．（2022下·浙江杭州·高二统考开学考试）通项公式为an＝an2＋n的数列{an}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．题型六：数列的周期性例7．（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知数列满足，，则（

）A．2 B． C． D．2023变式1．（2023上·北京丰台·高三统考期中）数列满足，则（

）A． B．C． D．变式2．（2023上·高二课时练习）已知数列，若，，且（为正整数），则数列的第项为（

）A． B． C． D．变式3．（2023上·江苏无锡·高三统考开学考试）已知数列满足．若，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．一、单选题1．（2023下·海南儋州·高二校考期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，… B．，，，C．，，，，… D．1，，，…，2．（2023上·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）设数列中，，（且），则（

）A．1 B． C．2 D．3．（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）数列的通项公式为，则“为递增数列”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023下·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知在数列中，，，则数列的周期为

（

）A．3 B．6 C．9 D．155．（2023下·江西九江·高二校考阶段练习）已知数列中，，它的最小项是（

）A．第四项 B．第五项 C．第六项 D．第四项或第五项6．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知数列满（），且对任意，恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（2023上·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2021·陕西西安·统考一模）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个二、多选题9．（2023上·甘肃临夏·高二校考期末）下列数列的通项公式中，是递增数列的是（

）A． B． C． D．10．（2024·全国·模拟预测）数列中，若存在最大值，则数列的通项可以是（

）A． B．C． D．11．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知正项数列满足：，则（

）A． B．是递增数列C． D．12．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的通项为，，则（

）A．数列的最小项为 B．数列的最大项为C．数列的最小值为－0.8 D．数列的最大值为2.413．（2023上·江苏·高二淮阴中学校联考阶段练习）设是无穷数列，若存在正整数，使待对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，是数列的“间隔数”，下列选项正确的是（

）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则数列是间隔递增数列C．已知，则数列是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，则三、填空题14．（2023上·河南濮阳·高二范县第一中学校联考阶段练习）已知数列，，为递减数列，则的取值范围是．15．（2024上·天津南开·高二统考专题练习）已知数列满足，则的最小值为.16．（2022上·福建宁德·高二统考期中）在数列中，，则数列的最大项是第项．17．（2023上·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第项.18．（2023上·天津·高二天津市咸水沽第一中学校考阶段练习）已知数列中，（且）．若