数学-专题28 一次函数与等腰直角三角形结合（带答案）

专题28一次函数与等腰直角三角形结合1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，且，则点的坐标为______．【答案】【分析】将线段绕点逆时针旋转得到线段，根据全等三角形的性质易得到，取的中点，直线与直线的交点即为点求出直线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可．【详解】解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点B作y轴的垂线与分别过点A，作x轴的垂线，交于点M和点N，交x轴于点E，MN与y轴交于点C，如下图．∴，∴，由旋转的性质可知，，，∴，∴，∴(AAS)，

∴，，∴，，∴，取的中点，直线与直线的交点即为点，设直线的解析式为，把B、K坐标代入得，解得，∴直线的解析式为，将直线与直线联立组成方程组，解得，点坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．2．如图，已知点在直线：上，和：的图像交于点，且点的横坐标为．

(1)直接写出、的值；(2)若点是直线上一点，且，求出点的坐标．【答案】(1)，(2)点的坐标为【分析】（1）根据题意，把点代入，点的横坐标为代入，即可求解；（2）过作交于，过作轴，过作于，过作于，可证是等腰直角三角形，从而证明，设，可得点坐标，由此即可求解．【详解】（1）解：将点的坐标代入中，得，∴，∴直线的解析式为，将代入中，解得：，∴点的坐标为，将点的坐标代入中，则，解得：，综上所述：，．（2）解：过作交于，过作轴，过作于，过作于，

∵，∴，，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，在和中，，∴，∴，，设，∵，∴，，，，∴点坐标，把代入中，得，解得：，∴点的坐标为．【点睛】本题主要考查一次函数图形的性质，掌握一次函数的图形在平面直角坐标系中的特点是解题的关键．3．如图1，在平面直角坐标系中，直线：过点和，与互相垂直，且相交于点，D为x轴上一动点．

(1)求直线与直线的函数表达式；(2)如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若的面积为8，求D点的坐标；(3)如图3，直线上有一动点P．若，请直接写出P点坐标．【答案】(1)直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：(2)(3)或【分析】（1）根据待定系数法求直线的函数表达式，根据点在上，求出点的坐标，根据待定系数法求直线的函数表达式即可；（2）设，根据，即可求出答案；（3）设出点的坐标，根据条件可知为等腰直角三角形，根据，列出方程解出即可．【详解】（1）解：直线与过点和，，解得，直线的函数表达式为：，与互相垂直，且相交于点，，，

设直线的函数表达式为，，解得，直线的函数表达式为：；（2）解：设，、，，，，点的坐标为；（3）解：设点的坐标为，，等腰直角三角形，，即，，，，，，，解得或，或．【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的性质，利用数形结合是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且，连接，已知．

(1)求直线的表达式；(2)求点D的坐标；(3)在线段上分别取点M，N，使得轴，在x轴上取一点P，连接是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)线段的表达式(2)点D的坐标为(3)存在，点M的坐标为或【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；（2）根据三角形面积公式得到D到的距离等于B点到的距离的2倍，即D点的纵坐标为4，然后利用直线的解析式计算函数值为4所对应的自变量的值，从而得到D点坐标．（3）先求出直线的表达式,再求出点N的坐标为，分情况讨论即可.【详解】（1）解：将点代入，得解得线段的表达式（2）已知，且点C在x轴正半轴上，∴点，设点D的坐标为，如解图①，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，则

即，解得，∴点D的坐标为（3）存在，点M的坐标为或，设直线的表达式为将点代入，得，解得直线的表达式．已知点M在线段上，设点M的坐标为，则，轴，且点N在上∴将代入，得，，解得．点N的坐标为分三种情况讨论：①如解图②，当M为直角顶点时，点P的坐标为，解得：，

点M的坐标为②如解图③，当N为直角顶点时，点M的坐标与①中情况相同；③如解图④，当P为直角顶点时，，过点P作轴，交MN于点Q，易得点Q为MN的中点，且，点Q的坐标为，，，解得，∴点M的坐标为综上所述，点M的坐标为或【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数,则需要两组x,y的值．也考查了一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论．5．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点．(1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，；

①直接写出______，______；②点的坐标______；(2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化?（填“变”或“不变”），若不变，其值为______；若变，请说明理由；(3)【拓展应用】如图4，当时，直线与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______．【答案】(1)①，；②(2)不变，的面积为定值，理由见解析(3)点的坐标为或

【分析】（1）)①若，则直线与轴，轴分别交于，，，两点，即可求解；②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解；（2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解；（3）过点作轴于，过点作于，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点的坐标，将点的坐标代入求得的值，即可求解．【详解】（1）解：①若，则直线为直线，当时，，,，当时，，,，，，故答案为：，；②作于，，，又是以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，，，，

，点的坐标为；（2）当变化时，的面积是定值，，理由如下：当变化时，点随之在轴负半轴上运动时，，过点作于，，，，，，，又，．，，变化时，的面积是定值，；（3）当时，过点作轴于，过点作于，

，，，，，又，．，，，点的坐标为，，，直线，将点的坐标代入得，，解得：，点的坐标为；当时，过点作轴于，过点作于，

，，，，，又，．，，，点的坐标为，，直线，将点的坐标代入得，，解得：，点的坐标为．综上，点的坐标为或．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，构造全等三角形解题是关键．

二、解答题(共0分)6．如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．(1)求直线的解析式；(2)当时，在第一象限内找一点C，使为等腰直角三角形，求点C的坐标．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）把A的坐标代入直线的解析式，即可；（2）过点A作，垂足为M，求得的长，再由和可求出点P的坐标，然后分三种情况讨论：若，过点C作于点N；若，过点C作轴于点F；若，即可求解．【详解】（1）解：∵经过，∴，∴直线的解析式是；（2）解：当时，，解得，∴点．∴，过点A作，垂足为M，则有，

∵时，，P在点D的上方，∴，∴；∵，∴，解得，∴点．根据题意得：，，∴，∴．若，过点C作于点N，如图，∵，∴．又∵，∴，∴，∴，∴；若，如图，过点C作轴于点F．

∵，∴．又∵，∴．∴，∴，∴；若，如图，∴，∵∴，∴，∴；∴点C的坐标是或或．【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．

(1)求直线的解析式；(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)直线AP的解析式为(2)(3)Q的坐标为或或，理由见解析【分析】（1）由非负数的性质求出，得到，由待定系数法求出直线的解析式即可；（2）过作交x轴于D，连接，由三角形面积关系得到，进而得到，待定系数法求出直线的解析式，即可得到点M的坐标；（3）设，分三种情况分别求解点Q的坐标即可．【详解】（1）解：∵，解得，∴，设直线的解析式为，

∴，解得，∴直线AP的解析式为；（2）过作交x轴于D，连接，∵，的面积等于6，∴的面积等于6，∴，即，∴，∴，设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为，令，得，∴；（3）Q的坐标为或或．理由如下：设，①当点Q在x轴负半轴时，过B作轴于E，如图，

∴，∵是以为底边的等腰直角三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴；②当Q在y轴正半轴上时，过C作轴于F，过B作轴于G，如图，∴，，∵是以为底边的等腰直角三角形，∴，

∴，又∵，∴，∴，∴即，∴，∴，∴；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作轴于F，过B作轴于T，如图，∴，，同②可证，∴，，∴，即，∴，∴，∴；综上，Q的坐标为或或．【点睛】此题是一次函数和几何综合题，考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．如图，直线过点．

(1)求直线的解析式；(2)如图2，点M，点N分别为x轴，y轴上一动点，求的最小值及此时点M的坐标；(3)如图3，在（2）问的条件下，过点B作垂直于y轴，点P为直线AB上一动点，点Q为直线上一动点，若是以为腰的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点Q坐标．【答案】(1)(2)，(3)，，【分析】（1）利用待定系数法将代入求解即可；（2）作A点关于x轴的对称点，作B关于y轴的对称点，连接，根据两点之间线段最短得到当且仅当四点共线时取最小值，然后根据勾股定理求解即可；（3）根据就，分情况讨论，分别令，，然后利用三角形全等，和点Ｐ在直线上，求出点P的坐标，从而求出点Q的坐标．【详解】（1）将代入直线AB解析式得：解得：，∴；（2）作A点关于x轴的对称点，作B关于y轴的对称点，连接∴当且仅当四点共线时取最小值，

最小值，∵∴直线解析式为，令，解得∴，∴的最小值为，此时M点坐标为；（3）①当时，点P在x轴上方时，过点P坐轴于点C，作轴于点D，如图所示，在和中，∴∴点P的横坐标为，代入直线的解析式，∴点，∴点；

②当时，点在x轴下方时，过点作轴于点，作轴于点，如图所示，同理可证，∴，∴点P的横坐标为5，代入直线的解析式，∴，∴点；③当时，过点作于点E，过点作于点F，如图所示，同理可证，∴，设点的坐标为，则点的横坐标为，点的纵坐标为，将点的横坐标代入直线的解析式．，解得，

∴点．综上所述，点Q坐标为，，．【点睛】此题考查了一次函数和三角形结合综合题，动点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．9．如图，在平面直角坐标系中，直线为与x，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．(1)点A坐标是，点B的坐标是．的长是．(2)求点C的坐标．(3)若点M是y轴上一动点，若，直接写出点M坐标．(4)在第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)，5(2)(3)或(4)存在，点P的坐标为或或【分析】（1）利用一次函数解析式直接求出其图象与x轴和y轴的交点坐标，即为A，B的坐标，再根据两点的距离公式即可求出的长；（2）由折叠知，从而可求出．设，则．在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出C点坐标；（3）由三角形面积公式可求出．设，则，从而得出关于t

的方程，解出t即可得出M点坐标；（4）分类讨论：①当，时，过点P作轴于点G．易证，得出，，从而得出；②当，时，过点P作轴于点H．由①同理可求出；③当，时，过点P作轴于点M，轴于点N．易证，得出，．即可设，得出，解出a，即得出P点坐标．【详解】（1）对于，令，则，解得：，∴．令，则，∴，∴．故答案为：，5；（2）由折叠知：，∴．设，则．∵在中，,∴，解得：，∴，∴；（3）∵，，∴．设，∴，∴，∴，

解得：或20，∴或；（4）分类讨论：①当，时，如图，过点P作轴于点G．∴，，∴．即在和中，，∴，∴，∴，∴；②当，时，如图，过点P作轴于点H．由①同理可证，∴，

∴，∴；③当，时，如图，过点P作轴于点M，轴于点N．∵，∴．∵，∴．又∵，，∴，∴，．∴可设，∴，，∴，解得：．∴；综上可知，存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或．【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，综合性强，较难．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．10．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，P是x轴上的动点．

(1)求k的值．(2)连结PB，当时，求OP的长．(3)过点P作AB的平行线，交y轴于点M，点Q在直线上．是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)OP=1；(3)存在，点坐标为：或或．【分析】（1）根据待定系数法得出解析式解答即可；（2）设P（m，0），根据勾股定理得出方程解答即可；（3）设Q（2，t），分下列情况：①当△PMQ是等腰直角三角形，∠MPQ=90°时，如图1；②当△PMQ是等腰直角三角形，∠PMQ=90°时，如图2；③当△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM=90°时，如图3；④当△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM=90°时，如图4；分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论．【详解】（1）将，代入得：，解得：，的值是；（2）设，，，，，，，，即，

解得，；；（3）存在，点坐标为：或或．过点Q作平行于轴的直线，点在直线上，设直线交轴于点，设，，，直线的解析式为：，设点的坐标为，过点作的平行线，交轴于点，直线的解析式为：，，，，①当是等腰直角三角形，时，如图1，则，，，，，，，，，，

，联立方程组得，解得：，；②当是等腰直角三角形，时，如图2，则，①，过点作直线，垂足为，则，，，，，，，，

，，，，，，，

；③当是等腰直角三角形，时，如图3，则，过点作轴于点，则，轴，，，，，，

，；④当是等腰直角三角形，时，如图4，则，过点作轴于点，则，

，，，，，，，

，；综上所述，点坐标为：或或．【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键．11．如图，直线l1：y＝2x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点D，与y轴交于点C，BC＝6，OD＝3OC．(1)求直线CD的解析式；(2)点Q为直线AB上一动点，若有S△QCD＝2S△OCD，请求出Q点坐标；(3)点M为直线AB上一动点，点N为直线x轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M求解过程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)M（2，0）或（4，4）或（，），过程见详解【分析】（1）根据直线的解析式分别求出C、D坐标即可求CD的表达式；

（2）过点Q作交CD于点F，设Q（m，2m-4），则F（m，），E（m，0）；得，由S△QCD＝2S△OCD，即可求解；（3）假设以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，设M（a，2a-4），N（t，0），①若∠MNC=90°，过点N作平行于y轴的直线与点C与x轴的平行线交于点I，与点M与x轴的平行线交于点H，证，由，即可求点M；②若∠CMN=90°，过点M作平行于x轴的直线分别交y轴于点J，与过点N平行于y轴的直线交于点K，证，解，即可；【详解】（1）解：将x=0代入y=2x-4中得，y=-4，∴B（0，-4），∵BC=6，∴OC=2∴C（0，2）∵OD=3OC，∴OD=6，∴D（6，0），设CD的解析式为，将C、D代入得，，解得：，∴CD的解析式为：．（2）如图，过点Q作交CD于点F，由题意可设Q（m，2m-4），则F（m，），E（m，0）；

∴∴∵S△QCD＝2S△OCD，∴，∴，∴或，∴Q点的坐标为或．（3）假设以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，设M（a，2a-4），N（t，0），①当点M与点A重合，点N与点O重合，∠CNM=90°，CN=MN=2时，此时M（2，0）；②若∠CMN=90°，过点M作平行于x轴的直线分别交y轴于点J，与过点N平行于y轴的直线交于点K，∵∠CMN=90°，∴∠CMJ+∠NMK=90°，∵∠CMJ+∠MCJ=90°，∴∠NMK=∠MCJ，∵∠NMK+∠MNK=90°，∴∠MNK=∠CMJ，∵CM=MN，∴，∴CJ=MK，JM=NK，∴，解得：a=或4，∴M（4，4）或（，）．

【点睛】本题主要考查一次函数，三角形的全等证明，等腰直角三角形的性质，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．12．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E．(1)求证：；(2)模型应用：①已知直线：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点，将直线绕着A点逆时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．【答案】(1)见解析(2)①y＝﹣x﹣4；②（4，﹣2）或（，﹣）或（，﹣）【分析】（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；（2）①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC＝45°可知△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C

点坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可；②分三种情况考虑：如图3所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，设D点坐标为（x，2x+6），利用三角形全等得到，得D点坐标；如图4所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14m，m8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图5所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理求出D的坐标．【详解】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，又∵∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△EBC（AAS）；（2）解：①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线：y＝x4，∴A（0，4），B（3，0），∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，

∴OD＝4+3＝7，∴C（7，3）设的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴∴，∴的解析式：；②如图3，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，∵，∴，∴∵点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，∴设D点坐标为（x，2x6），∵B的坐标为（8，﹣6），∴∴，即解得，∴D点坐标（4，2）；如图4，当∠APD＝90°时，AP＝PD，同理可得，

过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（14m，m8），由m8＝2（14m）+6，得m＝，∴D点坐标（，）；如图5，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理可求得D点坐标（，），综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4，2）或（，）或（，），【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．13．如图，在平面直角坐标系中，直线yx与x轴交于点A，且经过点B（2，a），在y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，已知C（3，0）．

（1）a＝_____；（2）若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，则点M的坐标是_____．【答案】

3

，或，或，或，【分析】（1）令x=2即可求得a的值；（2）先求得直线BC的解析式为y=-3x+9，点A的坐标为（-2，0），过点M作MH⊥y轴于点H，证明△MPH≌△PAO，然后设点P的坐标为（0，y），点M的坐标为（x，-3x+9），然后求得AO、PO、PH、MH的长，进而由全等三角形的性质列出方程求得x的值，即可得到点M的坐标．