数学-3.2 提公因式法-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(湘教版)（带答案）

3.2提公因式法知识点一知识点一公因式几个多项式的公共的因式称为它们的公因式。知识点一知识点一提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。题型一用提公因式法因式分解【例题1】把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果(

)A．8（7a-8b）（a-b） B．2（7a-8b）2C．8（7a-8b）（b-a） D．-2（7a-8b）【答案】C

【详解】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b)=8(7a-8b)(b-a).故选C.【变式1-1】因式分解：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．【详解】（1）解：原式（2）解：原式【变式1-2】把下列多项式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；

（3）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式，进而分解因式得出答案．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【变式1-3】因式分解：【答案】【分析】先计算单项式乘多项式，合并后，再提取公式即可．【详解】解：．【变式1-4】因式分解：【答案】【分析】先分组分解后提取公因式即可.【详解】【变式1-5】阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程

解：设①，将①带入原式后，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）请根据上述材料回答下列问题：(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；(3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解【答案】(1)提取公因式(2)(3)【分析】（1）根据因式分解的方法判断即可；（2）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式分解成即可；（3）用换元法设，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可．【详解】（1）解：由题意得：从到运用了因式分解中的提取公因式法故答案为：提取公因式（2）解：由题意得：（3）解：设，将代入中得：原式

【变式1-6】阅读理解，并解答下面的问题：拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．例：分解因式：＋4x＋3解：原式＝＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，＝（＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式请类比上面的示例，分解因式：＋5x＋6【答案】（x＋2）（x＋3）【分析】根据题意中的分解因式的方法求解即可．【详解】解：原式=＋2x＋3x＋6．【变式1-7】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：．(1)上述分解因式的方法是______，共应用了______次．(2)若分解，则需应用上述方法______次，结果是______．(3)分解因式：（n为正整数）．【答案】(1)提公因式，2

(2)100，(3)【分析】（1）根据分解过程即可填空；（2）将多项式提公因式即可进行因式分解；（3）按照上面规律即可求解．（1）根据分解过程，可知采用的是提取公因式的方法，共应用了2次，故答案为：提公因式，2；（2）按照（1）中的方法，，∴应用了100次，结果是，故答案为：100，；（3）按照上面规律，可知．题型二利用提公因式法求代数式的值【例题2】先化简再求值：，其中，．【答案】，【分析】根据提公因式的方法对代数式进行化简，然后代数求解即可．【详解】解：

，将，代入可得，原式．【变式2-1】先因式分解，再计算求值：，其中．【答案】，【分析】先利用提公因式法将原式分解因式，再将的值代入计算即可．【详解】解：当时，原式．【变式2-2】先化简再求值：，其中．【答案】，1【分析】先提出公因式，原式变形为然后把代入，即可求解．【详解】解：当时，原式=．

【变式2-3】已知：．求的值．【答案】【分析】先求解再把化为再整体代入计算即可．【详解】解：，∴【变式2-4】如果，求代数式的值．【答案】【分析】由已知可得，然后对所求式子变形，再整体代入求解即可．【详解】解：∵，∴，∴．【变式2-5】化简：，且当时，求原式的值．

【答案】，-1【分析】原式逐步提取公因式，计算即可得到结果．【详解】解：原式……∴当时，原式．题型三利用因式分解解决整除问题【例题3】通过计算说明能被整除．【答案】见解析【分析】先利用有理数