微专题探求球心位置方法

微专题9探求球心位置的方法一、定义找心

由球的定义确定球心，在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心.【例1】

已知三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则球O的表面积是

（

）A.4πC.16πD.20π

答案

D点评

由几何体外接球的定义可知，几何体的各顶点到球心的距离相等.常见的两种情况是：①若四面体的两个面是有公共斜边的直角三角形，则球心是斜边的中点；②直三棱柱的外接球的球心在该直三棱柱的上下底面三角形外心的连线的中点处.

答案

16π点评

补形找心的常见类型①有两个面是共直角边的三棱锥，可补成棱柱；②正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体或长方体；③同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体或正方体；④若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.三、垂线找心

由于球心O与截面圆（不过球心）圆心O1的连线垂直于截面圆，利用此结论找球心.

点评

为便于找到球心，常选择多面体中具有特殊形状的面（如直角三角形、等腰三角形或正方形等）进行分析，具体如下：①若多面体有一个面为直角三角形，则在过斜边中点且垂直于该直角三角形所在平面的直线上寻找球心；②若多面体有一个面为等边三角形，则在过等边三角形的中心且垂直于该等边三角形所在平面的直线上找球心；③若多面体有一个面为矩形，则在过矩形的中心且垂直于该矩形所在平面的直线上找球心.⁠1.已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体P－ABC的外接球（顶点都在球面上）的体积为

（

）A.πC.2π

2.在三棱锥A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为

⁠.

解析：根据题意得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条直线两两垂直，所以可将三棱锥A－BCD放置于长方体内，如图所示.该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点，即外接球的半径为体对角线长的一半，此时AC为该球的直径，所以该球的表面积S＝4πR2＝π·AC2＝π·（22＋42）＝20π.答案：20π⁠答案：20π⁠1.正方体的外接球与内切球的表面积之比为

（

）C.3

2.某同学在学校组织的通用技术实践课上制作了一件工艺品，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后中间剩余部分（球心与正方体中心重合），若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为

（

）A.20πB.16πC.12πD.8π

A.3πB.4πC.9πD.12π

A.4πD.16π

B.πC.9πD.13π

A.正方体的外接球的表面积为12πC.正方体的棱长为2

9.已知三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，则三棱锥S－ABC的外接球的半径是

⁠.

10.如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上、下底面圆的半径分别为3和4，圆台的高为7，则该球的表面积为

⁠.

答案：100π

答案：612.设球O内切于正三棱柱ABC－A1B1C1，则球O的体积与正三棱柱ABC－A1B1C1的体积的比值为

⁠.

⁠

14.在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，△ABC与△PAB的外接圆圆心分别为O1，O2，若三棱锥P－ABC的外接球的表面积为16π.设O1A＝a，O2A＝b，则