福建省莆田市城厢区南门学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试题

2023-2024学年南门学校九年级寒假自测卷一、单选题1．计算（﹣6）﹣（﹣3）的结果等于（）A．-9 B．9 C．-3 D．32．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（

）A．14 B．12 C．133．中国在夏代就出现了相当于砝码的“权”，此后的4000多年间，不同朝代有不同形状和材质的“权”作为衡量的量具.下面是一个“C”形增砣砝码，其俯视图如下图所示，则其主视图为（

）A． B． C． D．4．如图，已知a∥b，l与a、b相交，若∠1=70°，则∠2的度数等于（）A．120° B．110° C．100° D．70°5．下列各式中，当m＜2时一定有意义的是（）A．1m−3 B．1m−1 C．1m+16．已知△ABC的三条边分别是a、b、c，则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（

）A．a:b:c=3:4:5 B．∠C=∠A+∠BC．∠A:∠B:∠C=1:5:6 D．∠A:∠B:∠C=3:4:57．下列计算中，正确的是（）A．x+2x=3x2 C．x2+x8．不等式组x+1≤2x+3>0的解集在数轴上表示，正确的是（

A． B． C． D．9．如图，AB是⊙O的直径，AC，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，连接OD，若∠CAB＝20°，则∠BOD的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．40°10．已知关于x的二次函数y=(x+3)2−4的图象上有两点Ax1,yA．y1<y2 B．y1>二、填空题11．小明想了解“精准扶贫”的有关知识，上网在百度搜索中输入“2019精准扶贫工作”后找到相关结果约3470000个，把3470000用科学记数法表示为．12．因式分解：1−2a+a213．已知关于x的方程x2+mx﹣2＝0有一根是x＝1，则方程另一根是．14．如图，将△ABC沿DE翻折，折痕DE∥BC，若ADBD=12，BC=9，则DE15．如图，⊙O的半径是4，圆周角∠C=60°，点E时直径AB延长线上一点，且∠DEB=30°，则图中阴影部分的面积为．16．如图，在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，F是BC边上的点，过F点的反比例函数y=kxk>0的图像与AC边交于点E．若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点D处，则点F的坐标为三、解答题17．计算：−1如图，▱ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E、F分别是OB、OD的中点，连接AE、CF．求证：AE=CF。先化简，再求值：(1+1

20．一只不透明袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程．（1）每一次摸到白球的概率为____________；（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点O在边AB上，以OB为半径作⊙O，交BC于点D，连接(1)尺规作图：先作线段CD的垂直平分线l，交AC于点E，再作直线DE；（要求：不写作法，保留作图痕迹）(2)DE是⊙O的切线吗？请说明理由；

22．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第x(1≤x≤48)天的售价与日销售量的相关信息如表：时间x（天）1≤x<3030≤x≤48售价x+3060日销售量（kg）−2x+120已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y(1)求y与x的函数关系式；(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？23．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远，其中有一题是数学史上有名的测量问题，今译如下：如图1，AH为底部H不可到达的一座山峰，A为山峰的最高点，现要测量山峰的最大高度AH．立两根高三丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=1000步，D，B，H成一线，从BC退行123步到F点，人目着地观察A点，A，C，F三点共线；从DE退行127步到G点，从G点看A点，A，E，G三点也共线，试算出山峰的高度AH及HB的距离．（古制1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步，结果用步来表示）解：∵AH∥BC，∴△BCF∽△HAF，∴BFHF=____又∵DE∥AH，∴△DEG∽___②____，∴DGHG又∵BC=DE，∴BFHF=DGHG，即又∵BFHF=BCAH，∴

(1)请补全上述求解过程中①②所缺的内容；(2)爱思考的小明想利用解直角三角形的知识，使用皮尺和自制测量仪（如图2，图3），通过测量长度、角度等几何量，测量一个海岛中的山峰高度．如图4，测量得∠AEK=α，∠ACK=β，BD=a，DE=b，求出此座山峰的高度AH。

24．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①ACBD的值为；②∠AMB的度数为（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

25．直线y=kx+b经过点A(1,2)，与抛物线y=−x2+2x+a（a为常数，且a>1）相交于点Bx1,y1，C(1)求a的值；(2)当直线BC与BD互相垂直时，求B点坐标；(3)若抛物线y=−x2+2x+a与x轴负半轴交于点F，点E在x轴上，当tan2023-2024学年南门学校九年级寒假自测卷参考答案及解析：一、单选题1．C2．A3．A4．B5．A6．D7．D8．B9．D10．B10.【分析】求出二次函数的对称轴为直线x=−3，然后判断出A、B距离对称轴的大小，即可判断y1与y【详解】解：∵y=(x+3)∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−3，∵x1<x∴x1∴x1∵−4<−3，∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，∴y1故选：B．二、填空题11．3.47×10612．（a-1）213．﹣214．315．83﹣8π316．16.【详解】过点E作EM⊥OB于点M，∵△CEF沿EF折叠得到△DEF，∴∠EDF=∠C=90°，EC=ED，∵∠MED+∠MDE=∴∠MED=∠BDF∵∠EMD=∠DBF=∴∴∵OA=3、OB=4且E、F两点在y=k∴Ek3,3、F4,∴CE=DE=4−∴4−k在Rt△BDF中，∴解得：k=∴反比例函数解析式为：y=当x=4时，y=218×4故答案是：4,21三、解答题17．5【详解】解：原式=4+2×32=4+3=5．【点睛】此题考查了负整数指数幂，特殊三角函数值，化简绝对值和零指数幂，解题的关键是熟练掌握以上知识的运算法则及其应用．18．【详解】如图，连接AF、CE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵E，F为OB，OD的中点，∴OE=OF，∴AC与EF互相平分，∴四边形AECF为平行四边形，∴AE=CF；19．2x+1，【详解】原式=(x−2当x=原式=220．（1）13；（2）见解析，【详解】解：（1）∵袋子中装有1个白球和2个红球种，∴每一次摸到白球的概率=13故答案为：1（2）根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，恰好摸到1个白球，1个红球有4种，所以摸到1个白球，1个红球的概率46＝221．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：DE是⊙O的切线，理由如下：∵直线l是线段CD的垂直平分线，∴ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠A=90°，∴∠OBD+∠C=90°，∴∠ODB+∠EDC=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；22．【详解】（1）解：当1≤x<30时，售价为x+30元，商品的进价为20元/kg，日销售量为−2x+120∴利润为：y=x+30整理得，y=−2x当30≤x≤48时，售价为60元，商品的进价为20元/kg，日销售量为−2x+120∴利润为：y=60−20整理得，y=−80x+480030≤x≤48综上所述，y=−2（2）解：由（1）可知，当1≤x<30时，y=−2x∴当x=25时，利润为2450元；当30≤x≤48时，y=−80x+4800，∵−80<0，∴y随x的增大而减小，∴当x=30时，y=−80×30+4800=2400，∴当x=30时，利润为2400元；∵2450>2400，∴第25天的销售利润最大，最大日销售利润为2450元．23．【详解】（1）解：由题意得，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例∵AH∥BC，∴△BCF∽△HAF，∴BFHF又∵DE∥AH，∴△DEG∽△HAG，∴DGHG又∵BC=DE，∴BFHF即123123+HB∴BH=30750（步）又∵BFHF=BCAH，∴故答案为：相似三角形的对应边成比例；BCAH；△HAG（2）在Rt△AKE中，∵tan∴EK=AK在Rt△AKC中，∵tan∴CK=AKtan∵CE=KE−KC，∴AK∴AK=a∴AH=AK+KH=AK+DE=a

24．【详解】（1）问题发现：①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB，∵OC=OD，OA=OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC=BD，∴ACBD②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°，（2）类比探究：如图2，ACBDRt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，∴ODOC同理得：OBOA∴ODOC∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴ACBD在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；（3）拓展延伸：①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB=90°，ACBD设BD=x，则AC=3x，Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，∴CD=2，BC=x-2，Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=7，∴AB=2OB=27，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，(3x)2+(x−2)2＝(27)2，x2-x-6=0，（x-3）（x+2）=0，x1=3，x2=-2，∴AC=33；②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，ACBD设BD=x，则AC=3x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，(3x)2+（x+2）2=(27)2.x2+x-6=0，（x+3）（x-2）=0，x1=-3，x2=2，∴AC=23；.综上所述，AC的长为33或23．25．【详解】（1）解：∵直线y=kx+b经过点A(1,2)，∴k+b=2∴y=k(x−1)+2，它与抛物线y=−x2+2x+a（a为常数，且a>1）相交于点B则k(x−1)+2=−x化简得x2x1+x(x=(2−k)=k当k=0时，有最小值4a−4，又当x1−x此时x1所以4a−4=8，a=3.（2）由（1）得抛物线解析式为y=−x则顶点为D的坐标为(1，4)，设B点坐标为BBAD