2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义06 同角三角比与诱导公式（原卷版）

2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义(沪教版2020)

专题06同角三角比与诱导公式

《司角三角比的关系］

，筒角三角比的关京\

【诱导公式

I和诱导公式

+£角式的化简与证庙

V>

一、同角三角比的关系

(-)知识精讲

(1)倒数关系：sinacsca=1；cosaseca=1；tana-cota=1；

/c、4gsina八、cosa.八、

(2)商数关系：tana=-----(zcosawO)；cota=-----(zsinawO)；

cosasina

(3)平方关系：sin24-cos2«=1；1+tan2a=sec2a；l+coFa=csc2a.

这些关系式还可以如图样加强形象记忆：

(1)对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系).

(2)任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).

(3)阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系).

注意：

.a

sm

a

1)“同角”的概念与角的表达形式无关，如：2=tan—

a2

si2rQa+co2Sa=1,.cos

2

2)上述关系(公式)都必须在定义域允许的范围内成立.

3)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”

公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用，若使用时，要注意讨论符号.

提问视角：同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为

三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法.

（二）典型例题

【例1】下列公式中，在aeR上恒成立的是______________o(填写相应序号)

①sinaesca=1②cosaseca=1③tana•cota=1

小sinaCSa22

⑷tana=-------(5)cota-°@sintz+cosa=1

cosasina

Q

【例2】已知cosa二,。是第二象限角，求£的其他三角函数值。

17

已知tana=9,

【例3】求sina、cosa和cota。

12

【例4】已知cota=k求sina,cosa；

【例5】已知6e（0,2乃）,sin。和cosd是方程f+"+\+i=o的两个根,求左和1的值.

【例6】已知在aABC中，sinA+cosA=7.

5

(1)求sinAcosA的值；

(2)判断aABC是锐角三角形还是钝角三角形;

(3)求tanA的值.

【例7】已知sina=2sinB,tana=3tan8,求cosa.

【例8】已知sina=28sa,求当.一4cosa及$由2a+2sincssa的值。

5sina+2cos(7

【巩固训练】

1.已知tana=m，求sina和8sa的函数值。

2.已知tana=』，求下列各式的值:

4sincr-3cosa

(1)(2)4sin2«-3cos2a

5cosa+3sina

^-3

sin6=

k+5，则。所在象限是

3.如果满足条件

八4-2k

cos6=--------

Z+5

、历

4.已知sin0+cos^=~~(0<n),求tan。的值.

o

1+sina1

5.已知•则c°s”的值是)

coso2sm4-1

11

A.~B.——C.2D.—2

二、诱导公式

（一）知识精讲

当角a的三角函数值已知时，与角a相差"或三（以及整数倍）的角的三角函数值就都可

2

以根据对称性及坐标计算出来，规律详见下表。

组别—•二三四五六

2kM+anJI

角冗+a—an-a万一°---+o

(AeZ)2

—sin

正弦sino-sinosinoCOSocosa

a

-cos—sin

余弦coso—cosacosQsin。

aa

—tan—tan—cot

正切tanQtanQcota

aaa

-cot—cot—tan

余切cotacotatana

aaa

函数名不变函数名改变

口诀

符号看象限符号看象限

【注意】①诱导公式都是当a取使等式两边都有意义时的任意值；

②诱导公式的正负号的确定：将a看成锐角时，等号左边的角的三角比的正负，决定了等号

右边的正负号；

③利用以上五组诱导公式可将任意角的三角比转化成锐角或零角的三角比，转化的一般途径

是：负角一正角一»[0,2万)内的角一锐角或零角，以上的转化途径不唯一。

诱导公式可概括为A♦5土a(AWZ)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是“奇变偶不

JI

变，符号看象限”.其中的奇、偶是指了的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变

化.

(二)典型例题

【例9】(1)求下列各三角比的值.

/八./10乃、(2)cos也；

(1)sin(-----)；(3)tan(-945°)；

36

(4)cos(-585。)

’tan495°+sin(-690°)(5)sin210

8

【例10]已知cos(%-a)二万，求sin(a-5»),tan(3乃+a)的值.

【例11】①已知sin(°+正)=：,贝Ucos(°+*)=.

②已知cos6-_〃)="!，则sin(q_W_j=________.

③已知cos(-^■+t)=乎，求cos(^.

7、2nl

-6ZT+X)I+COS【I—671—X)I—

.(8万)c/7兀、

sin+a+2cosa-

【例12】已知tan(a+至)=-3,求一V——4——一U的值.

5(117V\(171\

3sin-----a-cos-----a

I5)\5)

【巩固训练】

13

1.cos(7r+a)=~~2'~2；r<a<27r,贝ijsin(3^+a)=.

2.已知sin/a+2]=J,则cosja+卫的值为______.

I12j3I12；

c1r4门42cos(4-a)—3sin(zr+a)人心,十

3.已知cosa=一一，且一一<a<0,求----------------------的值.

324cos(-a)+sin(2^-a)

4.yjl—2sin(^r+2)COS(TT+2)=.

5.已知A、B、C为AA8C的内角,

(1)证明：sin(A+5)=sinC.

(2)若cos(5+C)=3-,求A,

/c、、TrUA+83"+C

(3)证明：tan-------=-tan---------

44

三、三角式的化简与证明

1+sinal-sina

【例13】已知a是第三象限角，化简:

1-sina1+sina

【例14](1)化简：sin2a-tana+cos2acota+2sinacosa；

sin2a•cos4a+sin，a•cos2a

(2)化简

1-sin4a-cos'a

【例15】化简下列各式：

(Dcos?(3乃一a)sin(-a+41)sin(-a—乃)

esc2(a—21)-1tan2(a-3乃)

(2)sin2(a+1)cos(a+乃)cot(-a—1)

tan(乃-a)cos3(-a—4)

【例16】化简：co{4'：l%+a）+co{4：14一卜［（〃£2）

易错提示：（1）本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将

力分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想.

⑵在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因.

【例17】求证：(1)sin6x+cos6x=1—3sin2x-cos2x；

/八、2(sinx-cosx)sinxcosx

(2)-------------------=-----------

1+sinx+cosx1+cosx1+sinx

【例18］求证：［(1+sin2a)2-cos4a］­［(1+cos2a)2-sin4(2］=16sin2a-cos2a；

jrjr

【例19］求证：sin［几4L(一1)〃一］=cos⑵2乃+(一1)"—］,/?€Z.

63

【例2。】已知cot&（鬻］+（喘2,试正C"（鬻J+］鬻

【巩固训练】

1.已知方程2f_（6+1）%+加=0的两根分别是《116,以）56,求sin。+.£s6>的值。

1一cot。1-tan^

2.已知sine+cose="y（0<e<4）.

求：（1）sin。一cos。的值（2）tan。的值(3)sin"-cos"的值

sin(k7r-a)cos(攵乃+a)

3.若4£Z,求证:

sin[伏+1)乃+a]cos[(k+1)乃-a\

4.已知：asina+bcosa=c,acosa-bsina=d,求证：a2+b2=c2+d2.

5.已知sinx+cosx+sin%,cosx=l,求：sinx+cosx和sinx・8sx的值.

反思总结

1、同角三角比的关系

(1)倒数关系：sina-csca=1；cosa-seca=1；tana-cota=1；

/、、sina八、cosa.人、

(2)商数关系：tantz=-----(zcosaxO)；cota=-----(zsinawO)；

cosasina

(3)平方关系：sin2a+cos2a=l；1+tan2a=sec2a；1+cot2a=csc2a.

2、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”

2kb+anJI

角n+(7——aJt-a~a5+。

Uez)

—sin

正弦sina—sinasinaCOSaCOSO

a

-cos—sin

余弦cosa—cosQcosasina

aa

—tan-tan-cot

正切tanatanacota

aaa

—cot一cot-tan

余切cotocotatano

aaa

三角比求值主要有三种类型

(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察这类问题中的

角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式.

(2)“给值求值”，即给出某些角的三角比式的值，求另外一些三角比的值，这类求值问题

关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围的变化.

(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角

之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.

3、三角式的化简与证明方法技巧

同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式.

1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三

角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍.

2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：

sinx

⑴弦切互化法：主要利用公式tanx=——化成正弦、余弦函数；

cosX

(2)和积转换法：如利用(sin夕土cos夕)2=l±2sin夕cos。的关系进行变形、转化;

(3)巧用“1"的变换：l=sinJ^+cos2^=cos20(1+tan2=sin"~~|=tan—

Itanu)4

=2•••

课后练习

1.已知&<av—，cos(6Z+—)=m(mw0),求tan(——a)的值.

6333

cq/士冗2乃3兀445464

2.求值：cos—+cos——+cos——+cos——+cos——+cos——=

777777---

3.判断表达式sin—Fsin--Fsin----Fsin---Fsin---Fsin—的正负.

777777

4.若sin(i+a)+sin(—。)=一机，贝!Jsin(3;r+a)+2sin(2;r-a)等于

ncos2X

5.当0＜水了时，函数F(x)=••2I的最小值是

cosxsinx-sinx

八#rxmil,Jl+tarrae日

6.右tanawO,贝ijcscc=±---------酒足)

tana

(A)当a在一、四象限时，取“+”号

(B)当a在二、四象限时，取“一”号

(C)当a在一、二象限时，取“+”号

(D)当。在第二象限时，取“+”号

7.已知tanl317=a,贝iJsin30予+cos30予()

1+。1-CL

(A)(B)

1+'l+a2