十章抛物线及其性质

§10.3抛物线及其性质高考理数

(课标Ⅲ专用)五年高考A组

统一命题·课标卷题组考点一抛物线的定义与标准方程(2017课标全国Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点

N.若M为FN的中点,则|FN|=

.答案6解析如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.思路分析过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解.方法总结当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义

在解题中的重要作用.考点二抛物线的几何性质及应用1.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两

点.已知|AB|=4

,|DE|=2

,则C的焦点到准线的距离为

()A.2

B.4

C.6

D.8答案

B不妨设C:y2=2px(p>0),A(x1,2

),则x1=

=

,由题意可知|OA|=|OD|,得

+8=

+5,解得p=4.故选B.2.(2018课标全国Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交

于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=

.答案2解析本题考查抛物线的几何性质及应用.解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x=

+1,设A

,B

,将直线方程与抛物线方程联立得

整理得y2-

y-4=0,从而得y1+y2=

,y1·y2=-4.∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴

·

=0,即

·

+(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2.解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则

②-①得

-

=4(x2-x1),从而k=

=

.设AB的中点为M',连接MM'.∵直线AB过抛物线y2=4x的焦点,∴以线段AB为直径的☉M'与准线l:x=-1相切.∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴点M在准线l:x=-1上,同时在☉M'上,∴准线l是☉M'的切线,切点为M,且M'M⊥l,即MM'与x轴平行,∴点M'的纵坐标为1,即

=1⇒y1+y2=2,故k=

=

=2.

疑难突破运用转化思想,采用“设而不求”“点差法”的方法来解决直线与抛物线的相交

问题.3.(2018课标全国Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交

于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由

得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=

.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=

.由题设知

=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则

解得

或

因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重

利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.B组

自主命题·省(区、市)卷题组1.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段

PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为

()A.

B.

C.

D.1答案

C设P(x,y),M(xM,yM),∴

=(xM-x,yM-y),

=

.∵|

|=2|

|,即

=2

,∴(xM-x,yM-y)=2

,∴

∴kOM=

=

,由题易知kOM最大时y>0,∴kOM=

=

≤

=

,当且仅当x=p时取等号.2.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的

点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是

()

A.

B.

C.

D.

答案

A过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.可知

=

=

=

=

,故选A.3.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且

M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是

()A.(1,3)

B.(1,4)

C.(2,3)

D.(2,4)答案

D当直线AB的斜率不存在,且0<r<5时,有两条满足题意的直线l.当直线AB的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,kAB>0和kAB<0时各有一条满足题意的直线l.设圆的圆心为C(5,0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=

,y0=

,∴kAB=

=

=

.∵kCM=

,且kABkCM=-1,∴x0=3.∴r2=(3-5)2+

>4(∵y0≠0),即r>2.另一方面,由AB的中点为M知B(6-x1,2y0-y1),∵点B,A在抛物线上,∴(2y0-y1)2=4(6-x1),①

=4x1,②由①②得

-2y0y1+2

-12=0,∵Δ=4

-4(2

-12)>0,∴

<12.∴r2=(3-5)2+

=4+

<16,∴r<4.综上,r∈(2,4),故选D.4.(2016天津,14,5分)设抛物线

(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C

,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3

,则p的值为

.答案

解析由已知得抛物线的方程为y2=2px(p>0),则|FC|=3p,∴|AF|=|AB|=

p,A(p,

p)(不妨设A在第一象限).易证△EFC∽△EAB,所以

=

=

=2,所以

=

,所以S△ACE=

S△AFC=

×

p×

p=

p2=3

,所以p=

.思路分析利用已知条件及抛物线的定义得|AF|=|AB|=

p,从而可取A(p,

p),问题即可迎刃而解.5.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=

.答案2

解析抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-

(p>0),故直线x=-

过双曲线x2-y2=1的左焦点(-

,0),从而-

=-

,得p=2

.6.(2019北京,18,14分)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交

直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.解析本题主要考查抛物线、直线和圆的基本概念,重点考查直线与抛物线的位置关系,考查

学生对数形结合思想的应用以及逻辑推理能力,通过直线与抛物线的位置关系考查了数学运

算的核心素养.(1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.(2)抛物线C的焦点为F(0,-1).设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).由

得x2+4kx-4=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4,直线OM的方程为y=

x.令y=-1,得点A的横坐标xA=-

.同理得点B的横坐标xB=-

.设点D(0,n),则

=

,

=

,

·

=

+(n+1)2=

+(n+1)2=

+(n+1)2=-4+(n+1)2.令

·

=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).7.(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点

作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=

.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为

,准线方程为x=-

.(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+

(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由

得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=

,x1x2=

.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=

x,点B的坐标为

.因为y1+

-2x1=

=

=

=

=0,所以y1+

=2x1.故A为线段BM的中点.方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联

立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.易错警示在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty

+n的形式,注意先讨论斜率是不是0.C组

教师专用题组1.(2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C

的交点为Q,且|QF|=

|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、

N四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=

.所以|PQ|=

,|QF|=

+x0=

+

.由题设得

+

=

×

,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.

(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=

|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-

y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+

y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-

,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E

,|MN|=

|y3-y4|=

.

(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=

|MN|,从而

|AB|2+|DE|2=

|MN|2,即4(m2+1)2+

+

=

.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

(12分)评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、四点共圆等基础知识.

考查解析几何的基本思想方法,考查运算求解能力和综合解题能力.第(2)问中将直线l的方程

设为x=my+1(m≠0),这样可以避免讨论斜率不存在的情形,使问题简单化.2.(2014安徽,19,13分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条

直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1∥A2B2;(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,

求

的值.

解析(1)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则由

得A1

,由

得A2

.同理可得B1

,B2

.所以

=

=2p1

,

=

=2p2

,故

=

,所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此

=

.又由(1)中的

=

知

=

.故

=

.A组

2017—2019年高考模拟·考点基础题组三年模拟考点一抛物线的定义与标准方程1.(2019课标Ⅲ卷地区大联考,9)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,△ABC三个顶点都在

抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在的直线方程为x+4y-20=0,则抛物线方

程为

()A.y2=16x

B.y2=8xC.x2=16y

D.x2=8y答案

C由题意,设抛物线的方程为x2=2py.由

得2x2+px-20p=0.由p2+160p>0,得p>0或p<-160.设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-

,∴y1+y2=

+

=10-

=10+

.设A(x3,y3),由△ABC的重心为F

,得

=0,

=

,∴x3=

,y3=

p-10.∵点A在抛物线上,∴

=2p

,解得p=8(p=0舍去).∴抛物线的方程为x2=16y.2.(2018贵州贵阳适应性考试,11)斜率为k(k>0)的直线经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,与抛物线

交于A、B两点,与抛物线的准线交于C点,当B为AC的中点时,k的值为

()A.

B.

C.2

D.3

答案

C不妨设直线AB的倾斜角为θ,则|AF|=

,|BF|=

,由BB1,AA1均垂直于准线,易知|BB1|=

|AA1|,结合抛物线定义得|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,∴

×

=

⇒cosθ=

,∴tanθ=2

.∴斜率k=2

,故选C.3.(2018广西南宁二中3月月考,11)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A和B分别为抛物线上

的两个动点,且满足∠AFB=120°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则

的最大值为

()A.

B.

C.

D.

答案

D过A和B分别作准线的垂线,垂足分别为A1和B1,由抛物线定义知|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=2|MN|,故

=

,又在△ABF中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos120°=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|,所以|AB|2=(|AF|+|BF|)2-|AF||BF|,而|AF||BF|≤

,则|AB|2≥

(|AF|+|BF|)2,即|AF|+|BF|≤

|AB|,因此

=

≤

,当且仅当|AF|=|BF|时取等号.考点二抛物线的性质及应用1.(2019广西南宁二中4月月考,10)若直线l过抛物线的焦点并与抛物线交于A、B两点,O是抛物

线的顶点,则△ABO的形状是

()A.直角三角形

B.锐角三角形C.钝角三角形

D.不确定答案

C不妨设此抛物线的方程为y2=2px(p>0),过焦点的直线l:x=my+

,代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2,x1x2=

·

=

.

·

=x1x2+y1y2=-

p2<0,所以∠AOB为钝角.选C.2.(2019贵州贵阳第一次适应性考试,11)设P是抛物线C:y2=4x上的动点,Q是C的准线上的动点,

直线l过Q且与OQ(O为坐标原点)垂直,则P到l的距离的最小值的取值范围是

()A.(0,1)

B.(0,1]

C.[0,1]

D.(0,2]答案

B可设Q的坐标为(-1,m)(m∈R),直线l过Q且与OQ垂直,易知直线l斜率不为0,则直线l

的方程为x=my-m2-1.易知,与直线l平行且与抛物线C相切的直线l1的方程为x=my-m2,所以直线l

与l1的距离为d=

,即点P到l的距离的最小值为d.显然,d∈(0,1].评析本小题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质等基础知识,考查运算求

解、逻辑推理能力和创新意识,考查化归与转化、数形结合等数学思想.3.(2019云南昆明第一次适应性考试,16)已知点P(1,-1)和抛物线C:y=

x2,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若

·

=0,则k=

.答案

解析由题易得,抛物线焦点坐标为(0,1).设直线AB方程为y=kx+1,联立

得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1·x2=-4.又

·

=0,即(x1-1,y1+1)·(x2-1,y2+1)=0把y1=kx1+1,y2=kx2+1代入,整理得,4k2-4k+1=0,解得k=

.B组

2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:30分钟分值:35分一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2019贵州贵阳质检一,11)在直角坐标系xOy中,抛物线M:y2=2px(p>0)与圆C:x2+y2-2

y=0相交于两点,且两点间的距离为

,则抛物线M的焦点到其准线的距离为

()A.

B.

C.

D.

答案

A由题意可知,抛物线M与圆C的其中一个交点为O,圆心坐标为C(0,

),半径为

.设另一个交点为A(x1,y1),因为|OA|=

,|OC|=

,|AC|=

,所以|OC|2+|AC|2=|OA|2,即OC⊥AC,所以点A坐标为(

,

),代入抛物线方程,解得p=

.所以抛物线M的焦点到其准线的距离为

.2.(2019广西南宁第二次适应性考试,10)已知抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=-1,△ABC的顶

点A在抛物线上,B,C两点在直线y=2x-5上,若|

-

|=2

,则△ABC面积的最小值为

()A.5

B.4

C.

D.1答案

D依题意得抛物线方程为x2=4y,因为|

-

|=2

,所以|

|=2

.设与BC平行且与抛物线相切的直线方程为y=2x+b.将y=2x+b代入x2=4y得x2-8x-4b=0,由Δ=64+16b=0得b=-4.此时

抛物线的切线为y=2x-4,则两条平行线之间的距离为d=

,即点A到直线y=2x-5的最小距离为

,故S△ABC最小值为

×|

|×d=1.3.(2018贵州遵义四中4月月考,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(5,m)到焦点的距离为6,P、

Q分别为抛物线C与圆M:(x-6)2+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量

在x轴正方向上的投影为

()A.2-

B.2

-1

C.1-

D.

-1答案

A因为6=

+5,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,易知圆M的圆心M的坐标为(6,0),设P(x,y),则|PM|=

=

=

,可知当x=4时,|PM|取得最小值,此时|PQ|也取得最小值,最小值为

-1=2

-1,此时不妨取P点的坐标为(4,-4),则直线PM的斜率为2,即tan∠PMO=2,所以cos∠PMO=

,故当|PQ|取得最小值时,向量

在x轴正方向上的投影为(2

-1)·cos∠PMO=2-

.4.(2017广西师大一附中5月月考,11)已知抛物线C:y2=2px与点N(-2,2),过C的焦点且斜率为2的

直线与C交于A,B两点,若NA⊥NB,则p=

()A.-2

B.2

C.-4

D.4答案

D由题意得直线方程为y=2

,与y2=2px联立,消去x得y2-py-p2=0,则y1+y2=p,y1y2=-p2,设A

,B

,由NA⊥NB得,

+(y1-2)(y2-2)=0,所以

+

[(y1+y2)2-2y1y2]+4-p2-2p+4=0,即-

p2+p+8=0,解得p=4或p=-

(舍),故选D.思路分析设A

,B

,利用公式x1x2+y1y2=0转化NA⊥NB,进而构造出关于p的方程-

p2+p+8=0,解方程即可.5.(2017四川绵阳二诊,16)已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,过点P(-1,0)作斜率为k(k>0)的直线l与抛

物线C交于A,B两点,直线AF,BF分别交抛物线C于M,N两点,若

+

=18,则k=

.

二、填空题(每小题5分,共5分)答案

解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B,P三点共线可得

=

,由焦半径公式及图形的对称性得,|AF|=x1+1=|NF|,|BF|=x2+1=|MF|,∴

=

,

=

,∴

+

=

+

=18,所以(y1+y2)2=20y1y2,由

可得ky2-4y+4k=0,所以y1+y2=

,y1y2=4,所以

=80,因为k>0,所以k=

.6.(2019云南瑞丽质检二,20)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F.(1)若斜率为-1的直线l过点F与抛物线C交于A,B两点,求|AF|+|BF|的值;(2)过点M(m,0)(m>0)作直线l与抛物线C交于A,B两点,且

·

<0,求m的取值范围.三、解答题(共10分)解析(1)依题意得,F(1,0),则直线l:y=-x+1.设A(xA,yA),B(xB,yB).联立

消去y得(-x+1)2=4x,则x2-6x+1=0,则xA+xB=6.由抛物线的定义可知,|AF|+|BF|=xA+xB+2=8.(2)由题易知直线l斜率不为0.设直线l的方程为x=ty+m(m>0),l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1=

,x2=

.将l的方程代入抛物线的方程,化简得y2-4ty-4m=0,Δ=16