2021届“超级全能生”高三全国卷地区4月联考试题（丙卷）数学（理）试题解析

2021届“超级全能生”高三全国卷地区4月联考试题（丙卷）数

学（理）试题

一、单选题

1.已知集合4=卜卜>2},3=卜,2-4》+3«0},则AD8=（）

A.{x|2〈x43}B.1x|2<x<3|

C.{x[2<x<3}D.{x|2<x<3}

答案：B

先解一元二次不等式化简集合6,再进行交集运算即可.

解：集合8={目厂-4尤+34。}={x|l4xW3},A={x|x>2},故AcB=2cx<3}.

故选：B.

2.已知复数z=±C,则5=()

3-4z

A.3+4iB.3-4zC.—3+4iD.—4一3z

答案：B

由复数除法运算可求得z,由共物复数定义可得结果.

24-/2525(3+4/)…._

解：•7=々/•=丁二心八/♦、=3+4,.••2=3—4〉

3-4i3-4i(3-4/)(34-4Z)

D.

根据函数的奇偶性，可排除A、D；根据/（e）的值，可排除B,即可求解.

X.—X

解由题意’函数/（x）=M的定义域为（一8,0）U（。,+8）,可得定义域关于原点对称'

又由/（-X）=/（力，所以/（X）是偶函数，故排除选项A、D；

因为/（e）="■兰可排除B.

'Ine

故选：C.

7

4.若(:。36=云,6e)

4

D.

A-I5

答案：D

nn

先利用三角恒等变换COS8=2COS2——1,结合角的范围，求解cos—,再利用诱导公式求解

22

7/9f)32则8s2空更

解：因为cosB=—=2cos2---1,所以2cos2—=—

252225225

因为6»€（0,万），所以2G（0,n故c-，

即cos—>0,

225

n004

所以sin—+—=cos—=一

2225

故选：1）.

5.已知递增等差数列｛4｝，4=1,且%为4+1与%+1的等比中项，则公差"=（）

A.1B.1或-3C.3或一1D.3

答案：D

根据等差数列的通项公式，将。2，%用首项与公差表示，再根据等比中项公式及数列｛。,,｝为递增

等差数列即可求解.

解：解：因为。2=1+"，%=1+24,且%为4+1与%+1的等比中项，

所以(1+4)2=(1+1)(2+2J),解得d=3或一1(舍)，

故选：D.

2

6.定义在R上的偶函数“X)满足〃％+1)=-/(X),且当OWxWl时，/(x)=log3(x+2),

贝！)/(-2021)=()

A.1B.1g9C.1g3D.0

答案：A

先利用/(x+1)=-/(%)求得周期为7=2，再利用奇偶性和周期性转化

/(-2021)=/(2021)=/(1),代入解析式即得结果.

解：由/(x)满足=得,f(x+2)=/(x),

所以函数/(x)的周期T=2，

且当OWxVl时，〃x)=log式V+2),f(x)为偶函数，

所以/(—2021)=/(2021)=/(l)=log33=1.

故选：A.

7.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm)是()

12

a

2-D.3-

先在正方体中还原该三视图对应的几何体，再计算三棱锥的体积即可.

解：根据三视图可知，其还原后的几何体为边长为2的正方体ABC。-ABIGA内的三棱锥

o-O'BC,如图所示，0,0,分别是上下底面的中心.

I2

其体积^O-OBC-x(2x1x1)x2

323

故选：D.

22

8.已知双曲线E:二一斗=1（。＞0力〉0）的左、右焦点分别为耳，乙，P为E左支上位于第二

a~b

象限的一点，若直线「工与E的右支相交于。，且满足匝=2的，|。6|=仇则E的渐近线方

程为（）

B・y=±-^-x

A.y=±-x

32

C.y=±3xD.y=±—X

3

答案：C

由双曲线定义可推导得到|P4|=3h—2a,|Q凰=2a+仇在△/>£"和AQGB中，利用余弦定

由双曲线的定义得：|P闾一|尸片|=2°,即|「耳|=|「用一2。，.」尸制=3》一2。,

同理可得：|Q6|=2a+江

在6K和AQ大鸟中,

（3/7）2+4c2—（3b—2aJb2+4c2~（2a+b）2

COSNPF2R

2-3b-2c-2-b-2c

整理可得：3a=b,：2=3,

a

，双曲线E的渐近线方程为：y=±3x.

故选：C.

点评：关键点点睛：本题考查双曲线渐近线方程的求解，解题关键是能够分别在两个三角形中利用

余弦定理表示出同一角的余弦值，由此构造方程求得db之间关系.

9.斐波那契数列(匹祖owccisequence)是数学家莱昂纳多•斐波那契(Leonardod?Fibonacci)

以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…在数学上，斐波那契数列｛q｝用递推关系：ax=a2=\,an+2=an+x+an.

来刻画，执行如图所示的程序框图来计算该数列的第2021项,

则（1）（2）处分别填入的是（）

A.T=S-7>22020?B.T=S-T,n>2021?

C.T=5,/7>2020?D.T=S,n>2021?

答案：A

根据给定的程序框图，执行第一次和第二次循环，以及最后一次循环，结合排除法，即可求解.

解：由题意，执行第一次循环，S=1+1=2,%=S=2,此时（1）中7的值应为生的值，即T=l，

若（1）处所填的算法步骤为T=S,显然1=2,矛盾，故排除选项，故T=5-7；

第一次循环，经过S=S+T算法步骤后S=%，〃=1+1=2；

第二次循环，经过算法步骤S=S+T后S=%,〃=2+1=3.

依此类推，最后一次循环，经过算法步骤S=S+T后S=%）2”〃=2019+1=2020,〃=2020

满足判断条件，应跳出循环体，则〃22021不成立，故排除8选项,

故选：A.

532

10.^a=—,b=—,c=—,则（）

In5In3In2

A.a<c<bB.a<b<c

C.h<a<cD.b<c<a

答案：D

303030

先将a",c画出分子同为30的数，即。=菽，匕=诃，c=，MtLSln3l0>ln2,5>ln56，

即得a,b,c的大小关系.

553030,3303023030

''一m5-61115—11156'一m—101n3—ln3i°'-ln2-151n2-ln215

3,O=（32）5>（23）5=215=（25）3>（52）3=56>1

ln3l0>ln2'5>ln56>0，

303030

ln310<ln215<InF即b<c<a.

故选：D.

点评：关键点点睛：

本题的解题关键在于将三个数统一为分子同为30的数，转化成比较31°,2匕56的大小关系，再结合

指数累的性质，利用幕函数单调性比较大小即突破难点.

11.设〃》)=62'-。，8(力=/〃(％+。)(。€&,若不等式./'(8(》))一8(/(力)>0恒成立，贝I]。

的取值范围为()

A.[0,1]B.(!,+«>)C.[-U]D.(—1]

答案：B

令新的函数y=/(g(x))—g(/(x))(x>—a),将不等式/(g(x))—g(/(x))>0恒成立，转化

为Nmin>°成立，再利用二次函数的性质求解函数最小值•

解：令y=/(g(x))—g(/(x))(x>—。)，根据题意得

22

y—a=(x+a/-a-2x=x+(^2a—2^x+a-a>0恒成立，即ymin>0成立，

因为函数y=x2+(2a-2)x+a2-a[x>-a)的对称轴为x=l-a>—a,所以函数的最小值

ymin=(1—a]+(2a—2)(1—a)+/—a=a—\>0,解得a>1.

故选：B.

12.已知正方体ABCO-A4GA的外接球的体积为1086乃，若E,EG,”分别为棱

49,ABIC,44的中点，则三棱锥EFG内切球的半径为()

A.373+372B.373-3>/2C.3指-亚D.2G-指

答案：B

根据球的体积公式和正方体外接球半径为体对角线的一半可构造方程求得正方体棱长a=6,计算

可求得三棱锥H—EFG的表面积，根据等体积法可知VH_EFG=VG_EFH=gs’EwFG=；Sr,

由此可求得内切球半径r.

BGC

设正方体外接球的半径为R,由正方体的外接球的体积为3%内=108g万得：R=36

设正方体的棱长为a,贝13a2=（2R）2=4x@Ji『，解得：a=6；

由题意得：EH=FG=3C，EF=HG=3指,HF=6,EG=6五，

EF2+FG2=EG2>EH2+HG2^EG2>:.FG±EF,HG±EH.

又HF1FG,HF^}EF=F,”「，石/匚平面石;4^二阳,平面?"7,

，三棱锥H-EFG的表面积

S=S+SFHC+SFFC+SUCF=-x6x3\/2H—x3>/6x3^2H—x3\/6xH—x6x3>/2

4匕卜a4匕4匕/（/△/iG/2"2，2"2

=180+186；

设三棱锥H-EFG内切球的半径为广,

根据等体积法得：VH_EFC=VG_EFH=2S.EFHFG'Sr,

S△FUFHH__,F__G_3x/3-3V2

s

故选：B.

3V

点评：结论点睛：多面体的内切球的半径〃二=，其中V为多面体体积，S为多面体的表面积.

二、填空题

13.已知向量£=。,一2）石=（3,2+，）«/0）,且满足132+0=5,贝打=

答案：—1

先计算3Z+B，结合卜£+q=5得到关于力的方程式，解方程即得结果.

解：因为“=（/,-2）石=（3,2+。«/0）,所以3a+B=（3r+3,r-4）,

故由|3“+0=5知，（3f+31+«—4）2=25,

解得，=o或，=—1.又因为，*0,所以r=—i.

故答案为：—1.

14.记S”为等比数列｛q｝的前〃项和，公比为q（q力l,q€N*）,满足/S"=2a/一/6N*,

则数列｛4｝的通项公式为%=.

答案：2"

先利用n=1时求得％=?再化简已知式为S.=2a,-4，〃eN*,通过〃=2时，利用等比数列通

项公式计算4=4=2,即得结果.

解：当”=1时，qS|=2a；-4，所以生=。/，即4/=%2,而4片。，所以《=%

由=2。:一

2

得anSn=2a„-anq=an（2an-q）,n&N*,而q尸0,

所以S“=2a“N*

故当〃=2时，$2=q+4=2%-。，即々-4-q=。，而q=q,%=44=/，

所以d-2q=0.因为qKLqwN*,所以q=q=2,

故4=2”.

故答案为：2"-

点评：关键点点睛：

本题的解题关键在于通过已知式得到4=%S„=2an-q,neN*,再结合等比数列公式即突破难

点.

15.已知（根-2x）5展开式中各项系数和为32,（42丫

+—的展开式中二项式系数和为512,则

x)

展开式中常数项为.（用数字作答）

答案：84

先令x=l得到系数和（m-2）5=32解得参数如根据二项式系数和2"=512,解得参数〃，再利

展开式的通项公式解得常数项即可.

解：令％=1得到系数和（m—2）5=32,解得加一2=2,即加=4；

由二项式系数和为2"=512,解得"=9.

故件+上）,

其展开式的通项公式为=C；产（十）=。/喙"=0,1,2,...,9

3/

故令9—5「=0,即r=6时，得常数项为C：=84.

故答案为：84.

点评：思路点睛：

有关二项式展开式的系数和问题通常利用赋值法来求解；而二项式系数系数和只与〃有关，为2".

22

16.已知抛物线。：丁=22《，>0）的焦点尸与椭圆£:5+方=1的一个焦点重合，过坐标原

点。作两条互相垂直的射线OM，ON,与C分别交于M,N,则直线MN过定点

答案：（4,0）

先利用交点求抛物线方程，设直线方程，并与抛物线联立求得点弘其再利用两点坐标求斜率,

利用点斜式写直线MN方程，整理即得定点.

22

解：因为抛物线C：9=2Px（〃>0）的焦点F与椭圆E：y+-^=1的一个焦点重合，

所以F（l,0）,p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.

设OM的方程为y^kx,与抛物线C的方程联立得M

同理，ON的方程为y=--x,与抛物线C的方程联立得点N（4%2,-4Z）,

K

4

%+4女_k+F_k

故直线MN的斜率AMN（k工±1）,

W_4公—412

k24k

故直线的方程为y+4Z.（x-4左2）,

\-k2

k

整理得—4），

1K

故直线MN过定点（4,0）；

当人士1时，直线"N的方程为x=4,也过点（4,0）,

综上可知，直线MN过定点（4,0）.

故答案为：（4,0）.

点评：思路点睛：

圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理，或者直接求

得交点坐标，结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算直线方程，

即可求出定点，运算量较大.

三、解答题

17.在△ABC中，角A,所对边分别是满足4acsin8cosBu/sinZC+dinZA.

（1）求8；

（2）若。2+4?+优=16,求△ABC面积的最大值.

答案：（1）B=-；（2）勺5.

33

（1）由二倍角公式和正弦定理化简已知式，并结合三角形内角的取值范围，得到cosB='，即可

2

求得角8：

（2）由已知条件，利用基本不等式可得4的取值范围，再结合三角形的面积公式即可求AABC面

积的最大值.

解：解：（1）由二倍角公式得4QCsinBcos8=2〃2sinCeosC+2c2sinAcosA,

由正弦定理得2sinAsinCsinBcos8=sin2AsinCcosC+sin2CsinAcosA

e.eA,Ce（0,〃），

sinAw0,sinCw0,

/.2sinBcos3=sinAcosC+cosAsinC,

即2sinficosB=sin（A+C）=sinB,

・..Be（0,乃），1.sinBw0,...cosB=—,

rr

由3w(0,万)，知8=—；

3

(2)c1+a2+ac=\6,

二16-ac="+c222ac,当且仅当a=c=逆时，等号成立，

3

,16

ucW—，

3

痂01•nJ1664G

故~QCsinBW万大—x—^―=———>

即当a=c=t&时，S.BC的最大值为迪.

33

点评：方法点睛：

求解三角形中有关边长、角、面积的最值(范围)问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面

积公式，建立a+/?,ab,/+〃之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.

18.如图所示，在长方体ABCO-4旦中，AB=AD=1,点E是棱A4的中点，且异面直

线BD与C4所成角的余弦值为旦.

10

(1)证明：AC//平面BQE；

(2)求锐二面角与-E。-B的余弦值.

2

答案：(1)证明见解析；(2)—.

(1)连接耳。的中点R与E，证明E尸〃AC,再利用线面平行的判定定理即可:

（2）以4为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，设侧棱4Al=。,利用异面直线8。与CR所

成角，列可而的关系，解出参数a,再分别求出平面和平面gOE的一个法向量，再利

用空间向量的夹角公式即可求解.

解：解：（1）证明：设AC与8D的交点为。，取与。的中点尸，连接

在长方体ABCD-ABIGR中，AB=AD=1,

。为BO的中点，口为4。的中点，

AOFHBB,,且OF=3B/.

•.•在长方体ABC。-44GA中，点E是棱AR的中点,

/.AE/IBB,,AE=LBB\,

2

.•.OP//AE,且OF=A£,

•••四边形AEFO为平行四边形，

EF//AO,即EF//AC.

•rEFu平面BQE,4。二平面BQE,

AC〃平面面。E；

（2）依题意，以力为坐标原点，AB.ADM所在的直线分别为X轴、丁轴、z轴建立空间直角坐

标系，如图所示，设AA=。,

可得点A(0,0,0),B(l,0,0),0(0,1,0),C(l,l,0),A(0,0,a),D](0,1,a),

BD=(—1,1,0)»CD、=(—1,0,a),

:.\cos(CD1,BD)\="।=/I,~g，解得a=3(舍负),

1

'〃|c2H叫717^.72io

故点4(1,0,3),40,0,1),.・•丽=(1,0,l),9=(0,1,-1),

设平面B】DE的法向量为〃=(x,y,z)，

n-EB、=02x+3z=0

不妨取z=2,可得3=(-3,3,2)；

n-ED-02y-3z=0

设平面BDE的法向量为〃z=(%,降4),而£©=(0,1,-80=(-1,1,0)

m-ED=Q2y-3Z]=0.一

即《,不妨取Z[=2,可得m=(3,3,2),

m-BD=0[一%+y=°

2

二.锐二面角B-ED-B的余弦值为五.

点评：方法点睛：

求空间角的常用方法：

(1)定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合

题中条件，解对应三角形，即可求出结果;

(2)向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角(直线方向向量与直线方向向量、

直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量)余弦值，即可求出结果.

19.2021年2月11日20:00整，中央电视台辛丑牛年春节联欢晚会隆重举行.晚会中，华美的舞

台令观众沉醉，震撼的科技让酷炫尽显，饱含深情的歌曲、充满感染力的舞蹈、笑中有思的相声

小品等一个个节目将过去一年来我国取得的举世成就生动，形象、深刻地呈现出来，描绘出逐梦

中国的万千气象，携着吉祥的祝福与全国人民一同迈入新的春天.为了了解电视观众对晚会的整体

评价，某调查机构通过不同途径调查了大量完整收看了春晚节目的电视观众的评分(满分1()0分)，

并对其进行统计分析，制作了如图的频率分布直方图：

，频率

0.0400

0.0350

0.0300

0.0250

0.0225

0.0200

0.0150----------------------------

0^30405060708090100

(1)试估算春晚评分的平均值；

(2)假设评分在60分以上的，则认为观众对春晚是满意的；不足60分，则认为观众对春晚是不

满意的.研究者从样本中抽取了年龄在45岁以上和45岁以下的观众各1()0名，发现年龄在45岁以

上的10()名的观众中满意的有6()人，年龄在45岁以下的观众中满意的有35人，请结合独立性检

验的思想，完成下列列联表，并分析是否有99.9%的把握认为观众的满意度与年龄分布有关？

45岁以下45岁以上合计

满意

不满意

合计

(3)由问题(2),现从45岁以上的观众中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，

并从这10人中随机选出3人颁发参与奖励，设获得参与奖励的不满意的观众人数为X,求x的分

布列及数学期望.

附:

耳片〉30.150.100.050.0250.01()0.0050.001

氏02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc),,

K27-----~~77——---------7,〃=Q+0+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(/+d)

答案：（1）69.25；（2）表格见解析，有99.9%的把握认为观众的满意度与年龄分布有关；（3）分

布列见解析，期望g.

（1）根据频率分布直方图即可求解；

（2）根据题意列出2x2列联表，求出A：?并与临界值表进行比较，即可判断;

（3）根据题意得出X的所有可能取值，求出相应的概率，得到到分布列，利用公式求出数学期望.

解：（1）根据频率分布直方图中的数据，可得估计春晚评分的平均值为：

35x0.05+45x0.075+55x0.1+65x0.3+75x0.225+85x0.15+95x0.1=69.25.

（2）根据题意，可得得2x2列联表为

45岁以下45岁以上合计

满意356095

不满意6540105

合计100100200

Wjv2=200x(35x40-60x65)^i253i>i0828)

95x105x100x100

所以有99.9%的把握认为观众的满意度与年龄分布有关.

（3）根据分层抽样，可知抽取的10人中，满意的观众有效、10=6（人）,

100

40

不满意的观众有——xl0=4（人）,

100

设获得参与奖励的不满意的观众人数为X,则X的所有可能取值为0,1,2,3,

CC=20=1,尸午60_1

且(x=D=g

P(X=O)=-

Cf0~V2Q~6Jo1202

P-2)=,噌噌Pg)=管唱鼻,

所以随机变量X的分布列为:

X0123

31

p

621030

所以E(X)=0xL+lx」+2xa+3x-L=g

V'6210305

点评：求随机变量X的期望与方差的方法及步骤：

1、理解随机变量X的意义，写出X可能的全部值；

2、求X取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；

3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望E(X),£>(X)；

4、若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊

分布列的期望和方差的公式求解.

20.已知函数/(%)=以2—2]nx(awR).

(1)若“X)在。，/⑴)处的切线与直线6x-y+8=0平行，求“X)的单调区间；

(2)已知函数g(x)=-2(a-l)x+2,且不等式/(x)-g(x)20在xe(0,+°。)恒成立，求。的

最小整数值.

答案：(1)单调递增区间为单调递减区间为；(2)2.

(1)利用导数的几何意义结合已知条件求出。的值，再利用导数研究函数的单调性，即可求解;

(2)将不等式恒成立问题转换为求最值问题，再利用导数研究函数的单调性、最值即可求解.

2

解：解：(1)由题可知/'(x)=2ar—、(x>0).

因为函数/(x)在(1J。))处的切线与直线6%->+8=0平行，

所以/(X)在(1"(1))处的切线斜率左=r(l)=加-2=6,

解得a=4,止匕时/(x)=4x2—2Inx,xe(0,+oo),

,.ZX28r—2由/'(x)>0,得x>g,由/'(x)<0,得0cxeg,

f(x)=82x——=------

XX

所以函数/(X)的单调递增区间为单调递减区间为(0,g

(2)因为不等式〃x)—g(x)20在XG(0,+。。)恒成立,

所以/(x)—g(x)=tzx2+2(a—l)x-21nx—22。在(0,+oo)恒成立,

即a(*2+2x)N21nx+2x+2在(0,+oo)恒成立.

因为x〉0,即炉+2%>0，

所以a2-5—z-------在(0,+℃)上恒成"，

x2+2x

设/?(x)=2(lnj+x+1),%e(o,+oo),BPa>/?(x).

V7X2+2X的

2(x+l)(x+21nx)

由，'(x)=-

令〃(x)=x+21nx,易知p(x)在(0,+oo)上单调递增,

I-|=-+21n-=l-21n2=--ln4<0,

p⑴=l>0,p

⑶2222

所以p(x)在(//)上存在唯一零点小,即p(%)=%+21nxo=0,不

G

所以当0<x</时，，=%+2111%<0,则>0,/z(x)单调递增;

当工>/时，p(x)=x+21nx>0,则/z"(x)<0,/z(x)单调递减,

21nx0+2%+2_+2%+2_x+2_1

所以“(Hmax=〃(％)=0

222

x0+2x0x0+2x0x0+2x0%

所以aN」-.

又一e(l,2),所以a的最小整数值为2.

X。

点评：思路点睛：

由不等式恒成立(或能成立)求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果,

构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数,

根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.

22

21.已知椭圆E:三+我=1(。>8>0)过点朋(6,3),耳，鸟为E的左、右焦点，且满足

3

忻写|<4,COSAF}MF2=-.

(1)求E的方程；

(2)过6作互相垂直的直线4与4分别与E交于A,3和C,。，求|A@+|Cq的取值范围.

答案：⑴三+汇=1；⑵|Afi|+|C£>|e史普，竺".

64111L53)

(1)设出点耳，工的坐标，求出|摩快明|,利用余弦定理及椭圆中基本量的关系，结合已知条

件，即可求解；

(2)分直线4的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，当直线4的斜率4不存在时，易得两直线方

程即可求解；同理可得直线4的斜率为o时，|AB|+|CO|的值；当直线4的斜率存在且不为o时，

设出直线4和4的方程，分别与椭圆£的方程联立，结合韦达定理及二次函数的性质即可求解.

29

厂上V

解:(1)由题意，椭圆七:7+F=1的焦点为耳(一c,0),工(c,0),

因为也)在椭圆E上，可得忻M=J(g+c『+2，后M=6_c『+2，

在△片M6中，由余弦定理可得:

忻州2+旧一忻用2(V^+c)+2+(\/^-c)+2-4c'

3

cosAF^MF^

2\F,M||F2M\5

整理得2c4一29c2+50=0，解得/=2或二•.

2

由于/闾<4,故。2=2

22qo

又因为椭圆E:*+%=1过点M(6,0)，所以/+层"=1，

又由"=。2+。2,解得加=4,力=6,

所以椭圆E的标准方程为—+^-=1.

64

（2）当直线4的斜率不存在时，直线4的方程为尤=一及，直线4的方程为y=o,

此时恒却=半，|c4=2遥，|AB|十|C。尸母5；

同理可得当直线4的斜率存在且为0时，可得恒阳+|8|=3普

当直线4的斜率存在时，设直线4的方程为＞=%（》+五），kw0,

点A&，X），B（4必）

联立直线4与椭圆E的方程＜

I64

消去y整理得(3k2+2)x2+6y/2k2x+6k2-\2=0,

g、i60M6k2-n

所以玉+X2=一季IW，玉/

3r+2

4何]+用

所以MM=Jl+%2•J(X]+尤2『-4X1X2

3女2+2

直线，2的方程为丁=一：卜+0），

K

同理得|cq=41（；；fl，

所以|阴+卬|二响""4河+f）2叫1+4

11113k2+23+2公（3左2+2）（3+2攵2）

[72_20为2_2°倔2

令―""则|阴+卬卜90西器可=旧=不彳

y11

由于6H----7=-

tt

所以Wl+|8|=

综上可得|AB|十|C0w里.，粤!

点评：直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：

对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二

次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，

导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力.

22.已知点C（T0）,P（-l,2）,曲线C1的参数方程为""（/为参数），曲线G的参数

y=2+/

x=-l+rcos^

方程为.八（。为参数），以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，若

y=rsinc/

G与C2相交于A,B两点且I=2g.

（1）求G的普通方程和C2的极坐标方程；

11

（2）求画+画的值•

答案：(1)X—6y+1+20=0,p2+2pcos^-5=0；(2)6.

X=PCOS0

（1）消去参数，即得曲线G的普通方程，消去参数。得到的普通方程，再利用〈将

y-psinO

变量％y更换至p,e即得c2的极坐标方程;;

元二-1+——t

2（为参数），代入曲线的普通方程，利用参数，的

（2）写G的参数方程可写为，rC2

y=2+一，

2

几何意义计算即可.

\PA\\PB\|/,||r2|

■i-

X=

解：解：（I）曲线G的参数方程为＜~为参数)，消去参数f得x=—l+Ji(y—2),

y=2+t

故曲线G的普通方程为X-+1+2百=0；

__j।rcos

将曲线G的参数方程——.八’(。为参数)化为普通方程得。+1)2+(>-0)2=/，即

y=rsm8

(x+1)2+y2=r2,其圆心为C(T,0),半径为

设圆心C（T,O）到直线x-6y+1+2百=（）的距离为d,

2

因为直线与圆相交于AB两点，对应弦长|A8|=2〃2—f