人教版高中数学选择性必修二同步练习全套（提高训练）

人教版高中数学选择性必修二同步练习全套（提高训练）《4.1数列的概念（第一课时）》同步练习一、选择题1．数列2，0，2，0…的通项公式可以是（）A．B．C．D．2．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项3．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（）．A．648B．722C．800D．8824．已知数列的通项公式为（），且数列从第项起单调递减，则的最小值为（）A．11B．12C．13D．不存在5．（多选题）已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A．B．C．D．6.（多选题）若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（）A．B．C．D．二、填空题7．__________.8．已知，若数列中最小项为第3项，则________．9．若数列{an}为单调递增数列，且，则a3的取值范围为__________.10.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是__________．三、解答题11.在数列中，.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？（2）求数列中的最大项.12.在数列中，已知，且.（1）求通项公式；（2）求证：是递增数列；（3）求证：.《4.1数列的概念（第一课时）》答案解析一、选择题1．数列2，0，2，0…的通项公式可以是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】选项A中，取不到1，其通项公式中不含，A错误；选项B中，当是奇数时，，当是偶数时，，B正确；选项C中，，C错误；选项D中，，D错误．故选：B．2．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项【答案】C【详解】令，解得.故选：C3．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（）．A．648B．722C．800D．882【答案】C【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：．则此数列第40项为．故选：C4．已知数列的通项公式为（），且数列从第项起单调递减，则的最小值为（）A．11B．12C．13D．不存在【答案】A【详解】，，，由数列从第项起单调递减可得，即，，解得或（舍去），，，，，即从第11项起，单调递减，的最小值为11.故选：A．5．（多选题）已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A．B．C．D．【答案】BD【详解】因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A：不符合题设；选项B：，符合题设；选项C：，不符合题设；选项D：，符合题设.故选：BD.6.（多选题）若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（）A．B．C．D．【答案】CD【详解】对，若，则，所以不为递减数列，故错误；对，若，则，所以为递增数列，故错误；对，若，则，所以为递减数列，故正确；对，若，则，由函数在递减，所以数为递减数列，故正确.故选：.二、填空题7．__________.【答案】【详解】数列的各项可以顺次整理为：分母是项数加1，分子都是2，前面的正负号可用调节，得到,8．已知，若数列中最小项为第3项，则________．【答案】【详解】因为开口向上，对称轴为，则由题意知，所以．9．若数列{an}为单调递增数列，且，则a3的取值范围为__________.【答案】(-∞，6)【详解】当n≥2时，，因为数列{an}为单调递增数列，所以对n≥2(n∈N)恒成立，即λ＜2n+1对n≥2(n∈N)恒成立，所以λ＜8，所以，故a3的取值范围为(-∞，6).10.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是__________．【答案】144【详解】由题意及图形知，不妨构造数列表示第行实心圆点的个数的变换规律，其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点．故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和．即，且时，，故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144．三、解答题11.在数列中，.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？（2）求数列中的最大项.【详解】（1）令，解得或（舍去）.所以（2），由于，所以最大项为12.在数列中，已知，且.（1）求通项公式；（2）求证：是递增数列；（3）求证：.【详解】（1）∵，∴解得因此.证明（2）∵，∴，故是递增数列.（3）∵，而，∴.故.《4.1数列的概念（第二课时）》同步练习一、选择题1．在数列中，，，则（）A．B．C．D．32．已知数列，它的前n项和，则的值为（）A．13B．14C．15D．163．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）A．B．C．D．4．数列的，且，则（）A．B．C．100D．5．（多选题）若数列满足，，则数列中的项的值可能为（）A．B．C．D．6.（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．a8＝34B．S8＝54C．S2020＝a2022－1D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022二、填空题7．已知数列的前项和为，且，，则______．8．在数列中，，若，则_________.9．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时的值为_________.10．被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔子数列，，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前2020项和为________.三、解答题11.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,求a12．设数列的前项和为，且方程有一根为（1）求、；（2）求数列的通项公式.《4.1数列的概念（第二课时）》答案解析一、选择题1．在数列中，，，则（）A．B．C．D．3【答案】A【详解】∵，，∴，，，.∴该数列是周期数列，周期.又，∴，故选：A.2．已知数列，它的前n项和，则的值为（）A．13B．14C．15D．16【答案】A【详解】，故选：A3．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】结合图象易知，，，，.4．数列的，且，则（）A．B．C．100D．【答案】D【详解】因为，所以，即，所以，，，，，所以，所以，又，所以.故选：D5．（多选题）若数列满足，，则数列中的项的值可能为（）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.故选：ABC.6.（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．a8＝34B．S8＝54C．S2020＝a2022－1D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022【答案】BCD【详解】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，可得，则即，，故C正确；对于D，由可得，，故D正确.二、填空题7．已知数列的前项和为，且，，则______．【答案】，【详解】因为数列的前项和为，且，，当时，；又不满足上式，所以，.8．在数列中，，若，则_________.【答案】8【详解】当为偶数时，由得，解得符合；当为奇数时，由得，即，令，，在同一直角坐标系中作出函数的图像，如图所示：由图可知两个函数图像只有一个交点，即方程只有一个根，且，所以由得，由可知，所以不满足题意.综上，.9．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时的值为_________.【答案】8【详解】令，解得或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以取得最小值时的值为8.10．被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔子数列，，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前2020项和为________.【答案】1347【详解】由题意可得，所以数列，所以数列是一个周期为3的周期数列，而2020除以3商673余1，所以数列的前2020项和为.三、解答题11.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,求a【详解】由题意,得an+1-an=lnn+1n∴an-an-1=lnnnan-1-an-2=lnn-…a2-a1=ln21∴当n≥2时,an-a1=ln(nn-1·n-1当n=1时,a1=2+ln1=2,符合上式,∴an=2+lnn(n∈N*).12．设数列的前项和为，且方程有一根为（1）求、；（2）求数列的通项公式.【解析】（1）时，有一根，于是，解得.时，有一根，于是，解得.（2）由题设，得，即①当时，，代入①得.②由于（1）知.由②可，由此猜想,《4.2.1等差数列的概念（第一课时）》同步练习一、选择题1．在等差数列中，，则（）A．0B．1C．D．32．已知数列中，，，若为等差数列，则（）A．0B．C．D．23．已知数列是等差数列，且.若，则数列是（）.A．以3为首项，3为公差的等差数列B．以6为首项，3为公差的等差数列C．以3为首项，6为公差的等差数列D．以6为首项，6为公差的等差数列4．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为（）A．11.5B．12.5C．13.5D．14.55．（多选题）给出下列命题,正确命题的是（）A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；B.数列是公差为的等差数列；C.等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)；D.数列是等差数列.6.（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（）A．B．C．D．二、填空题7．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为__________.8．在到之间，末位数字是的自然数的个数有______.9．在数列中，若，，，则该数列的通项为__________.10．已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是__________.三、解答题11．首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：①；②满足的的最小值是15.试求公差和首项的值.12．设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.(1)求证：数列为等差数列；(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．《4.2.1等差数列的概念（第一课时）》答案解析一、选择题1．在等差数列中，，则（）A．0B．1C．D．3【答案】A【详解】设等差数列公差为,由得：，即,故选：2．已知数列中，，，若为等差数列，则（）A．0B．C．D．2【答案】A【详解】因为，，，故所以，故.故选：A.3．已知数列是等差数列，且.若，则数列是（）.A．以3为首项，3为公差的等差数列B．以6为首项，3为公差的等差数列C．以3为首项，6为公差的等差数列D．以6为首项，6为公差的等差数列【答案】D【详解】因为数列是等差数列，，设公差为，所以有，解得，所以，因此，而，所以数列是以6为首项，6为公差的等差数，故本题选D.4．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为（）A．11.5B．12.5C．13.5D．14.5【答案】C【详解】由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为，公差为，则，，两式相减得，解得，所以，解得，故选：C5．（多选题）给出下列命题,正确命题的是（）A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；B.数列是公差为的等差数列；C.等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)；D.数列是等差数列.【答案】BCD【详解】根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为，A错误；对于②，由等差数列的定义可知，数列是公差为的等差数列，所以B正确；对于③，由等差数列的通项公式，得，令，则，所以C正确；对于D，因为，所以数列是等差数列.6.（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；，C正确；，所以，D错误.二、填空题7．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为__________.【答案】【详解】由等差数列可设三数依次为，其中为公差.由题意得，可得，则.8．在到之间，末位数字是的自然数的个数有______.【答案】30【详解】在到之间，末位数字是的自然数有，构成以为首项，为末项，为公差的等差数列，由，可得项数.9．在数列中，若，，，则该数列的通项为__________.【答案】【详解】∵，∴数列是等差数列，又，∴，∴．10．已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是__________.【答案】【详解】在等差数列中，因为从第10项起开始大于1，所以有.三、解答题11．首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：①；②满足的的最小值是15.试求公差和首项的值.【详解】，，由，即，∵满足的的最小值是15，，，又.12．设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.(1)求证：数列为等差数列；(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．【详解】(1)证明：根据题意a1＝及递推关系an≠0.因为an＝.取倒数得＋4，即＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．(2)解：由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，.又，解得n＝11.所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．《4.2.1等差数列的概念（第二课时）》同步练习一、选择题1．在等差数列{an}中，a3+a4+a5＝6，则a1+a7＝（）A．2B．3C．4D．52．在等差数列中，，，则（）A．12B．22C．24D．343．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（）A．尺B．尺C．尺D．尺4．设数列，都是等差数列，且，，，则等于（）A．0B．37C．100D．5．（多选题）（设d为正项等差数列的公差，若，，则（）A．B．C．D．6.（多选题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（）A．甲得钱是戊得钱的倍B．乙得钱比丁得钱多钱C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱二、填空题7．等差数列中，，则公差_____________.8．若2､a､b､c､8成等差数列，则___________.9．等差数列中，若，为方程的两根，则等于__________.10．已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则等于________.三、解答题11．方程的四个根组成首项为的等差数列，求其公差d及的值．12．在正项无穷等差数列中，已知.（1）求通项公式.（2）设，且对一切，恒有，求的值.对一切，是否恒有？请说明理由.《4.2.1等差数列的概念（第二课时）》答案解析一、选择题1．在等差数列{an}中，a3+a4+a5＝6，则a1+a7＝（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【详解】由等差数列的性质，得a3+a4+a5＝3a4＝6，解得a4＝2，∴a1+a7＝2a4＝4，故选：C．2．在等差数列中，，，则（）A．12B．22C．24D．34【答案】B【详解】设数列的公差为则故.故选：B3．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（）A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】B【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，且，故公差，故，故选：B.4．设数列，都是等差数列，且，，，则等于（）A．0B．37C．100D．【答案】C【详解】解：因为数列，都是等差数列，所以数列是等差数列，因为，，，所以数列的公差为0，首项为100，所以，所以，故选：C5．（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；，C正确；，所以，D错误.6.（多选题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（）A．甲得钱是戊得钱的倍B．乙得钱比丁得钱多钱C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱【答案】AC【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，且，即，又，∴，，即，，，，∴甲得钱，乙得钱，丙得钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：甲得钱是戊得钱的倍，故A正确；乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．故选：AC．二、填空题7．等差数列中，，则公差_____________.【答案】2【详解】因为数列是等差数列，所以，所以，所以公差.8．若2､a､b､c､8成等差数列，则___________.【答案】【详解】2､a､b､c､8成等差数列,所以，所以,,所以，故答案为：9．等差数列中，若，为方程的两根，则等于__________.【答案】15【详解】，为方程的两根，，由等差数列的性质得，即，.10．已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则等于________.【答案】【详解】由题意函数的图象关于对称，则函数的图象关于对称，且在上单调，因为，所以因为数列是公差不为0的等差数列，所以三、解答题11．方程的四个根组成首项为的等差数列，求其公差d及的值．【详解】设的两根为的两根为，它们组成的等差数列为.根据等差数列的性质，可设（1），则有和，公差，所以.公差（2），有和，公差，所以公差.综上所述，公差或公差.12．在正项无穷等差数列中，已知.（1）求通项公式.（2）设，且对一切，恒有，求的值.对一切，是否恒有？请说明理由.【详解】（1）∵，又∵，∴或当时，，不恒为正，舍去.∴∴（2），∴.∴，∴.因为，所以恒有.《4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）》同步练习一、选择题1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝28，则a4＝（）A．4B．7C．8D．142．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1B．2C．4D．83．等差数列的前n项和记为若为一确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）.A．B．C．D．4．设等差数列的前n项和为，若，则()A．3B．4C．5D．65．（多选题）已知数列是等差数列，前n项和为且下列结论中正确的是（）A．最小B．C．D．6.（多选题）已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（）A．B．C．当时，D．当时，二、填空题7．等差数列{an}的公差为2，Sn是数列{an}的前n项的和，若S20＝40，则a1+a3+a5+a7…+a19＝_____．8．设等差数列的前项和为，若，则_________.9．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和___.10．设首项为，公差为的递增等差数列的前项和为，其中，为实数，若，则的取值范围是______．三、解答题11．已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求的通项公式：（2）若，求的值.12．已知等差数列的前项和为，且（1）求通项公式；（2）求数列的前项和《4.2.2等差数列的前n项和公式（第二课时）》答案解析一、选择题1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝28，则a4＝（）A．4B．7C．8D．14【答案】A【详解】数列{an}是等差数列，，那么，所以.2．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.3．等差数列的前n项和记为若为一确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）.A．B．C．D．【答案】B【详解】解：由为一确定的常数，从而为确定的常数，故选：B．4．设等差数列的前n项和为，若，则()A．3B．4C．5D．6【答案】C【详解】是等差数列又，∴公差，，故选C．5．（多选题）已知数列是等差数列，前n项和为且下列结论中正确的是（）A．最小B．C．D．【答案】BCD【详解】设等差数列数列的公差为.由有，即所以,则选项D正确.选项A.,无法判断其是否有最小值，故A错误.选项B.,故B正确.选项C.,所以，故C正确.故选：BCD6.（多选题）已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（）A．B．C．当时，D．当时，【答案】ABC【详解】因为是等差数列，前项和为，由得：，即，即，对于选项A：由得，可得，故选项A正确；对于选项B：，故选项B正确；对于选项C：，若，则，故选项C正确；对于选项D：当时，，则，因为，所以，，所以，故选项D不正确，故选：ABC二、填空题7．等差数列{an}的公差为2，Sn是数列{an}的前n项的和，若S20＝40，则a1+a3+a5+a7…+a19＝_____．【答案】10【详解】解：由题意可得，S20＝20＝40，解可得，a1＝﹣17，则a1+a3+a5+a7…+a19＝10a10＝10(﹣17+9×2)＝10．8．设等差数列的前项和为，若，则_____.【答案】16【详解】因为等差数列，由，又，所以，即.又所以则9．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和___.【答案】【详解】因为数列是以2为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以4为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和.10．设首项为，公差为的递增等差数列的前项和为，其中，为实数，若，则的取值范围是______．【答案】【详解】因为，，所以，所以，因为关于的方程有实数根，所以，即，解得或，又数列为递增数列，则，∴的取值范围是．三、解答题11．已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求的通项公式：（2）若，求的值.【详解】（1），，，解得，，（2）由（1）知，，解得，，.12．已知等差数列的前项和为，且（1）求通项公式；（2）求数列的前项和【详解】（1）在等差数列中，因为，所以，解得，所以.（2）令，解得，当时，，当时，，所以当时，，当时，，，所以.《4.2.2等差数列的前n项和公式（第二课时）》同步练习一、选择题1．某城市年有人口万，该年医疗费用投入亿元，此后年该城市每年新增人口万，医疗费用投入每年新增亿元，已知年该城市医疗费用人均投入元，则的值为（）．A．B．C．D．2．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄（都为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为（）A．71B．72C．89D．903．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．4．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：，，，…，，其中．根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若，．则这五层正六边形的周长总和为（）A．100B．110C．120D．1305．（多选题）等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．当或时，取得最大值D．6.（多选题）在数列中，，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（）A．数列为等差数列B．C．D．二、填空题7．设等差数列的前n项和为，公差且，则取得最小值时，n的值为_________．8．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．9．数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，…，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，的有个，则该数列第2020项是____．10．植树节某班41名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在第（）个树坑旁边，则将树苗集中放置在第______个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小.三、解答题11．已知正项数列的前项和为，且.（1）求；（2）求证：数列是等差数列.（3）令，问数列的前多少项的和最小？最小值是多少？12．某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发，据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部分采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止.（1）设11月日当天新感染人数为，求的通项公式（用表示）；（2）若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数.《4.2.2等差数列的前n项和公式（第二课时）》答案解析一、选择题1．某城市年有人口万，该年医疗费用投入亿元，此后年该城市每年新增人口万，医疗费用投入每年新增亿元，已知年该城市医疗费用人均投入元，则的值为（）．A．B．C．D．【答案】A【详解】从年起该城市的人口组成一个首项为，公差为的等差数列，到年，该城市的人口为万，故年的医疗费用投入为(元)，即亿元，由于从年到年医疗费用投入组成一个首项为，公差为的等差数列，∴，解得，故选A．2．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄（都为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为（）A．71B．72C．89D．90【答案】C【详解】设这些老人的年龄形成数列，设最年长者的年龄为，则由题可知数列是公差为-1的等差数列，且，则，解得.故选：C.3．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：由已知可得，由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2，所以，当n=4或5时，取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足，所以满足条件的和，因为，所以实数k的取值范围是．故选：C．4．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：，，，…，，其中．根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若，．则这五层正六边形的周长总和为（）A．100B．110C．120D．130【答案】C【详解】由已知得：，，因此数列是以为首项，公差为的等差数列，设数列前5项和为，因此有，所以这五层正六边形的周长总和为.故选：C.5．（多选题）等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．当或时，取得最大值D．【答案】ABD【详解】∵等差数列的前项和为，，∴，解得，故，故A正确；∵，，故有，故B正确；该数列的前项和，它的最值，还跟的值有关，故C错误；由于，，故，故D正确，故选：ABD.6.（多选题）在数列中，，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（）A．数列为等差数列B．C．D．【答案】BD【详解】依题意得，当n是奇数时，，即数列中的偶数项构成以为首项，1为公差的等差数列，所以，当n是偶数时，，所以，两式相减，得，即数列中的奇数项从开始，每隔一项的两项相等，即数列的奇数项呈周期变化，所以，在中，令，得，因为，所以，对于数列的前31项，奇数项满足，偶数项构成以为首项，1为公差的等差数列，所以，故选：BD二、填空题7．设等差数列的前n项和为，公差且，则取得最小值时，n的值为_________．【答案】3或4【详解】由，可得，因为，所以，所以，所以．因为，所以是递增数列，所以，显然前3项和或前4项和最小．8．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．【答案】【详解】设等差数列的公差为，由，解得，.所以，当时，取得最大值，对任意都有成立，则为数列的最大值，因此，.9．数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，…，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，的有个，则该数列第2020项是___．【答案】【详解】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，因为，则2020项前共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，且第2016项的符号为负，故2020项为第64组第4个数字，由奇偶交替规则，其为.10．植树节某班41名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在第（）个树坑旁边，则将树苗集中放置在第______个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小.【答案】.【详解】设每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和为，则，所以，所以当时，取得最小值.三、解答题11．已知正项数列的前项和为，且.（1）求；（2）求证：数列是等差数列.（3）令，问数列的前多少项的和最小？最小值是多少？【详解】解：（1）由已知得，，，；，，化简得，，又由已知得，，（2）由题意得，，①令，得，②得，，化简得，，进而得到，，又由为正项数列得，，故有，，所以，，故数列是等差数列，由（1）得，，所以，（3）由（2）得，，明显地，为等差数列，设的前项和为，故有，，根据二次函数的性质，的对称轴为，因为为正整数，明显地，取或时，有最小值，故最小值为，，所以，数列的前9或前10项的和最小，最小值为.12．某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发，据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部分采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止.（1）设11月日当天新感染人数为，求的通项公式（用表示）；（2）若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数.【详解】(1)由题意得,当时是以公差为50,首项为20的等差数列,此时,().当时是以公差是,首项为的等差数列,此时故,,.(2)由(1)可知,前日患者共有人.又第日有人,第30日有人.故日至30日共天的时间里共有人故1到30日共有人故即,又故.当天新增患病人数为人.故11月12日,该市感染此病毒的新患者人数最多,这一天的新患者人数为570人《4.3.1等比数列的概念（第一课时）》同步练习一、选择题1．“、、成等比数列”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2．已知是一个等比数列的前项，那么第项为（）.A．B．C．D．3．已知等比数列中，，，则（）A．B．C．D．4．设a>0，b>0.若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．5．（多选题）已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（）A．B．C．D．6.（多选题）已知，，，依次成等比数列，且公比不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（）A．B．C．D．二、填空题7．在等比数列中，，则.8．已知某等比数列的前三项依次为，，，那么是此数列的第项.9．等比数列为递减数列，若，，则.10．在等比数列中，，当时，恒成立，则公比q的取值范围是____．三、解答题11．已知递增等比数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列为等差数列，且满足，，求数列的通项公式及前10项的和；12．在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式（2）若，数列是公比为4的等比数列，求数列的通项公式.《4.3.1等比数列的概念(第一课时)》答案解析一、选择题1．“、、成等比数列”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】D【详解】充分性：若、、成等比数列，则且，则，即充分性不成立；必要性：若，取，则、、不成等比数列，即必要性不成立.因此，“、、成等比数列”是“”的既非充分也非必要条件.故选：D.2．已知是一个等比数列的前项，那么第项为（）.A．B．C．D．【答案】B【详解】因为成等比数列，则，解得：或，当时，不符合，舍去；当时，前项为：，所以公比，则第项为：，故选：B.3．已知等比数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】∵等比数列中，，，∴，解得，∴．故选：A.4．设a>0，b>0.若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．【答案】A【详解】由题意可知3=3a32b=3a+2b，即a+2b=1.因为a>0，b>0，所以(a+2b)=+4≥2+4=8，当且仅当，即a=2b=时取“=”，所以的最小值为8.故选：A5．（多选题）已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（）A．B．C．D．【答案】BD【详解】，数列有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中数列有连续四项在集合，，18，36，中又数列是公比为的等比数列，在集合，，18，36，中，数列的连续四项只能是：，36，，81或81，，36，.或.故选：BD6.（多选题）已知，，，依次成等比数列，且公比不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（）A．B．C．D．【答案】AB【详解】解：因为公比不为1，所以不能删去，，设等差数列的公差为，①若删去，则有，得，即，整理得，因为，所以，因为，所以解得，②若删去，则，得，即，整理得，因为，所以，因为，所以解得，综上或，故选：AB二、填空题7．在等比数列中，，则.【答案】4【详解】为等比数列，设公比为，由，则，所以.8．已知某等比数列的前三项依次为，，，那么是此数列的第项.【答案】4【详解】解：由题意得，，解得或.当时，，不符合题意，舍去，∴.此时，，∴该等比数列的首项为，公比为.设为此数列的第项，则，解得.9．等比数列为递减数列，若，，则.【答案】【详解】∵等比数列为递减数列，，，∴与为方程的两个根，解得，或，，∵，∴，，∴，则.10．在等比数列中，，当时，恒成立，则公比q的取值范围是___．【答案】【详解】解：在等比数列中，，所以，，当时，，数列递增，所以当时，恒成立.故答案为：三、解答题11．已知递增等比数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列为等差数列，且满足，，求数列的通项公式及前10项的和；【详解】（1）设等比数列的公比为，由已知，，所以，即数列的通项公式为；（2）由（1）知，所以，，设等差数列的公差为，则，，设数列前10项的和为，则，所以数列的通项公式，数列前10项的和.12．在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式（2）若，数列是公比为4的等比数列，求数列的通项公式.【详解】（1）∵数列是等差数列，∴，∴，.（2），∴.《4.3.1等比数列的概念（第二课时）》同步练习一、选择题1．已知正项等比数列中，，，，则（）A．B．C．D．2．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（）（，）A．40B．41C．42D．433．若是公比为e的正项等比数列，则是（）A．公比为的等比数列B．公比为3的等比数列C．公差为3e的等差数列D．公差为3的等差数列4．在等比数列{an}中，“a1<a2<a3”是“数列{an}递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（多选题）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若，且，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．6.（多选题）在数列中，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（）A．不可能为B．“等差比数列”中的项不可能为C．等差数列一定是“等差比数列”D．等比数列一定是“等差比数列”二、填空题7．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则__________．8．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则________．9．已知成等比数列，成等差数列，则____．10．已知数列中，，，若，则__________.A．3B．4C．5D．6三、解答题11．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，求正整数的值.12．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里．（1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；（2）判断是否是等比数列，并说明理由；（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？《4.3.1等比数列的概念(第二课时)》答案解析一、选择题1．已知正项等比数列中，，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【详解】在正项等比数列中，由所以，又，所以，所以，故选：D2．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（）（，）A．40B．41C．42D．43【答案】C【详解】设对折次时，纸的厚度为，每次对折厚度变为原来的倍，由题意知是以为首项，公比为的等比数列，所以，令，即，所以，即，解得：，所以至少对折的次数是，故选：C3．若是公比为e的正项等比数列，则是（）A．公比为的等比数列B．公比为3的等比数列C．公差为3e的等差数列D．公差为3的等差数列【答案】D【详解】解：因为是公比为的正项等比数列，所以，且因为，为常数，所以是公差为3的等差数列，故选：．4．在等比数列{an}中，“a1<a2<a3”是“数列{an}递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】当a1<a2<a3时，设公比为q，由a1<a1q<a1q2得若a1>0，则1<q<q2，即q>1，此时，显然数列{an}是递增数列，若a1<0，则1>q>q2，即0<q<1，此时，数列{an}也是递增数列，反之，当数列{an}是递增数列时，显然a1<a2<a3.故“a1<a2<a3”是“等比数列{an}递增”的充要条件．故选：C5．（多选题）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若，且，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】AD【详解】对选项A，因为，所以，故A正确；对选项B，因为，所以或，即或，故B错误；对选项C，D，因为异号，，且，所以中至少有一个负数，又因为，所以，，故C错误，D正确.故选：AD6.（多选题）在数列中，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（）A．不可能为B．“等差比数列”中的项不可能为C．等差数列一定是“等差比数列”D．等比数列一定是“等差比数列”【答案】BCD【详解】解：当时，根据“等差比数列”的定义，有，即有，这与分母不为0矛盾，，故选项正确；当时，为常数，数列为“等差比数列”，且，故选项错误；又当数列为非零常数列时，数列既是等差数列又是等比数列，但，此时数列不是“等差比数列”，故选项、错误，故选：．二、填空题7．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则__________．【答案】24【详解】依题意可知，，，，…成等比数列，且公比为，则．8．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则________．【答案】32【详解】由题意可知，若数列为“梦想数列”，则，可得，所以，“梦想数列”是公比为的等比数列，若正项数列为“梦想数列”，则，所以，，即正项数列是公比为的等比数列，因为，因此，.9．已知成等比数列，成等差数列，则____．【答案】或【详解】因为成等比数列，所以，解得或，当时，，，当时，，，或，成等差数列，，或.10．已知数列中，，，若，则__________.A．3B．4C．5D．6【答案】B【详解】因为数列中，，，所以取，则，所以数列是以2为首项，2为公差的等比数列，所以，又，即，即，解得．三、解答题11．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，求正整数的值.【详解】（1），解得（2），，，成等比数列，即解得（舍）12．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里．（1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；（2）判断是否是等比数列，并说明理由；（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？【详解】（1）由题意得，所以；（2）由（1）得，∴，所以是等比数列.（3）由（2）有，又，所以，∴，即；，即，两边取常用对数得：，所以，∴．∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．《4.3.2等比数列的前n项和公式（第一课时）》同步练习一、选择题1．在数列中，，，记的前项和为，则（）A．B．C．D．2．衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫），一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：确诊病例增长率系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．30B．62C．64D．1263．已知数列、满足，，，则数列的前项和为（）．A．B．C．D．4．已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和（）A．B．C．D．5．（多选题）已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A．为单调递增数列B．C．，，成等比数列D．6.（多选题）在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是（）A．B．数列是等比数列C．D．数列是公差为2的等差数列二、填空题7．已知数列为递增等比数列，是关于的方程的两个实数根，则其前项和________.8．已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比_______.9．以为首项､以为公比的等比数列满足，，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是______.10．对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，数列的前项和为，则的最大值为________．三、解答题11．已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，，再从①；②；③这三个条件中选择______，_____两个作为已知.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.12．已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．《4.3.2等比数列的前n项和公式(第一课时)》答案解析一、选择题1．在数列中，，，记的前项和为，则（）A．B．C．D．【答案】D【详解】∵，∴，又，∴数列是以1为首项，为比的等比数列，∴，∴.故选：D.2．衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫），一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：确诊病例增长率系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．30B．62C．64D．126【答案】D【详解】由题意得：，所以经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为：，故选：D3．已知数列、满足，，，则数列的前项和为（）．A．B．C．D．【答案】C【详解】解：因为，∴数列是等差数列，且公差是，是等比数列，且公比是，又∵，∴，，∴，设，∴，数列是等比数列，且公比为，首项为，由等比数列的前项和的公式得：其前项的和为.故选：C.4．已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和（）A．B．C．D．【答案】D【详解】已知函数，定义域为.若选①，则，，不是常数，则不是等比数列；若选②，则，，不是常数，则不是等比数列；若选③，则，，是常数，则是以为首项，以3为公比的等比数列，则.故选：D.5．（多选题）已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A．为单调递增数列B．C．，，成等比数列D．【答案】BD【详解】由，可得，则，当首项时，可得为单调递减数列，故错误；由，故正确；假设，，成等比数列，可得，即不成立，显然，，不成等比数列，故错误；由公比为的等比数列，可得，故正确；故选：．6.（多选题）在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是（）A．B．数列是等比数列C．D．数列是公差为2的等差数列【答案】ABC【详解】为递增的等比数列，由得解得或∵为递增数列，∴∴，，故选项正确；∴，，∴，，∴数列是等比数列，故选项正确；所以,则，故选项正确.又，∴数列是公差为的等差数列，故选项错误.故选：ABC.二、填空题7．已知数列为递增等比数列，是关于的方程的两个实数根，则其前项和________.【答案】31【详解】由，解得或，∵数列为递增等比数列，是关于的方程的两个实数根，∴，∴公比．∴其前5项和．8．已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比_______.【答案】【详解】由已知，则，解得．9．以为首项､以为公比的等比数列满足，，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】由题意得，可得，所以，所以，即.10．对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，数列的前项和为，则的最大值为________．【答案】【详解】由题意得，则，，，．．．．．．，，将以上各式相加，得，∴，也适合，，．则的最大值为．三、解答题11．已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，，再从①；②；③这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【详解】解：选择条件①和条件②（1）设等差数列的公差为，∴解得：，.∴，.（2）设等比数列的公比为，，∴解得，.设数列的前项和为，∴.选择条件①和条件③：（1）设等差数列的公差为，∴解得：，.∴.（2），设等比数列的公比为，.∴，解得，.设数列的前项和为，∴.选择条件②和条件③：（1）设等比数列的公比为，，∴，解得，，.设等差数列的公差为，∴，又，故.∴.（2）设数列的前项和为，由（1）可知.12．已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．【详解】解：设的公比为，．（1）由整理得，解得或（舍去）．∴，∴，．（2），∴．∴，，∴．∴．《4.3.2等比数列的前n项和公式（第二课时）》同步练习一、选择题1．我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音c的2倍.已知标准音的频率为440Hz，那么频率为的音名是（）A．dB．fC．eD．#d2．已知数列满足，，，是等比数列，则数列的前8项和（）A．376B．382C．749D．7663．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过（）次检测.A．3B．4C．5D．64．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5．（多选题）一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下.设它第n次着地时，经过的总路程记为，则当时，下面说法正确的是（）A．B．C．的最小值为D．的最大值为4006.（多选题）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（）A．数列为等比数列B．数列为等比数列C．数列中D．数列的前项和为二、填空题7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的倍.小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为尺，则两鼠穿透此墙至少在第________天.8．数列中，，若，则___．9．如图，在平面上作边长为的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和__________.10．已知数列的前项和为，首项且，若对恒成立，则实数的取值范围是__________．三、解答题11．某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为.（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？（2）假设货主每月还商店元，写出在第个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.（3）每月的还款额为多少元（精确到0.01元）？12．某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过年之后，该项目的资金为万元．（1）设，证明数列为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；（2）若，求数列的前项和．《4.3.2等比数列的前n项和公式（第二课时)》答案解析一、选择题1．我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音c的2倍.已知标准音的频率为440Hz，那么频率为的音名是（）A．dB．fC．eD．#d【答案】D【详解】由题意可得从左到右的音频恰成一个公比为的等比数列，设频率为的音名为等比数列的首项，标准音为第项，则，解得，从标准音开始，往左数7个的音名是#d.故答案为：D.2．已知数列满足，，，是等比数列，则数列的前8项和（）A．376B．382C．749D．766【答案】C【详解】由已知得，，，而是等比数列，故，，，化简得，3．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选