高中数学《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试卷与答案（共四套）

高中数学选择性必修二《第五章一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（一）一、单选题1．函数的导数是（）A．B．C．D．2．过原点作曲线的切线，则切线的斜率为（）A．eB．C．1D．3．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．4．函数的图像在点处的切线方程是（）A．B．C．D．5．若曲线在处的切线与直线平行，则a=（）A．B．1C．或1D．或16．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（）A．0B．1C．2D．37．已知函数，则其单调增区间是（）A．B．C．D．8．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（）A．B．C．D．9．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（）A．B．6C．12D．10．函数在处取得极值，则（）A．，且为极大值点B．，且为极小值点C．，且为极大值点D．，且为极小值点11．如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（）A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数B．在x＝1时，f（x）取得极大值C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x＝2时，f（x）取得极小值12．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务.已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A．B．C．D．二、填空题13．函数的单调递减区间是______．14．已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则函数的极值点有______个.15．设函数的导函数是，若，则____．16．已知曲线(为自然对数的底数)在处的切线斜率等于，则实数___________.三、解答题17．已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.18．（1）求导：（2）求函数在处的导数.19．已知函数.（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.（2）若的单调递减区间为，求a的值.20．已知函数，且.（1）求的值；（2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值.21．已知.（1）当时，讨论的单调区间；（2）若在定义域R内单调递增，求a的取值范围.22．已知函数（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：参考答案1．B【分析】根据导数的计算公式计算即可.【详解】解：，.故选：B.2．B【分析】先设出切点坐标为，则由导数的几何意义可得切线的斜率为，从而可得切线方程为，再将原点坐标代入可得切点的纵坐标，再将代入曲线方程中可求出的值，进而可得切线的斜率【详解】解：设切点坐标为，由，得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，因为切线过原点，所以，得，因为切点在曲线上，所以，解得，所以切线的斜率为，故选：B3．C【分析】根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为，故所求切线的倾斜角为.故选：C4．A【分析】求导，再分别求得，，由点斜式写出切线方程.【详解】由题意可得，则．因为，所以，则所求切线方程是，即．故选：A5．A【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．【详解】解：，于是切线的斜率，切线与直线平行，，时，，切点是，切线的斜率，故切线方程是：，即和直线重合，故，故选：A．6．B【分析】通过读图由取值符号得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．【详解】由图象，设与轴的两个交点横坐标分别为、其中，知在，上，所以此时函数在，上单调递增，在上，，此时在上单调递减，所以时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．则函数的极小值点的个数为1．故选:B【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题．7．A【分析】求导，求函数的单调递增区间，即求不等式，解不等式即可的答案.【详解】由，函数定义域为，求导，令，得或（舍去）所以单调增区间是故选：A.8．C【分析】根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】由图可知，函数在上单调递减，所以在上恒成立，排除选项B和D；函数在上先递减后递增再递减，所以在上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确；故选：C．【点睛】本题主要考查导数与原函数图像之间关系的判定，属于基础题型.9．A【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得的值.【详解】由，得，则曲线在点处的切线斜率为，得.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.10．B【分析】先求导，再根据题意得，由此求得，再根据导数研究函数的极值．【详解】解：∵，∴，又在处取得极值，∴，得，∴，由得，，即，∴，即，同理，由得，，∴在处附近的左侧为负，右侧为正，∴函数在处取得极小值，故选：B．【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题．11．C【分析】根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在（﹣3，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，A错误；对于B，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；对于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C正确；对于D，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则在x＝2时f（x）取得极大值，D错误；故选：C．【点睛】本题考查函数单调性和极值的图形特征，是基础题.12．B【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果.【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹的.故选B.【点睛】本题考查变化率的知识，实质上是考查曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.13．【分析】求出导函数，在上解不等式可得的单调减区间．【详解】，其中，令，则，故函数的单调减区间为，故答案为：．【点睛】一般地，若在区间上可导，我们用求，则在上的减区间，反之，若在区间上可导且为减函数，则，注意求单调区间前先确定函数的定义域．14．2【分析】根据导函数的图像求出函数的单调区间，由极值点的定义即可求解.【详解】由导函数的图像可知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，所以为极大值点，为极小值点，所以函数的极值点有2个.故答案为：215．0【分析】直接对原函数求导即得解.【详解】∵，∴，∴，∴．故答案为：0【点睛】本题主要考查函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．1【分析】由导数的几何意义知，即可求参数即可.【详解】由函数解析式，知：，依题意：，∴，则，故答案为：1.【点睛】本题考查了根据导数的几何意义求参数，属于简单题.17．（1）；（2）最大值为，最小值为【分析】（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1），令，得，所以的减区间为.（2）由（1），令，得或知：，为增函数，，为减函数，，为增函数.，，，.所以在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.18．（1）；（2）1；【分析】（1）直接根据导数的运算法则，即可得答案；（2）求导后可得，再将代入即可得答案；【详解】（1）；（2）；【点睛】本题考查导数的四则运算，属于基础题.19．（1）；（2）3.【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是（2）由题意知.因为，所以.由，得，所以的单调递减区间为，又已知的单调递减区间为，所以，所以，即.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.20．（1）；（2）【分析】（1）先对函数求导，然后由，列出关于的方程组，解方程组可求出的值；（2）由函数在上的最大值为20，求出的值，然后由函数的单调性求函数在上的最小值.【详解】解：（1）因为，所以，因为,所以,解得所以.（2）由（1）可知，则，令，得,和的变化情况如下表：20极小值因为，所以函数在上的最大值为,所以，解得,所以,由上面可知在上单调递增，在上单调递减；又因为，所以函数在上的最小值为.【点睛】此题考查利用导数求函数的极值和最值，属于基础题.21．（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【分析】（1）计算，根据与，可得结果.（2）利用等价转化的思想，在上恒成立，然后根据的单调性，简单计算，可得结果.【详解】（1）当时，则，令，得令，得所以的单调递增区间为单调递减区间为（2）由题可知：在定义域R内单调递增等价于由在上单调递增，又则【点睛】本题考查导数的简单应用，掌握导数与原函数之间的关系，属基础题.22．(1).(2)证明见解析.【解析】分析：（1）求切线方程先求导，然后代入切点横坐标的出切线斜率即可求得切线方程；（2）分析函数单调性求出函数最值即可.（Ⅰ）所以则切线方程为（Ⅱ）令则设的两根为，由于不妨设则在是递减的，在是递增的，而所以在单调递增，所以，因为所以.点睛：考查导数的几何意义和单调性最值的应用，属于常规题.高中数学选择性必修二《第五章一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（二）一、单选题1．已知函数在处的导数为1，则（）A．0B．C．1D．22．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．3．函数的导函数为（）A．B．C．D．4．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且函数在处取得极值，则（）A．B．C．D．6．如果一个物体的运动方程为，其中的单位是千米，的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（）A．12千米/小时B．24千米/小时C．48千米/小时D．64千米/小时7．已知函数，则）的极大值点为（）A．B．C．D．8．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．9．与是定义在上的两个可导函数，若,满足,则与满足（）A．B．为常数函数C．D．为常数函数10．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A．B．C．D．11．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（）A．B．C．D．12．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．函数在处的切线的斜率为_________.14．函数的极小值点为___________．15．已知函数，则在上的最小值是_______________.16．在平面直角坐标系中，曲线在点处的切线方程为（e是自然对数的底数），则实数a的值是_____________.三、解答题17．已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最小值.18．函数，曲线在点处的切线在轴上的截距是.（1）求；（2）讨论的单调性.19．已知函数.（1）当时，求函数的在(3，)处的切线方程；（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.20．已知函数在时有极值0．（1）求常数，的值；（2）求在区间上的最值．21．已知函数.（1）求在处的切线的方程；（2）求函数的单调区间.22．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.参考答案1．B【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解.【详解】解：因为函数在处的导数为1，则.故选：B.【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．2．A【分析】首先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义求切线方程.【详解】，，根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：A【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.3．D【分析】利用导数的运算法则即可得出.【详解】，故选：.【点睛】本题考查了导数的运算法则，属于基础题.4．C【分析】根据函数的图象，依次判断在区间，，，上的单调性即可．【详解】由函数的图象可知：当时，，，此时单调递增；当时，，，此时单调递减；当时，，，此时单调递减；当时，，，此时单调递增．故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．C【分析】计算，然后根据，可得，最后可得结果.【详解】由题可知：，则解得，.经检验，当，时，在处取得极大值，所以.故选：C【点睛】本题主要考查曲线在某点处的导数的几何意义，重在于计算以及理解，属基础题.6．C【分析】对v求导，代入t值即可.【详解】由，则当，故选：C.【点睛】本题考查了瞬时变化率、导数的概念的问题，属于基础题.7．C【分析】求出函数的导函数，进而求出导函数大于0以及小于0的解，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点.【详解】解：由，得：.由，得：，或.由，得：.所以函数的增区间为.函数的减区间为.所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点.故选：C.【点睛】本题考查求具体函数的极值点，解题的关键是区分极值点和极值的定义，属于基础题.8．D【分析】求导，，由即可得解.【详解】函数的定义域是，，令，解得，故函数在上单调递减，选：D.【点睛】本题考查了利用导数求函数单调性，考查了导数的基本能应用，属于基础题.9．B【详解】，则为常数．故选：B.10．D【分析】求得函数的导数，然后令，求得的值.【详解】依题意，令得，，故选D.【点睛】本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.11．B【分析】利用导数的几何意义即可求解.【详解】由图可知：，即.故选：B【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了数形结合的思想，属于基础题.12．A【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.【详解】由导函数f′(x)的图象知在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；所以f(x)的极小值点的个数为1，故选：A【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.13．1【分析】直接利用导数的几何意义求解即可【详解】解：由，得，则，所以在处的切线的斜率为1故答案为：1【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，属于基础题14．2【分析】对求导，令后，分析取得正负时x的范围，从而得出在相应区间的单调性，得出极值点.【详解】因为，所以，令，得，所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以在时取得极小值，故填：2.【点睛】本题考查函数的导函数与函数的单调性和极值的关系，属于基础题.15．【分析】利用导函数可知在上，有单调递减，即可求区间内最小值.【详解】在上，有，知：单调递减，∴，故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性求区间最值，属于基础题.16．3【分析】求导，代入，可求得答案.【详解】由，得，故.故答案为：3.【点睛】本题考查导函数的几何意义，根据曲线的切线方程求参数的值，属于基础题.17．（1）；（2）.【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；（2）由（1）可知：，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，，，故函数的最小值为.【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.18．（1）7；（2）在单调递增.【分析】(1)求得的导数，可得切线的斜率和切点，以及切线方程，代入，解方程可得a;(2）求得g(x）的解析式和导数，分解因式可得导数的符号，进而判断单调性;【详解】（1）函数的导数为曲线在点处的切线斜率为切点为，所以切线方程为，代入可得，解得（2），当时，，在上单调递增.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数的运用求切线方程和单调性，关键在于正确求出函数的导数，考查方程思想和化简运算能力，属于综合题．19．（1）y=9；（2）或.【分析】（1）求出以及，即可求出切线方程；（2）对任意恒成立，等价于对任意恒成立，令，求出的最大值，即可求出的范围.【详解】解：（1）时，，，，所以函数在处的切线方程为：（2）因为，由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立，设，所以，所以当时，有最大值为，所以，解得或，所以，实数的取值范围为或.【点睛】本题考查已知恒成立求参数问题，属于基础题.方法点睛：（1）参变分离（2）的恒成立问题转化为（3）求出在已知范围下函数的值域（4）求解参数20．（1），；（2）最小值为0，最大值为4．【分析】（1）已知函数在处有极值0，即，，通过求导函数，再代入列方程组，即可解得、的值；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．【详解】（1），由题知：，联立（1）、（2）有或．当时在定义域上单调递增，故舍去；所以，，经检验，符合题意．（2）当，时，，故方程有根或，由得，由得，函数的单调增区间为：，，减区间为：．函数在取得极大值，在取得极小值；经计算，，，，所以函数的最小值为0，最大值为4．【点睛】关键点睛：解题的关键是求出后，求出，然后，利用导数求出函数的单调性、最值问题，属于基础题．21．（1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是.【分析】（1）先利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式求直线方程即可；（2）利用导数正负确定函数的单调区间即可.【详解】解：（1）函数，则，故在处的切线的斜率，故切线的方程是，即；（2）令，得或，令，得，故函数的单调增区间是，单调减区间是.22．（1）或；（2）最小值，最大值.【分析】（1）直接解不等式可得不等式的解集；（2）对函数求导，令，求出方程根，得出单调性可得函数的最值．【详解】（1）因为，由，得.所以或.所以不等式的解集为或；（2）由得：.令，得，或（舍）.与在区间[0，2]上的情况如下：x0（0，1）1（1，2）2－0+0减增所以当时，取得最小值；当时，取得最大值.高中数学选择性必修二《第五章一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（三）一、单选题1．函数的导数为（）A．B．C．D．2．函数的单调递增区间是（）A．B．C．(1,4)D．(0,3)3．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）A．B．C．D．5．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．6．如图是函数的导函数的图象,则下列说法正确的是（）A．是函数的极小值点B．当或时，函数的值为0C．函数在上是增函数D．函数在上是增函数7．已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．8．已知函数，，则下列判断正确的是（）A．是增函数B．的极大值点是C．是减函数D．的极小值点是9．函数的导函数为，若已知图象如图，则下列说法正确的是（）A．存在极大值点B．在单调递增C．一定有最小值D．不等式一定有解10．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为贝克时衰变所需时间为（）A．20天B．30天C．45天D．60天11．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知函数是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13．曲线在点处的切线的方程为__________.14．定义在R上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为______.15．已知为正实数，若函数的极小值为0，则的值为_____16．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是______.三、解答题17．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.18．已知函数.（1）试判断在上的单调性；（2）求函数在上的最值.19．已知函数经过点，.（1）求函数的解析式；（2）设函数，若的图象与直线相切，求值.20．设函数，其中，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求，，的值；（2）求函数的极值.21．已知，函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上单调递减，求a的取值范围.22．已知函数，．（1）若为负实数,求函数的极值；（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．参考答案1．C【分析】直接利用导数的运算公式和法则求解.【详解】因为函数，所以，故选：C【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，属于基础题.2．B【分析】求出函数的导数，在解出不等式可得出所求函数的单调递增区间.【详解】，，解不等式，解得，因此，函数的单调递增区间是，故选B.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题.3．A【分析】直接利用函数极小值点的定义求解.【详解】由导函数在内的图象知：函数在开区间内有极小值点1个，故选：A【点睛】本题主要考查函数极小值点的定义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.4．C【分析】根据的图象，由的符号，确定原函数的单调性，确定的图象.【详解】从的图象可以看出当，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数，符合的图象是C.故选：C.【点睛】本题考查了导函数图象与原函数图象间的关系，属于容易题.5．C【分析】利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.【详解】因为，，，又由是偶函数，，令，则，根据是偶函数，，得到时，，所以，时，，，利用直线的点斜式方程，曲线在处的切线方程为，即.故选C6．D【分析】由导函数的图象得到原函数的增减区间及极值点，然后逐一分析四个命题即可得到答案．【详解】解：由函数的导函数图象可知，当时，，原函数为减函数；当时，，原函数为增函数.故D正确，C错误；故不是函数的极值点，故A错误；当或时,导函数的值为0，函数的值未知，故B错误；故选：D.7．B【分析】求导可得，则在上有变号零点，令，利用二次函数的性质可求得的取值范围．【详解】，设，函数在区间上有极值，在上有变号零点，即在上有解，令，由可得，即，得到，解得：．故选：．8．D【分析】求出求出函数的单调区间，从而可得出答案.【详解】由由解得，又，所以由，得或所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.所以函数在上不是单调函数，故A,C不正确.所以函数在处有极小值，在处有极大值.故选项B不正确，选项D正确.故选：D9．C【分析】根据图象可得的符号，从而可得的单调区间，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案.【详解】由所给的图象，可得当时，，当时，，当时，，当时，，可得在递减，递增；在递减，在递增，B错误，且知，所以存在极小值和，无极大值，A错误，同时无论是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定为负数，故C正确，D错误.故选：C.10．D【分析】根据题中条件，先求出，再令，代入解析式求解，即可得出结果.【详解】由得，因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，即，解得，则，当该放射性同位素含量为贝克时，即，所以，即，所以，解得.故选：D.11．D【分析】构造函数，根据导数可判断函数单调递减，由，结合函数定义域可解得.【详解】令，，则，因为，所以，所以函数在上单调递减．因为，，所以，即，所以且，解得，所以实数的取值范围为．故选D．【点睛】易错点点睛，本题的容易忽略定义域，切记解函数抽象不等式要优先考虑定义域.12．B【分析】构造函数，根据题意，可得函数的奇偶性，根据时，对函数求导，可得函数的单调性，将，左右同乘，可得，即，利用的性质，即可求得答案.【详解】∵，∴，令，则，即为偶函数，当时，∴，即函数在上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，∵，∴，∴，即，解得，，故选：B.【点睛】解题的关键是将题干条件转化为，根据左右相同的形式，构造函数，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于，不符合函数的形式，需左右同乘，方可利用函数的性质求解，属中档题.13．【分析】求出导函数，得切线斜率后可得切线方程．【详解】，∴切线斜率为，切线方程为．故答案为：．14．【分析】构造函数，对其求导，根据题中条件，由导数的方法判定函数单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，，因为对任意，都有，所以恒成立，所以函数在R上单调递增，由，解得，所以的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，构造函数，结合题中条件，由导数的方法判定函数单调性，即可求解出结果.15．．【分析】求导数，确定极小值，由极小值为0求得．【详解】由题意，∵，∴或时，，时，，∴在和上递增，在上递减，的极小值是，解得（舍去）．故答案为：16．【分析】“若，使得”转换为集合交集非空，分别根据导数求，的值域，进一步求出答案.【详解】因为所以当，，所以单调递减，因为，所以，当，，所以单调递增，因为，使得，所以所以.故答案为：.【点睛】本题考查的是导数综合的问题，涉及到函数单调性以及恒成立的问题，属中档题.本题主要是转换的思想，“若，使得”可以转换为集合交集非空.17．（1）；（2）函数的单调增区间为，；减区间为；极大值，极小值.【分析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）求出函数的极值点，列表分析函数的单调性以及导数符号的变化，即可得出函数的单调区间和极值.【详解】解：（1）因为，所以当时，，，所以曲线在点处的切线过点，斜率为所以切线方程为，即.（2）函数的定义域为令得，增极大值减极小值增所以函数的单调增区间为，；减区间为当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查计算能力，属于基础题.18．（1）在上为减函数；（2），.【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可.（2）根据函数的单调性即可得到函数的最值.【详解】（1），，，，在上为减函数.（2）由（1）知在上为减函数，，.19．（1）；（2）.【分析】（1）代入已知点的坐标可得的解析式；（2）设切点为为，然后利用导数的几何意义求解．【详解】（1）由题意，，∴；（2）由（1），设切点为，，∴，又，两者结合可解得，．【点睛】方法点睛：本题导数的几何意义．求函数的切线方程的方法：（1）若求函数的图象在处的切线，则只要求得，由是切线斜率可得切线方程；（2）若求过的切线方程，则一般设切点为，由（1）求出在点的切线方程，由切线过点求出切点坐标，得切线方程．已知切线方程也是同样求解．20．（1），，；（2）极小值为0，极大值为.【分析】（1）由导数的几何意义可得，再由点在切线上即可得解；（2）利用导数确定函数的单调性，结合极值的概念即可得解.【详解】（1）因为，切线的斜率为，所以，又，所以，所以，由点在直线上，可得，即，所以；（2）由（1）得，则，当时，；当时，；所以的单调增区间为，减区间为，所以函数的极小值为，极大值为.21．（1）在和上递增，在上递减；（2）【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可【详解】解：（1）当时，，则，令，得或，令，得，所以在和上递增，在上递减；（2），令，若函数在上单调递减，则在上恒成立，则，解得，所以a的取值范围为，【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查由函数的单调性求参数范围，考查二次函数的性质，属于基础题22．（1）当时，没有极值；当时，，；当时，，．（2）．【分析】（1）首先求出的解析式，再求出导函数，再对参数分类讨论，求出函数的单调区间与极值；（2）设（）求出函数的导函数，依题意在时恒成立即可，从而求出参数的取值范围；【详解】解：（1），的定义域为，①，即时，在和上递增，在上递减，，；②，即时，在上递增，没有极值；③，即时，在和上递增，在上递减，∴，．综上可知：当时，没有极值；当时，，；当时，，．（2）设（），，设，则，，，∴在上递增，∴的值域为，①当时，，为上的增函数，∴，适合条件；②当时，∵，∴不适合条件；③当时，对于，，令，，存在，使得时，．∴在上单调递减，∴，即在时，，∴不适合条件．综上，的取值范围为．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．高中数学选择性必修二《第五章一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（四）一、单选题1．曲线在点处切线的斜率为（）A．1B．2C．3D．42．设是可导函数，且，则（）A．2B．C．1D．3．是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（）A．B．C．D．4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．5．函数在时有极值0，那么的值为（）A．14B．40C．48D．14或406．函数的导函数为，若已知的图象如图，则下列说法正确的是（）A．一定为偶函数B．在单调递增C．一定有最小值D．不等式一定有解7．若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于（）A．0B．1C．2D．8．已知函数与的图象如图所示，则函数的递减区间为（）A．B．C．D．9．函数是上的单调函数，则的范围是（）A．B．C．D．10．函数，若，，，则（）A．B．C．D．11．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知锐角，满足，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．二、填空题13．已知，为实数，函数在点处的切线方程为，则的值为______．14．函数的最大值为________.15．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为_____16．已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，，则不等式的解集为______三、解答题17．（1）求函数的极小值；（2）求函数的单调减区间.18．已知函数及点，过点作直线与曲线相切（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过点的切线的斜率.19．设函数过点（1）求函数的单调区间和极值；（2）求函数在上的最大值和最小值.20．已知二次函数.（1）求在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性21．已知函数，a为实数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若在区间上是减函数，求a的取值范围.22．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数（其中是的导函数）有两个极值点、，且，求的取值范围.参考答案1．C【分析】求得函数的导数，由导数的几何意义，可令，计算可得所求切线的斜率.【详解】解：的导数为，可得曲线在点处切线的斜率为.故选：C.【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，熟练掌握导数的运算性质是解题的关键，是一道基本题.2．D【分析】由导数的定义可得，即可得答案．【详解】根据题意，，故.故选：D．【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题．3．C【分析】设函数，得到，得到在区间上为单调递减函数或常数函数，结合，即可求解.【详解】由题意，设函数，则，所以函数在区间上为单调递减函数或常数函数，因为，所以，即.故选：C.4．B【分析】根据图象得出的单调性即可.【详解】由图可知在，上递减，在，上递增，故故选：B5．B【分析】由导数与函数的关系得出的值，再检验，或，是否成立.【详解】函数，若在时有极值0，可得则，解得：，或，当，时，，满足题意函数在时有极值0．当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．．故选：B6．C【分析】A.由函数判断；B.由的图象判断；C.由结合函数的单调性判断；D.最小值是和正负不一定判断.【详解】A.如函数为，则符合题意，但不是偶函数，故错误；B.由的图象，得在递减，递增；在递减，在递增，故错误；C.由，所以存在极小值和，无论是否存在，均可得出一定有最小值，故正确；D.最小值不一定为负数，故错误；.故选：C.7．C【分析】利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案.【详解】，易知，当时，，当或时，，所以函数y＝x3＋x2＋m在，上单调递增，在上单调递减，又当时，，当时，，所以最大值为，解得.故选：C8．D【分析】求出导函数，结合函数图象求出成立的x的范围即可.【详解】解：，由图象：和时，，即，故在上递减，故选：D.9．D【分析】函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可．【详解】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立，解得故选：D【点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题．10．B【分析】求导，可得在的单调性，利用单调性，即可得答案.【详解】因为，所以，当时，，则在为减函数，因为，所以，即，故选：B11．A【分析】先求导数，利用单调性转化为，构造新函数求解的最小值即可.【详解】，由题意可知在恒成立，即恒成立，设，时，，为减函数；时，，为增函数；的最小值为，所以，故选：A.【点睛】利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）在区间上单调递增等价于在区间上恒成立；（2）在区间上单调递减等价于在区间上恒成立.12．D【分析】结合已知条件，构造函数，得：，根据选项，逐一验证即可.【详解】，即，设，则，所以在上是减函数，所以，由在上是增函数，得，即，同理可得，所以故选：D【点睛】解题关键在于利用，变为，进而构造，再利用导数进行判断选项，难度属于中档题13．【分析】先求导，由直线的点斜式求得切线方程，再对照系数建立关于的方程组，解之可求得答案.【详解】因为，所以在处的切线为．，解得，．故答案为：.14．【分析】先求导，根据单调性求函数最大值即可.【详解】解：，∴当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，∵，∴的最大值为.故答案为：.【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论，基础题.15．【分析】令，则，可以判断出在上单调递增，再由，，根据单调性即可比较大