《4.2.2 等差数列的前n项和》复习考点讲解与专题训练

《4.2.2等差数列的前n项和》复习考点讲解【思维导图】【常见考点】考点一等差数列的基本量【例1】记为等差数列的前项和，，，则（）A．-77B．-70C．-49D．-42【一隅三反】1．若等差数列的前项和为，且满足，，则公差（）A．1B．C．2D．2．正项等差数列的前和为，已知，则=（）A．35B．36C．45D．543．已知等差数列的前n项和满足，则（）A．12B．13C．14D．15考点二前n项和Sn与等差中项【例2】(1）等差数列中，，则数列前11项和（）A．12B．60C．66D．72（2）．设是等差数列的前n项和，若则（）A．B．C．D．【一隅三反】1．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（）A．B．C．D．2．若两个等差数列的前n项和分别为，，且满足，则（）A．2B．C．D．3．两等差数列和，前n项和分别为，，且，则的值为（）A．B．C．D．4．在等差数列中，，则此数列前项的和是（）．A．B．C．D．考点三前n项和Sn的性质【例3】（1）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A．6B．5C．4D．3（2）．设等差数列的前项和为若,，则()A．45B．54C．72D．81（3）设为等差数列的前项和，且，，则（）A．B．C．D．【一隅三反】1．一个等差数列共有项，若前项的和为100，后项的和为200，则中间项的和为（）A．75B．100C．50D．1252．是等差数列}的前n项和，若，则为（）A．B．C．D．3．在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A．0B．2018C．D．2020考点四前n项和Sn的最值【例4】已知数列中，则数列的前项和最大时，的值为（）A．8B．7或8C．8或9D．9【一隅三反】1．等差数列{an}的前n项和为Sn，S100＞0，S101＜0，则满足anan+1＜0的n＝（）A．50B．51C．100D．1012．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（）A．1B．C．D．3．已知等差数列的前n项和为，，，则当S取得最小值时，n的值为（）A．4B．6C．7D．84．已知等差数列的前项和为，若，，则，，…，中最大的是（）A．B．C．D．考点五含有绝对值的求和【例5】已知两个等差数列、，其中，，，记前项和为，．（1）求数列与的通项公式；（2）记，设，求．【一隅三反】1．已知等差数列中，，，记，记的前项和为，的前项和为.（1）求首项和公差；（2）求和的表达式2．已知数列的前n项和为，且().（1）求的最小值；（2）求数列的前20项和.3．已知数列的前项和．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．答案解析考点一等差数列的基本量【例1】记为等差数列的前项和，，，则（）A．-77B．-70C．-49D．-42【答案】A【解析】由，得，∴，，.故选:A【一隅三反】1．若等差数列的前项和为，且满足，，则公差（）A．1B．C．2D．【答案】A【解析】∵，∴，，解得.故选：A.2．正项等差数列的前和为，已知，则=（）A．35B．36C．45D．54【答案】C【解析】正项等差数列的前项和，，，解得或（舍），，故选C.3.已知等差数列的前n项和满足，则（）A．12B．13C．14D．15【答案】D【解析】因为，所以，又，所以．故，解得．故选：D.考点二前n项和Sn与等差中项【例2】(1）等差数列中，，则数列前11项和（）A．12B．60C．66D．72（2）．设是等差数列的前n项和，若则（）A．B．C．D．【答案】(1)C（2）A【解析】（1）在等差数列中，，所以所以.故选：C.（2）在等差数列{an}中，由，得故选：A（1（1）如果为等差数列，若，则．(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.【一隅三反】1．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，由等差数列性质，若，则得，．为数列的前项和，则．故选：．2．若两个等差数列的前n项和分别为，，且满足，则（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】，又因为，所以.故选：D3．两等差数列和，前n项和分别为，，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在为等差数列中，当，，，时，．所以，又因为，所以．故选：A．4．在等差数列中，，则此数列前项的和是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】由等差数列的性质可得：，，代入已知可得，即，故数列的前项之和．故选．考点三前n项和Sn的性质【例3】（1）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A．6B．5C．4D．3（2）．设等差数列的前项和为若,，则()A．45B．54C．72D．81（3）设为等差数列的前项和，且，，则（）A．B．C．D．【答案】（1）D（2）B（3）A【解析】（1）因为某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，因此数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．5a1+20d=15，5a1+25d=30，d=3，选B（2）因为为等差数列，所以为等差数列，所以即，所以，故选B.（3）设等差数列的公差为，则，则，因此，.故选：A.一般地，如果为等差数列，一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列【一隅三反】1．一个等差数列共有项，若前项的和为100，后项的和为200，则中间项的和为（）A．75B．100C．50D．125【答案】A【解析】设等差数列前项的和为，由等差数列的性质可得，中间的项的和可设为，后项的和设为，由题意得，，解得，，故中间的项的和为75，故选：A．2．是等差数列}的前n项和，若，则为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，根据是一个首项为，公差为的等差数列，各项分别为，故.故选：.3．在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A．0B．2018C．D．2020【答案】D【解析】设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.，，解得.则.故选：D.考点四前n项和Sn的最值【例4】已知数列中，则数列的前项和最大时，的值为（）A．8B．7或8C．8或9D．9【答案】C【解析】，数列是等差数列，并且公差为，，对称轴是，，所以当或时，取得最大值.故选：C【一隅三反】1．等差数列{an}的前n项和为Sn，S100＞0，S101＜0，则满足anan+1＜0的n＝（）A．50B．51C．100D．101【答案】A【解析】根据题意，等差数列中，，，则有，则有；又由，则有；则有，若，必有；故选：A2．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】因为等差数列的前项和有最大值，故可得因为，故可得，整理得，即，又因为，故可得.又因为，，故取得最小正值时n等于.故选：D.3．已知等差数列的前n项和为，，，则当S取得最小值时，n的值为（）A．4B．6C．7D．8【答案】C【解析】因为，故.因为，故，所以，所以当时，取得最小值.故选：C.4．已知等差数列的前项和为，若，，则，，…，中最大的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得到；由，得到，∴等差数列为递减数列，且，,,当时，，且最大，最小，所以最大；当时，，此时；当时，，且，，所以，综上所述，，，…，中最大的是.故选：C．考点五含有绝对值的求和【例5】已知两个等差数列、，其中，，，记前项和为，．（1）求数列与的通项公式；（2）记，设，求．【答案】（1），；（2）.【解析】（1），当时，，满足，.设等差数列的公差为，则，；（2）由（1）知，，．当时，；当时，．综上所述，.【一隅三反】1．已知等差数列中，，，记，记的前项和为，的前项和为.（1）求首项和公差；（2）求和的表达式【答案】（1），；（2），.【解析】（1）由题可得，解得，；（2）由（1）可知，，，当，即时，,当时，，.2．已知数列的前n项和为，且().（1）求的最小值；（2）求数列的前20项和.【答案】（1）.（2）【解析】（1），又，所以当或时，取得最小值，且最小值为.（2）当时，，所以.当时，满足上式，所以.由，解得，于是数列前9项为负，第10项为0，第11到20项为正.所以数列的前20项和为.3．已知数列的前项和．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以当时，，又因为时，适合上式，所以；（2）因为.①当时，，所以；②当时，，所以.所以.《4.2.2等差数列的前n项和》考点专题训练题组一等差数列的基本量1．已知等差数列的前项和为，，若，则（）A．10B．11C．12D．132．已知等差数列的前项和为，若，则（）A．B．C．D．3．等差数列的前项和为，，且，则的公差（）A．1B．2C．3D．44．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺5．在等差数列中，已知，求通项公式及前项和.题组二前n项和Sn与等差中项1．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A．B．C．D．2．在等差数列中，，则（）A．12B．28C．24D．353．已知等差数列的前n项和为，若，则（）A．36B．72C．91D．1824．若两个等差数列的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为（）A．B．C．D．5．设等差数列前n项和为，等差数列前n项和为，若．则（）A．B．11C．12D．136．已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．7．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A．3B．4C．5D．6题组三前n项和Sn的性质1．设等差数列的前项和为,若,则(

)A．12B．8C．20D．162．等差数列的前项和为，已知，，则的值等于（）A．B．C．D．3．已知为等差数列的前n项之和，且，，则的值为（）.A．63B．81C．99D．1084．等差数列的前n项和为，且，，则(

)A．10B．20C．D．5．设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63B．45C．36D．276．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（）A．-4040B．-2020C．2020D．40408．已知是等差数列的前项和，若，，则__________．9.已知是等差数列的前项和，若，，则________.题组四前n项和Sn的最值1．设是公差不为零的等差数列的前n项和，且，若，则当最大时，n=（）A．6B．7C．10D．92．等差数列中，，，，则使前项和成立的最大自然数是（）A．2015B．2016C．4030D．40313．已知等差数列的前n项和为，且，，则取得最大值时（）A．14B．15C．16D．174．已知等差数列的通项公式为，则使得前项和最小的的值为（）A．B．C．D．5．在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是（）A．B．C．D．6．公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的有（）A．B．C．中最大D．7．已知等差数列的前项和为，若，则取最大值时的值是（）A．4B．5C．6D．78．已知等差数列的前项和，且，，则最小时，的值为（）A．2B．1或2C．2或3D．3或4题组五含有绝对值的求和1．若等差数列的前项和为，已知，且，则________.2．已知等差数列前三项的和为，前三项的积为，（1）求等差数列的通项公式；（2）若公差，求数列的前项和.3．在等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）求的表达式.4．已知数列满足：，.（1）求及通项；（2）设是数列的前项和，则数列，，，……中哪一项最小？并求出这个最小值.（3）求数列的前10项和.5．已知数列是等差数列，公差为d，为数列的前n项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn.6．在公差是整数的等差数列中，，且前项和．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．答案解析题组一等差数列的基本量1．已知等差数列的前项和为，，若，则（）A．10B．11C．12D．13【答案】B【解析】,所以,选B.2．已知等差数列的前项和为，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设等差数列{an}首项为，公差为d,∵，∴3(,∴+12d=8，即故S25===25a13=200故选：D．3．等差数列的前项和为，，且，则的公差（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由等差数列性质知，则.所以.故选A.4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺【答案】C【解析】从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,∴,解得,,∴小满日影长为（尺）.故选C.5．在等差数列中，已知，求通项公式及前项和.【答案】，【解析】令等差数列的公差为，则由，知：，解之得；∴根据等差数列的通项公式及前n项和公式，有：，；题组二前n项和Sn与等差中项1．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由等差数列的性质可得，.故选：B.2．在等差数列中，，则（）A．12B．28C．24D．35【答案】B【解析】等差数列中，，故，所以.故选：B.3．已知等差数列的前n项和为，若，则（）A．36B．72C．91D．182【答案】D【解析】数列为等差数列，则，解得则故选：D4．若两个等差数列的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】等差数列、前项和分别为，，由，得．故选：.5．设等差数列前n项和为，等差数列前n项和为，若．则（）A．B．11C．12D．13【答案】B【解析】因为等差数列前n项和为，所以，当是奇数时，，所以,故选：B6．已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为等差数列，的前项和分别为和，且，所以可设，，所以，，所以.故选：A7．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】∵等差数列{an}、{bn}，∴，∴,又，∴，经验证,当n=1,3,5,13,35时,为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5.本题选择C选项.题组三前n项和Sn的性质1．设等差数列的前项和为,若,则(

)A．12B．8C．20D．16【答案】C【解析】∵等差数列的前项和为，，由等差数列的性质得：成等比数列又∴．故选：C．2．等差数列的前项和为，已知，，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】等差数列的前项和为,由题意可得成等差数列，故，代入数据可得，解得故选C3．已知为等差数列的前n项之和，且，，则的值为（）.A．63B．81C．99D．108【答案】C【解析】由为等差数列的前n项之和，则,也成等差数列，则，成等差数列，所以，由，，得，故选：C.4．等差数列的前n项和为，且，，则(

)A．10B．20C．D．【答案】D【解析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选．5．设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63B．45C．36D．27【答案】B【解析】由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45∴a7+a8+a9=45故选B．6．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（）A．-4040B．-2020C．2020D．4040【答案】C【解析】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．因为，所以的公差为，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以故选：C8．已知是等差数列的前项和，若，，则__________．【答案】【解析】是等差数列的前项和，是等差数列，设其公差为，，，，故答案为．9．已知是等差数列的前项和，若，，则________.【答案】2016【解析】是等差数列的前项和，是等差数列，设其公差为.，，.，...故答案为：.题组四前n项和Sn的最值1．设是公差不为零的等差数列的前n项和，且，若，则当最大时，n=（）A．6B．7C．10D．9【答案】B【解析】由等差数列中，，可得，故，其中，可知当时，最大．2．等差数列中，，，，则使前项和成立的最大自然数是（）A．2015B．2016C．4030D．4031【答案】C【解析】由题意知，所以，而，则有，而，所以使前项和成立的最大自然数是4030，故选C．3．已知等差数列的前n项和为，且，，则取得最大值时（）A．14B．15C．16D．17【答案】A【解析】设等差数列的公差为，则，解得，故，故当时，；当时，，所以当时，取最大值.故选：A.4．已知等差数列的通项公式为，则使得前项和最小的的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，解得，时，；时，则使得前项和最小的的值为故选：B5．在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，所以可得．

这样，而>0，，

所以在中最大的是．故选C．6．公差为的等差数列，其前项和