《4.3 等比数列》复习考点讲解与专题训练

《4.3等比数列》复习考点讲解【思维导图】【常见考点】考点一等比数列基本量计算【例1】（1）在等比数列中，，，则公比的值为（）A．B．或1C．－1D．或－1（2）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A．16B．8C．4D．2（3）等比数列的前项和，则=（）A．-1B．3C．-3D．1【一隅三反】1．已知是等比数列，a1=2,a4=,则公比q=（）A．B．-2C．2D．2．已知数列满足，若，则等于A．1B．2C．64D．1283．各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则公比的值为（）A．B．C．D．或4．已知各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．5．设正项等比数列的前项和为，，则公比等于（）A．B．C．D．考点二等比数列中项性质【例2】（1）等比数列的各项均为正数，且，则（）A．B．C．D．（2）在等比数列中，若，则（）A．B．C．D．【一隅三反】1．在等比数列中，是方程的根，则A．B．C．D．2．若三个数1，2，m成等比数列，则实数（）A．8B．4C．3D．23．已知实数成等比数列，则椭圆的离心率为A．B．2C．或2D．或考点三等比数列的前n项和性质【例3】已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=A．40B．60C．32D．50【一隅三反】1．已知是各项都为正数的等比数列，是它的前项和，若，，则（）A．B．90C．105D．1062．等比数列的前n项和为，若，则（）A．B．C．D．3．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（）A．80B．120C．150D．1804．设是等比数列，且，，则（）A．12B．24C．30D．32考点四等比数列的单调性【例4】已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.【一隅三反】1．已知为等比数列，，，以表示的前项积，则使得达到最大值的是（）A．4B．5C．6D．72．已知单调递减的等比数列中，，则该数列的公比的取值范围是（）A．B．C．D．3．若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（）A．若是递增数列，则B．若是递减数列，则C．若，则D．若，则是等比数列4．设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：①；②；③的值是中最大的；④使成立的最大自然数等于198其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④考点五证明判断等比数列【例5】已知正项数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，且是等差中项.（1）证明数列等比数列；（2）求数列的通项公式.【一隅三反】1．数列（）A．既不是等差数列又不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．是等差数列但不是等比数列2．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）A．B．C．D．3．已知数列满足，．设．（1）证明：数列为等比数列；（2）求的通项公式．答案解析考点一等比数列基本量计算【例1】（1）在等比数列中，，，则公比的值为（）A．B．或1C．－1D．或－1（2）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A．16B．8C．4D．2（3）等比数列的前项和，则=（）A．-1B．3C．-3D．1【答案】（1）B（2）C（3）C【解析】（1）由题意，解得或．故选：B．【答案】C（2）设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．（3）因为数列是等比数列故满足，，代入得到故答案选C．【一隅三反】1．已知是等比数列，a1=2,a4=,则公比q=（）A．B．-2C．2D．【答案】D【解析】∵是等比数列，∴，∴．故选：D．2．已知数列满足，若，则等于A．1B．2C．64D．128【答案】C【解析】因为数列满足，所以该数列是以为公比的等比数列，又，所以，即；故选C.3．各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则公比的值为（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由题得，所以，因为是各项都是正数的等比数列，所以，所以.故选：B4．已知各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】各项均为正数的等比数列的公比设为q，则q>0，由成等差数列，可得，即，所以，解得或（舍），所以.故选：D.5．设正项等比数列的前项和为，，则公比等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以所以，即因为，所以故选：A考点二等比数列中项性质【例2】（1）等比数列的各项均为正数，且，则（）A．B．C．D．（2）在等比数列中，若，则（）A．B．C．D．【答案】（1）B（2）B【解析】（1）由等比数列的性质可得：，所以.则故选B.（2）由等比中项的性质可得，解得，因此，.故选：B.【一隅三反】1．在等比数列中，是方程的根，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由题得所以，因为，所以所以.故答案为A2．若三个数1，2，m成等比数列，则实数（）A．8B．4C．3D．2【答案】B【解析】因为为等比数列，故即，故选：B.3．已知实数成等比数列，则椭圆的离心率为A．B．2C．或2D．或【答案】A【解析】∵1，m，9构成一个等比数列，∴m2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；当m=﹣3时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，故舍去，则离心率为．故选A．考点三等比数列的前n项和性质【例3】已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=A．40B．60C．32D．50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9是等比数列，即数列4,8，S9−S6，S12−S9是等比数列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，选B．【一隅三反】1．已知是各项都为正数的等比数列，是它的前项和，若，，则（）A．B．90C．105D．106【答案】C【解析】由等比数列的性质得成等比数列，所以成等比数列，所以.故选：C2．等比数列的前n项和为，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为数列为等比数列，则，，成等比数列，设，则，则，故，所以，得到，所以.故选：C.3．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（）A．80B．120C．150D．180【答案】C【解析】因为数列是等比数列，故可得依然成等比数列，因为，故可得，故该数列的首项为，公比为2，故可得.故选：.4．设是等比数列，且，，则（）A．12B．24C．30D．32【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.考点四等比数列的单调性【例4】已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1），，因此，数列是等比数列；（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.【一隅三反】1．已知为等比数列，，，以表示的前项积，则使得达到最大值的是（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】为等比数列，，，，，，，．故是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，以表示的前项积，则使得达到最大值的是4，故选：．2．已知单调递减的等比数列中，，则该数列的公比的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为等比数列单调递减，所以，，因为，所以，又因为，所以，所以，故选：D3．若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（）A．若是递增数列，则B．若是递减数列，则C．若，则D．若，则是等比数列【答案】D【解析】A选项中，，满足单调递增，故A错误；B选项中，，满足单调递减，故B错误；C选项中，若，则，故C错误；D选项中，，所以是等比数列.故D正确.故选：D.4．设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：①；②；③的值是中最大的；④使成立的最大自然数等于198其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B【解析】①，，．，．又，，且．，即①正确；②，，即，故②错误；③由于，而，故有，故③错误；④中，，故④正确．正确的为①④，故选：．考点五证明判断等比数列【例5】已知正项数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，且是等差中项.（1）证明数列等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）因为数列是公差为的等差数列，所以，故，所以，所以数列是公比为3的等比数列.（2）因为是的等差中项，所以，所以，解得，数列的通项公式为.【一隅三反】1．数列（）A．既不是等差数列又不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．是等差数列但不是等比数列【答案】D【解析】数列是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数，符合等差数列的定义，所以数列是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为的项，所以数列不是等比数列，故选D.2．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】时，，数列不一定是等比数列，时，，数列不一定是等比数列，由等比数列的定义知和都是等比数列．故选AD．3．已知数列满足，．设．（1）证明：数列为等比数列；（2）求的通项公式．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1），，由条件可得，即，又，所以是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）可得，，所以．《4.3等比数列》考点专题训练【题组一等比数列基本量计算】1．已知是等比数列，，，则公比（）A．B．-2C．2D．2．等比数列2，4，8，…的公比为（）A．B．C．2D．43．设为等比数列{}的前n项和,,则＝A．10B．9C．-8D．-54．在等比数列中，，，则公比等于（）A．4B．2C．D．或45．在各项均为正数的等比数列中，前项和为，若，，则公比的值是（）A．B．2C．D．46．数列是等差数列，，且构成公比为q的等比数列，则（）A．1或3B．0或2C．3D．27．等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（）A．2B．3C．D．8．设等比数列的前项和为，且，则（）A．B．C．D．9．在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（）A．2B．C．3D．10．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．11设正项等比数列的公比为，前项和为，若，则________.12．已知数列满足，则＝________.【题组二等比数列中项性质】1．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．8B．10C．12D．142．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．3.已知等比数列中，若且，则（）A．B．C．或D．或4．等比数列的前n项和为，若，，，则（）A．B．C．D．5．在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（）A．25B．C．5D．【题组三等比数列的前n项和性质】1．各项均为正数的等比数列的前项和为，若则（）A．B．C．D．2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝（）A．9B．7C．5D．43．已知等比数列的前项和为，，，则（）A．130B．150C．170D．1904．已知等比数列的前项和为，且，，则（）A．B．C．D．5．各项均为实数的等比数列的前项和记为，若，，则（）．A．B．30或C．30D．406．已知等比数列的前n项和为，且，，则（）A．16B．19C．20D．257．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（）A．5B．7C．9D．118．已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（）A．B．C．D．9．等比数列共有项，其中，偶数项和为，奇数项和为，则（）A．B．C．D．10．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（）.A．11B．12C．13D．14【题组四等比数列的单调性】1．在等比数列中，首项，则是递增数列的充要条件是公比q满足（）.A．B．C．D．2．记为等比数列的前项和.若，，则满足不等式：的最大的值等于（）A．5B．6C．7D．83．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，.则下列结论正确的是（）A．B．C．的最大值为D．的最大值为4．等比数列

的公比为，其前项和的积为，并且满足下面条件，，，.给出下列结论:①；②；③的值是中最大的；④成立最大的自然数等于198.其中正确的结论是______.5．设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为______.【题组五证明判断等比数列】1．在下列各选项中，不是一个等比数列的前三项的是（）.A．2，4，8B．-2，-4，-8C．-2，-4，8D．2，-4，82．若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（）．A．B．C．D．3．下列说法正确是（）A．常数列一定是等比数列B．常数列一定是等差数列C．等比数列一定不是摆动数列D．等差数列可能是摆动数列4．若{an}是公差为2的等差数列，则是（）A．公比为324的等比数列B．公比为18的等比数列C．公差为6的等差数列D．公差为5的等差数列答案解析【题组一等比数列基本量计算】1．已知是等比数列，，，则公比（）A．B．-2C．2D．【答案】D【解析】由题意可得，故可得故选：D．2．等比数列2，4，8，…的公比为（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】由已知2，4，8，…为等比数列，则公比.故选：C.3．设为等比数列{}的前n项和,,则＝A．10B．9C．-8D．-5【答案】A【解析】由,得,故.故选：A4．在等比数列中，，，则公比等于（）A．4B．2C．D．或4【答案】C【解析】因为在等比数列中，，，所以，则.故选：C.5．在各项均为正数的等比数列中，前项和为，若，，则公比的值是（）A．B．2C．D．4【答案】B【解析】∵在各项均为正数的等比数列中，公比，又由，，可得，故由求和公式可得，，两式相比可得，解得，故选：B.6．数列是等差数列，，且构成公比为q的等比数列，则（）A．1或3B．0或2C．3D．2【答案】A【解析】设等差数列的公差为d，∵构成公比为q的等比数列，∴，即，解得或2，所以或，所以或3，故选：A7．等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（）A．2B．3C．D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，化为：，解得．故选：D8．设等比数列的前项和为，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，；当时，，解得.故选C.9．在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（）A．2B．C．3D．【答案】A【解析】由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，所以或（舍），故选A10．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，即解得，所以．11设正项等比数列的公比为，前项和为，若，则_____.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，化简得，因为等比数列的各项为正数，所以，所以，故答案为：12．已知数列满足，则＝________.【答案】4【解析】因为，所以，即数列是以2为公比的等比数列，所以.故答案为：4.【题组二等比数列中项性质】1．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．8B．10C．12D．14【答案】A【解析】等比数列的各项均为正数，且，由等比数列的性质可得：，．故选：．2．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，正项等比数列满足，所以，即，解得或，因为数列是正项等比数列，所以，所以，又知道，所以，即，所以，当且仅当时等号成立，因为、为正整数，故等号不成立，当，时，，当时，，当，时，，故的最小值为故选：．3.已知等比数列中，若且，则（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】根据题意，设等比数列的公比为，若，则有，解得，由，即，则有，解可得或，又由，则，则，故选：B.4．等比数列的前n项和为，若，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于在等比数列中，由可得：，又因为，所以有：是方程的二实根，又，所以，故解得：，从而公比那么，故选：D．5．在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（）A．25B．C．5D．【答案】B【解析】是等比数列，且，.又，，，当且仅当时取等号.故选：B.【题组三等比数列的前n项和性质】1．各项均为正数的等比数列的前项和为，若则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由题意易知所以，，两式相除得，化简得，解得，所以,故选B.2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝（）A．9B．7C．5D．4【答案】B【解析】∵，根据分式的性质可得，根据等比数列的性质可知成等比数列，得到∴，∴∴.故选：B.3．已知等比数列的前项和为，，，则（）A．130B．150C．170D．190【答案】A【解析】等比数列的前项和为，，，所以，，依然成等比数列，所以，即，所以故选：A4．已知等比数列的前项和为，且，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由等比数列片断和的性质可知、、、成等比数列，且公比为，因此，.故选：D.5．各项均为实数的等比数列的前项和记为，若，，则（）．A．B．30或C．30D．40【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由题意易知，则为等比数列，可得，，解得或（舍），故.故选：C.6．已知等比数列的前n项和为，且，，则（）A．16B．19C．20D．25【答案】B【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.故选：B7．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（）A．5B．7C．9D．11【答案】A【解析】根据题意，数列为等比数列，设，又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，故；故选：8．已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设这个等比数列共有项，公比为，则奇数项之和为，偶数项之和为，，等比数列的所有项之和为，则，解得，因此，这个等比数列的项数为.故选：C.9．等比数列共有项，其中，偶数项和为，奇数项和为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，可得，又因为所以，，解得，故选B.10．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（）.A．11B．12C．13D．14【答案】B【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴，设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，∴，∵,∴解得，又前3项之积，解得，∴.故选:B.【题组四等比数列的单调性】1．在等比数列中，首项，则是递增数列的充要条件是公比q满足（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】先证必要性：

，且是递增数列，

，即q＞0，且，

则此时公比q满足0＜q＜1；

再证充分性：

，

，

，即，

则是递增数列，

综上，是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1.

故选：C.2．记为等比数列的前项和.若，，则满足不等式：的最大的值等于（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】设等比数列的公比为，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，从而，所以，故选：C.3．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，.则下列结论正确的是（）A．