《4.4 数学归纳法》复习考点讲解与专题训练

《4.4数学归纳法》复习考点讲解【思维导图】【常见考点】考点一增项问题【例1】用数学归纳法证明的过程中，当从到时，等式左边应增乘的式子是（）A．B．C．D．【一隅三反】1．()，那么共有（）项.A．B．C．D．以上都不对2．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（）A．增加了B．增加了C．增加了D．增加了3．用数学归纳法证明等式（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．B．C．D．4．用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是（）A．B．C．D．考点二等式的证明【例2】．用数学归纳法证明.【一隅三反】1．用数学归纳法证明等式.2．用数学归纳法证明：.考点三不等式的证明【例3】．用数学归纳法证明：.【一隅三反】1．证明：不等式，恒成立.2．试用数学归纳法证明.考点四整除问题【例4】用数学归纳法证明：能被133整除．【一隅三反】1．求证：能被整除．2．用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．考点五数归在数列的应用【例5】．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．（1）求，，的值，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．【一隅三反】1．已知数列的前项和为，，且.（1）求、、；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．2．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，，证明3．若，且.（1）求，，，，（2）归纳猜想通项公式，用数学归纳法证明.答案解析考点一增项问题【例1】用数学归纳法证明的过程中，当从到时，等式左边应增乘的式子是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，等式左边，当时，等式左边，因此，当从到时，等式左边应增乘的式子为.故选：C.【一隅三反】1．()，那么共有（）项.A．B．C．D．以上都不对【答案】B【解析】，共有项．故选：B．2．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（）A．增加了B．增加了C．增加了D．增加了【答案】D【解析】用数学归纳法证明不等式的过程中由时，，①当时，左边，，②，②①得：左边.故选：D.3．用数学归纳法证明等式（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到4．用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，不等式左边为当时，不等式左边为即由到时，不等式左边应添加的项是故选：D考点二等式的证明【例2】．用数学归纳法证明.【答案】见解析【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立；②假设当时等式成立，即.那么，即当时等式也成立.由①②知，等式对任何都成立.【一隅三反】1．用数学归纳法证明等式.【答案】证明见解析【解析】①当时，左边，右边，左边右边，原等式成立；②假设当时等式成立，即有，那么，当时，，所以当时，等式也成立，由①②知，对任意，都有.2．用数学归纳法证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）要证明成立，只需证明成立，即证明成立，只需证明成立，即证明成立，因为显然成立，所以原不等式成立，即；（2）①当时，，等式左边，右边，等式成立；②设当时，等式成立，即，则当时，，即成立，综上所述，．考点三不等式的证明【例3】．用数学归纳法证明：.【答案】证明见解析【解析】先证明出，，即，构造函数，当时，则，所以，函数在上单调递增，则，则，即，即，对任意的，当时，.当时，左边，右边，左边右边；假设当时，不等式成立，即.则当时，则.这说明，当时，原不等式也成立.综上所述，对任意的，.【一隅三反】1．证明：不等式，恒成立.【答案】见解析【解析】当时，成立假设时，不等式成立那么时，，，即时，该不等式也成立综上：不等式，恒成立.2．试用数学归纳法证明.【答案】证明见解析【解析】（1）当时，左边＝，右边＝，不等式成立；（2）假设当时，原不等式成立，即，当时，∵∴．即，所以，当时，不等式也成立．根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．考点四整除问题【例4】用数学归纳法证明：能被133整除．【答案】见解析【解析】证明：①当时，能被133整除，所以时结论成立，．②假设当时，能被133整除，那么当时，．由归纳假设可知能被133整除，即能被133整除．所以时结论也成立综上，由①②得，能被133整除【一隅三反】1．求证：能被整除．【答案】证明见解析.【解析】当n=1时，能被整除，假设当,时能被整除，则当时，，其中能被整除，所以能被整除，所以能被整除，即当时，能被整除，所以能被整除.2．用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．【答案】见解析【解析】证明：（1）当时，，能被9整除，故当时，能被9整除．（2）假设当时，命题成立，即能被9整除，则当时，也能被9整除.综合(1)(2)可得,对任意正整数能被9整除．考点五数归在数列的应用【例5】．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．（1）求，，的值，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．【答案】（1），，，，；（2）证明见解析．【解析】（1）当时，，∴，当时，，∴，∴，，猜想，；（2）下面用数学归纳法证明：①当时，，，猜想正确；②假设时，猜想正确，即，那么当时，可得，即时，猜想也成立．综上可知，对任意的正整数，都成立．【一隅三反】1．已知数列的前项和为，，且.（1）求、、；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】（1），，；（2）猜想，证明见解析.【解析】（1），当时，，解得，即有；当时，，解得，则；当时，，解得，则；（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为．下面运用数学归纳法证明．①当时，由（1）可得成立；②假设，成立，当时，，即有，则，当时，上式显然成立；当时，，即，则当时，结论也成立．由①②可得对一切，成立．2．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，，证明【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）由题意，得，即，解得或，已知故．，．当时，，当时，，当时，满足上式，，．（2）法1．，，累加得当，，当，∴法2．先用数学归纳法证明当，．①当时，，左式>右式，不等式成立．②假设时，不等式成立，即当时，，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立．③由①②得证当，．.3．若，且.（1）求，，，，（2）归纳猜想通项公式，用数学归纳法证明.【答案】（1）；（2），证明见解析．【解析】（1）因为，且.所以，，，；（2）猜想．可用数学归纳法证明．①已成立；②假设时，，则，时，命题也成立，综上对所有正整数，都有．《4.4数学归纳法》考点专题训练【题组一增项问题】1．用数学归纳法证明“”，在验证是否成立时，左边应该是()A．B．C．D．2．用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（）A．第一步应该验证当时不等式成立B．从“到”左边需要增加的代数式是C．从“到”左边需要增加项D．以上说法都不对3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A．B．C．D．4．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（）A．B．C．D．5．用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（）A．项B．项C．项D．项6．用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（）A．B．C．D．7．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A．B．C．D．【题组二等式的证明】1．求证：.2．用数学归纳法证明：3．用数学归纳法证明：．4．设，证明：.5．用数学归纳法证明：．【题组三不等式的证明】1．用数学归纳法证明：.2．用数学归纳法证明1＋≤1＋≤＋n(n∈N*)．【题组四整除】1．求证：能被整除．【题组五数归在数列中的应用】1．数列满足）.（1）计算，并由此猜想通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.2．各项都为正数的数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)求证：对一切恒成立．3．已知数列前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）记为的前项和，证明:.答案解析【题组一增项问题】1．用数学归纳法证明“”，在验证是否成立时，左边应该是()A．B．C．D．【答案】C【解析】用数学归纳法证明“”，在验证时，把代入，左边.故选：C.2．用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（）A．第一步应该验证当时不等式成立B．从“到”左边需要增加的代数式是C．从“到”左边需要增加项D．以上说法都不对【答案】D【解析】第一步应该验证当时不等式成立,所以不正确；因为，所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；所以从“到”左边需要增加项，所以不正确。故选：D3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选C．4．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故选C.5．用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（）A．项B．项C．项D．项【答案】D【解析】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；当时，左边，共有项；所以从“到”左边增加的项数是项.故选D6．用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，所假设的不等式为，当时，要证明的不等式为，故需添加的项为：，故选：B.7．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，等式左端，当时，等式左端，增加了项．故选：C．【题组二等式的证明】1．求证：.【答案】证明见解析；【解析】当时，左边，右边，等式成立.假设时等式成立，即.那么当时，左边右边.这就是说，当时等式仍成立.综上可知，对一切，等式成立.2．用数学归纳法证明：【答案】证明见解析【解析】（1）当时，左边=-1，右边=-1，等式成立；（2）假设当时等式成立，即，则当时，左边=右边.所以，当时，等式成立；由（1）（2）可知，对.3．用数学归纳法证明：．【答案】证明见解析.【解析】当时，，等式成立，假设当时，等式成立，即则当时，，原等式仍然成立，所以4．设，证明：.【答案】证明见解析；【解析】当时，左边，右边，故等式成立.假设当时，等式成立，即，当时，..所以当时，等式也成立.综上所述，对任意，等式成立.5．用数学归纳法证明：．【答案】证明见解析【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立．②假设当时等式成立，即．那么当时，，等式也成立．根据①和②，可知对任何都成立．原等式得证.【题组三不等式的证明】1．用数学归纳法证明：.【答案】证明见解析；【解析】（1）当时，左边，右边，不等式成立.（2）假设当，时，不等式成立，即有，则当时，左边，又即，即当时，不等式也成立.综上可得，对于任意，成立.2．用数学归纳法证明1＋≤1＋≤＋n(n∈N*)．【答案】见解析【解析】(1)当n＝1时，≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．【题组四整除】1．求证：能被整除．【答案】见解析【解析】当时，原式，能被整除；②当时，假设，能被整除，当时，，均可被整除，所以当时，命题成立。综上：由①②知能被整除【题组五数归在数列中的应用】1．数列满足）.（1）计算，并由此猜想通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1），由此猜想；（2）证明：当时，，结论成立；假设（，且），结论成立，即当（，且）时，，即，所以，这表明当时，结论成立，综上所述，.2．各项都为正数的数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)求证：对一切恒成立．【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1)因为，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以，