《4．2等差数列》课后分层作业

《4．2等差数列》课后分层作业第一课时等差数列的概念及通项公式[A级基础巩固]1．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16D．182．若等差数列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝()A．50B．51C．52D．533．(多选)设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系正确的是()A．a＝－bB．a＝3bC．a＝b或a＝－3bD．a＝b＝04．数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2021的值是()A．1000B．1013C．1011D．10125．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是数列的()A．第12项B．第13项C．第14项D．第15项6．已知等差数列{an}，an＝2－3n，则数列的公差d＝________.7．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a1＝________，a6＝________.8．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．9．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由．10．若eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,a＋c)，eq\f(1,a＋b)是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．[B级综合运用]11．(多选)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则()A．a3a6>a4a5B．a3a6<a4a5C．a3＋a6＝a4＋a5D．a3a6＝a4a512．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则eq\f(a2－a1,b2－b1)等于()A.eq\f(m,n)D．eq\f(m＋1,n＋1)C.eq\f(n,m)D．eq\f(n＋1,m＋1)13．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为ai，j(i，j∈N*)，则a9,9＝______，数82共出现______次．234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……14．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且∈N*)．(1)求a2，a3；(2)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是等差数列；(3)求数列{an}的通项公式an.[C级拓展探究]15．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．答案解析[A级基础巩固]1．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16D．18解析：选D由题意知，公差d＝4－2＝2，则a1＝0，所以a10＝a1＋9d＝18.故选D.2．若等差数列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝()A．50B．51C．52D．53解析：选D依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝eq\f(1,3)，得d＝eq\f(2,3).所以an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(1,3)＋(n－1)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)n－eq\f(1,3)，令an＝35，解得n＝53.3．(多选)设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系正确的是()A．a＝－bB．a＝3bC．a＝b或a＝－3bD．a＝b＝0解析：选AB由等差中项的定义知：x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，∴eq\f(a2－b2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.4．数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2021的值是()A．1000B．1013C．1011D．1012解析：选D由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝eq\f(1,2)，所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝eq\f(1,2)，所以an＝2＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋3,2)，所以a2021＝eq\f(2021＋3,2)＝1012.5．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是数列的()A．第12项B．第13项C．第14项D．第15项解析：选Can＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.6．已知等差数列{an}，an＝2－3n，则数列的公差d＝________.解析：根据等差数列的概念，d＝an＋1－an＝－3.答案：－37．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a1＝________，a6＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝7，,a1＋4d＝a1＋d＋6.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝2.))∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.∴a6＝2×6＋1＝13.答案：3138．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.答案：59．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由．解：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下：因为a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)(常数)．所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)为首项，公差为eq\f(1,2)的等差数列．10．若eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,a＋c)，eq\f(1,a＋b)是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．证明：由已知得eq\f(1,b＋c)＋eq\f(1,a＋b)＝eq\f(2,a＋c)，通分有eq\f(2b＋a＋c,b＋ca＋b)＝eq\f(2,a＋c).进一步变形有2(b＋c)(a＋b)＝(2b＋a＋c)(a＋c)，整理，得a2＋c2＝2b2，所以a2，b2，c2成等差数列．[B级综合运用]11．(多选)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则()A．a3a6>a4a5B．a3a6<a4a5C．a3＋a6＝a4＋a5D．a3a6＝a4a5解析：选BC由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝aeq\o\al(2,1)＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝aeq\o\al(2,1)＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2<0，故选B、C.12．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则eq\f(a2－a1,b2－b1)等于()A.eq\f(m,n)D．eq\f(m＋1,n＋1)C.eq\f(n,m)D．eq\f(n＋1,m＋1)解析：选D设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝eq\f(y－x,m＋1)；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝eq\f(y－x,n＋1).这样可求出eq\f(a2－a1,b2－b1)＝eq\f(d1,d2)＝eq\f(n＋1,m＋1).13．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为ai，j(i，j∈N*)，则a9,9＝______，数82共出现______次．234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……解析：根据题意得，第i行的等差数列的公差为i，第j列等差数列的公差为j，所以数列{a1，j}是以2为首项，1为公差的等差数列，可得a1，j＝2＋(j－1)×1＝j＋1，又因为第j列数组成的数列{ai，j}是以a1，j为首项，j为公差的等差数列，所以ai，j＝a1，j＋(i－1)j＝(j＋1)＋(i－1)×j＝ij＋1，所以a9,9＝9×9＋1＝82.因为ai，j＝ij＋1＝82，所以ij＝81，所以i＝81且j＝1或i＝1且j＝81或i＝3且j＝27或i＝27且j＝3或i＝j＝9，所以可得数82共出现5次．答案：82514．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且∈N*)．(1)求a2，a3；(2)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是等差数列；(3)求数列{an}的通项公式an.解：(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20.(2)证明：∵an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)，∴eq\f(an,2n)＝eq\f(an－1,2n－1)＋1(n≥2，且n∈N*)，即eq\f(an,2n)－eq\f(an－1,2n－1)＝1(n≥2，且n∈N*)，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是首项为eq\f(a1,21)＝eq\f(1,2)，公差d＝1的等差数列．(3)由(2)，得eq\f(an,2n)＝eq\f(1,2)＋(n－1)×1＝n－eq\f(1,2)，∴an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))·2n.[C级拓展探究]15．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝eq\f(3,2).∴a3＝－eq\f(3,2)a2＋22，∴a3＝eq\f(11,2).(2)不存在λ的值，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4.a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2.即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{an}成等差数列．《4．2等差数列》课后分层作业第二课时等差数列的性质[A级基础巩固]1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是()A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列2．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5B．8C．10D．143．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于()A．8B．4C．6D．124．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101＞0B．a2＋a101＜0C．a3＋a99＝0D．a51＝515．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升D．eq\f(67,66)升C.eq\f(47,44)升D．eq\f(37,33)升6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．8．已知数列{an}满足a1＝1，若点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.9．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.10．有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少．[B级综合运用]11．(多选)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是()A．数列{an}是递增数列B．数列{nan}是递增数列C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是递增数列D．数列{an＋3nd}是递增数列12．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为eq\f(1,4)的等差数列，则|m－n|＝()A．1D．eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D．eq\f(3,8)13．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a7＋a9＝________，若ak＝13，则k＝________.14．数列{an}为等差数列，bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an，又已知b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求数列{an}的通项公式．[C级拓展探究]15．下表是一个“等差数阵”：47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式，以及2020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．答案解析[A级基础巩固]1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是()A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列解析：选D(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.2．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5B．8C．10D．14解析：选B由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因为a1＝2，所以a7＝8.3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于()A．8B．4C．6D．12解析：选A因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101＞0B．a2＋a101＜0C．a3＋a99＝0D．a51＝51解析：选C根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升D．eq\f(67,66)升C.eq\f(47,44)升D．eq\f(37,33)升解析：选B设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))则a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66)，故第5节的容积为eq\f(67,66)升．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－d2＋a2＋a＋d2＝59.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－4.))∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.答案：－217．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.答案：1或28．已知数列{an}满足a1＝1，若点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.解析：由题设可得eq\f(an,n)－eq\f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式eq\f(an,n)＝n，所以an＝n2.答案：n29．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.解：法一：由等差数列的性质得a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{an}．an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，当n>18时，440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．[B级综合运用]11．(多选)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是()A．数列{an}是递增数列B．数列{nan}是递增数列C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是递增数列D．数列{an＋3nd}是递增数列解析：选ADan＝a1＋(n－1)d，d＞0，∴an－an－1＝d＞0，A正确；nan＝na1＋n(n－1)d，∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关．故数列{nan}不一定递增，B不正确；对于C：eq\f(an,n)＝eq\f(a1,n)＋eq\f(n－1,n)d，∴eq\f(an,n)－eq\f(an－1,n－1)＝eq\f(－a1＋d,nn－1)，当d－a1＞0，即d＞a1时，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))递增，但d＞a1不一定成立，C不正确；对于D：设bn＝an＋3nd，则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.∴数列{an＋3nd}是递增数列，D正确．12．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为eq\f(1,4)的等差数列，则|m－n|＝()A．1D．eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D．eq\f(3,8)解析：选C设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，∵a1＝eq\f(1,4)，∴d＝eq\f(1,2)，∴a2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，a3＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4)，a4＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,2)＝eq\f(7,4)，∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(7,4)－\f(3,4)×\f(5,4)))＝eq\f(1,2).13．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a7＋a9＝________，若ak＝13，则k＝________.解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7，∴a7＝eq\f(17,3).∵a4＋a5＋…＋a14＝11a9，∴a9＝7，∴a7＋a9＝eq\f(38,3)，d＝eq\f(2,3).∴ak－a9＝(k－9)d，即13－7＝(k－9)×eq\f(2,3)，解得k＝18.答案：eq\f(38,3)1814．数列{an}为等差数列，bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an，又已知b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求数列{an}的通项公式．解：∵b1＋b2＋b3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a1＋a2＋a3＝eq\f(1,8)，∴a1＋a2＋a3＝3.∵a1，a2，a3成等差数列，∴a2＝1，故可设a1＝1－d，a3＝1＋d，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－d＋eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋d＝eq\f(21,8)，得2d＋2－d＝eq\f(17,4)，解得d＝2或d＝－2.当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.[C级拓展探究]15．下表是一个“等差数阵”：47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式，以及2020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解：通过每行、每列都是等差数列求解．(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a15，…成等差数列，公差d＝7－4＝3，则a15＝4＋(5－1)×3＝16.再看第2行，同理可得a25＝27.最后看第5列，由题意a15，a25，…，a45成等差数列，所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j＝7＋5(j－1)；…第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，∴aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.要求2020在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i，j，使得i(2j＋1)＋j＝2020，∴j＝eq\f(2020－i,2i＋1).又∵j∈N*，∴当i＝1时，得j＝673.∴2020在“等差数阵”中的一个位置是第1行第673列．《4．2等差数列》课后分层作业第三课时等差数列的前n项和公式[A级基础巩固]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于()A．49B．42C．35D．282．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A．4D．eq\f(1,4)C．－4D．－eq\f(1,4)3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A．765B．665C．763D．6634．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(a5,a3)＝eq\f(5,9)，则eq\f(S9,S5)等于()A．1B．－1C．2D．eq\f(1,2)5．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C．19D．296．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.7．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.10．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.[B级综合运用]11．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为()A．15B．24C．18D．2812．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则()A．a1＋a3＝0B．a3＋a5＝0C．S3＝S4D．S4＝S513．在等差数列{an}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则m＝________，a100＝________.14．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an＞0，且Sn＝eq\f(1,4)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an－eq\f(3,4).(1)证明：{an}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[C级拓展探究]15．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．答案解析[A级基础巩固]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于()A．49B．42C．35D．28解析：选B2a6－a8＝a4＝6，S7＝eq\f(7,2)(a1＋a7)＝7a4＝42.2．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A．4D．eq\f(1,4)C．－4D．－eq\f(1,4)解析：选A由S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝eq\f(5×2a3,2)＝55，解得a3＝11.∴P(3,11)，Q(4,15)，∴k＝eq\f(15－11,4－3)＝4.故选A.3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A．765B．665C．763D．663解析：选B∵a1＝2，d＝7，则2＋(n－1)×7＜100，∴n＜15，∴n＝14，S14＝14×2＋eq\f(1,2)×14×13×7＝665.4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(a5,a3)＝eq\f(5,9)，则eq\f(S9,S5)等于()A．1B．－1C．2D．eq\f(1,2)解析：选Aeq\f(S9,S5)＝eq\f(\f(9,2)a1＋a9,\f(5,2)a1＋a5)＝eq\f(\f(9,2)·2a5,\f(5,2)·2a3)＝eq\f(9a5,5a3)＝eq\f(9,5)·eq\f(a5,a3)＝1.5．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C．19D．29解析：选B钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋eq\f(1,2)×5×(5－1)d＝10，②由①②联立解得a1＝1，d＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．解析：由a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为eq\f(1,2)的等差数列，故S9＝9a1＋eq\f(9×9－1,2)×eq\f(1,2)＝9＋18＝27.答案：278．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10＝a1＋9d＝30，,a20＝a1＋19d＝50，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋eq\f(nn－1,2)×2，整理得n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.10．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.解：∵Sn＝n2－2n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3，∴a2＋a3－a4＋a5＋a6＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)－a4＝2a4＋2a4－a4＝3a4＝3×(2×4－3)＝15.[B级综合运用]11．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为()A．15B．24C．18D．28解析：选C设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，即6a1＋(n＋12)d＝24.又因为S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，所以a1＋5d为定值．所以eq\f(n＋12,6)＝5，解得n＝18.12．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则()A．a1＋a3＝0B．a3＋a5＝0C．S3＝S4D．S4＝S5解析：选BC由S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.13．在等差数列{an}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则m＝________，a100＝________.解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{an}的公差为d，则S奇－S偶＝eq\f(2a1＋m－1d,2)＝72－63＝9.又∵am＝a1＋d(m－1)，∴eq\f(a1＋am,2)＝9，∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16.∵eq\f(ma1＋am,2)＝135，∴m＝15，∴d＝eq\f(14,m－1)＝1，∴a100＝a1＋99d＝101.答案：1510114．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an＞0，且Sn＝eq\f(1,4)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an－eq\f(3,4).(1)证明：{an}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝eq\f(1,4)aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1－eq\f(3,4)，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,4)(aeq\o\al(2,n)＋2an－3)－eq\f(1,4)(aeq\o\al(2,n－1)＋2an－1－3)．所以4an＝aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因为an＋an－1＞0，所以an－an－1＝2(n≥2)．所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.[C级拓展探究]15．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．解：由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2t，,n＝3t－1，))(t∈N*且eq\f(2,3)≤t≤67)．则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且eq\f(2,3)≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且eq\f(2,3)≤t≤67)，各项之和为67×9＋eq\f(67×66,2)×12＝27135.《4．2等差数列》课后分层作业第四课时等差数列前n项和的性质及应用(习题课)[A级基础巩固]1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A．9B．10C．11D．122．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()A．－2B．－1C．0D．13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于()A．100B．101C．200D．2014．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于()A．15B．35C．66D．1005．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A．18B．19C．20D．216．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝________.8．若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则使前n项和Sn<0的最大自然数n是________．9．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？10．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.[B级综合运用]11．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则()A．a6>0B．－eq\f(24,7)<d<－3C．Sn<0时，n的最小值为13D．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))中最小项为第7项12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．613．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)则数列{an}的通项公式为an＝________；(2)若bn＝eq\f(Sn,n＋c)(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，则c＝________.14．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.(1)数列{an}前多少项和最大？(2)求{|an|}的前n项和Sn.[C级拓展探究]15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；(3){Sn}有多少项大于零？答案解析[A级基础巩固]1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A．9B．10C．11D．12解析：选B∵eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n)，∴eq\f(165,150)＝eq\f(n＋1,n).∴n＝10，故选B.2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()A．－2B．－1C．0D．1解析：选B等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于()A．100B．101C．200D．201解析：选A由A，B，C三点共线得a1＋a200＝1，∴S200＝eq\f(200,2)(a1＋a200)＝100.4．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于()A．15B．35C．66D．100解析：选C易得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,2n－5，n≥2.))|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，令an＞0则2n－5＞0，∴n≥3.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋a3＋…＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.5．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A．18B．19C．20D．21解析：选C∵a1＋a3＋a5＝105＝3a3，∴a3＝35，∵a2＋a4＋a6＝99＝3a4，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n，令an＞0，∴41－2n＞0，∴n＜eq\f(41,2)，∴n≤20.6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.答案：57．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝________.解析：∵an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2，))∴an＝2n－10.由5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9，又k∈N*，∴k＝8.答案：88．若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则使前n项和Sn<0的最大自然数n是________．解析：由a203＋a204>0知a1＋a406>0，即S406>0，又由a1<0且a203·a204<0，知a203<0，a204>0，所以公差d>0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0，所以使前n项和Sn<0的最大自然数n＝405.答案：4059．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？解：(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一：由a1＝9，d＝－2，得Sn＝9n＋eq\f(nn－1,2)·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值．法二：由(1)知a1＝9，d＝－2＜0，∴{an}是递减数列．令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤eq\f(11,2).∵n∈N*，∴n≤5时，an＞0，n≥6时，an＜0.∴当n＝5时，Sn取得最大值．10．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解：∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝13n＋eq\f(nn－1,2)×(－4)＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×eq\f(13＋1×4,2)－(15n－2n2)＝2n2－15n＋56.∴Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15n－2n2n≤4，,2n2－15n＋56n≥5.))[B级综合运用]11．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则()A．a6>0B．－eq\f(24,7)<d<－3C．Sn<0时，n的最小值为13D．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))中最小项为第7项解析：选ABCD依题意得a3＝a1＋2d＝12，a1＝12－2d，S12＝eq\f(a1＋a12,2)×12＝6(a6＋a7)．而a7<0，所以a6>0，a1>0，d<0，A选项正确．且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7＝a1＋6d＝12＋4d<0，,a6＝a1＋5d＝12＋3d>0，,a6＋a7＝2a1＋11d＝24＋7d>0.))解得－eq\f(24,7)<d<－3，B选项正确．由于S13＝eq\f(a1＋a13,2)×13＝13a7<0，而S12>0，所以Sn<0时，n的最小值为13.由上述分析可知，n∈[1,6]时，an>0，n≥7时，an<0；当n∈[1,12]时，Sn>0，当n≥13时，Sn<0.所以当n∈[7,12]时，an<0，Sn>0，eq\f(Sn,an)<0，且当n∈[7,12]时，|an|为递增数列，Sn为正数且为递减数列，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))中最小项为第7项．故选A、B、C、D.12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6解析：选Cam＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sm＝eq\f(ma1＋am,2)＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故选C.13．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)则数列{an}的通项公式为an＝________；(2)若bn＝eq\f(Sn,n＋c)(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，则c＝________.解析：(1)∵S4＝28，∴eq\f(a1＋a4×4,2)＝28，a1＋a4＝14，a2＋a3＝14，又∵a2a3＝45，公差d>0，∴a2<a3，∴a2＝5，a3＝9，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝5，,a1＋2d＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4，))∴an＝4n－3.(2)由(1)，知Sn＝2n2－n，∴bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(2n2－n,n＋c)，∴b1＝eq\f(1,1＋c)，b2＝eq\f(6,2＋c)，b3＝eq\f(15,3＋c).又∵{bn}也是等差数列，∴b1＋b3＝2b2，即2×eq\f(6,2＋c)＝eq\f(1,1＋c)＋eq\f(15,3＋c)，解得c＝－eq\f(1,2)(c＝0舍去)．答案：(1)4n－3(2)－eq\f(1,2)14．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.(1)数列{an}前多少项和最大？(2)求{|an|}的前n项和Sn.解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝23，,a1＋24d＝－22，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝50，,d＝－3，))∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.令an>0，得n<eq\f(53,3)，∴当n≤17，n∈N*时，an>0；当n≥18，n∈N*时，an<0，∴{an}的前17项和最大．(2)当n≤17，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(103,2)n.当n≥18，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)×172＋\f(103,2)×17))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n2＋\f(103,2)n))＝eq\f(3,2)n2－eq\f(103,2)n＋884.∴Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n2＋\f(103,2)n，n≤17，n∈N*，,\f(3,2)n2－\f(103,2)n＋884，n≥18，n∈N*.))[C级拓展探究]15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；(3){Sn}有多少项大于零？解：(1)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝12n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．(2)Sn＝－n2＋13n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(13,2)))2＋eq\f(169,4)，n∈N*，∴当n＝6或n＝7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减．{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.(3)由图象得{Sn}中有12项大于零．《4.2等差数列》同步检测试卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A．9B．10C．11D．122．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()A．－2B．－1C．0D．13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于()A．100B．101C．200D．2014．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于()A．15B．35C．66D．1005．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A．18B．19C．20D．216.设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．67．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C．19D．298．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为()A．15B．24C．18D．28二、多选题9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则()A．a6>0B．－<d<－3C．Sn<0时，n的最小值为13D．数列中最小项为第7项10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则()A．a1＋a3＝0B．a3＋a5＝0C．S3＝S4D．S4＝S511．等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选项正确的是（）A． B．C．当时最小 D．时的最小值为12．在等差数列中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.若是数列的项，则k的值可能为（）A．1B．3C．5D．7三、填空题13．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.14．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝________.15．若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则使前n项和Sn<0的最大自然数n是________．16.已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)则数列{an}的通项公式为an＝________；(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，则c＝________.四、解答题17．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.18．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.(1)数列{an}前多少项和最大？(2)求{|an|}的前n项和Sn.19．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；(3){Sn}有多少项大于零？20．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.21．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an＞0，且Sn＝aeq\o\al(2,n)＋an－.(1)证明：{an}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．22．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．答案解析一、单选题1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A．9B．10C．11D．12【答案】B【解析】∵，∴.∴n＝10，故选B.2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()A．－2B．－1C．0D．1【答案】B【解析】等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于()A．100B．101C．200D．201【答案】A【解析】由A，B，C三点共线得a1＋a200＝1，∴S200＝(a1＋a200)＝100.4．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于()A．15B．35C．66D．100【答案】C【解析】易得an＝|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，令an＞0则2n－5＞0，∴n≥3.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋a3＋…＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.5．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A．18B．19C．20D．21【答案】C【解析】∵a1＋a3＋a5＝105＝3a3，∴a3＝35，∵a2＋a4＋a6＝99＝3a4，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n，令an＞0，∴41－2n＞0，∴n＜，∴n≤20.6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故选C.7．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C．19D．29【答案】B【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．8．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为()A．15B．24C．18D．28【答案】C【解析】设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，即6a1＋(n＋12)d＝24.又因为S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，所以a1＋5d为定值．所以＝5，解得n＝18.二、多选题9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则()A．a6>0B．－<d<－3C．Sn<0时，n的最小值为13D．数列中最小项为第7项【答案】ABCD【解析】依题意得a3＝a1＋2d＝12，a1＝12－2d，S12＝×12＝6(a6＋a7)．而a7<0，所以a6>0，a1>0，d<0，A选项正确．且解得－<d<－3，B选项正确．由于S13＝×13＝13a7<0，而S12>0，所以Sn<0时，n的最小值为13.由上述分析可知，n∈[1,6]时，an>0，n≥7时，an<0；当n∈[1,12]时，Sn>0，当n≥13时，Sn<0.所以当n∈[7,12]时，an<0，Sn>0，<0，且当n∈[7,12]时，|an|为递