高中数学《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件与课后作业

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理人教A版（2019）选择性必修第三册新知导入

用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？分析:因为大写英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36个不同的号码.

新知导入从甲地到乙地，可以乘火车或乘汽车或乘轮船.其中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班.那么从甲地到乙地共有多少种不同的方法?分析:从甲地到乙地可以乘火车（4班）、乘汽车（2班）、乘轮船（3班），所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的方法.

新知导入思考：你能说出上述两个问题有什么共同特征吗？回答：要完成上述两件事情（给座位编号、从甲地到乙地），都有不同的方案（每种方案包含多种方法）可以独立完成需求.思考：你能举出生活中类似的例子吗？一个班学生站成一排照相，有多少不同的站法.学校食堂打菜，总共5个菜，每人选3个不同的菜，有多少种不同的选择.新知讲解分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：

每类中的任意一种方法都能独立完成这件事情.N=m+n

种不同的方法课堂练习(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能独立完成这件事.(

)×√例题讲解例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学化学医学物理学工程学数学会计学信息技术学法学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？例题讲解

解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数

N=5+4=9新知讲解思考：如果完成一件事有三类不同方案，每类方案中又分别有m,n,k种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？答：N=m+n+k思考：如果完成一件事有n类不同方案.在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？答：N=m1+m2+……+mn新知导入用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，...，A9，B1，B2，...的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？思考：该问题与前一个问题有什么区别？答：该问题中，要完成编号，既要有大写英文字母，又要有阿拉伯数字，只有两者同时存在，才能完成座位编号；上一问题中，只要有英文字母或者数字中的一个即可完成座位编号.新知讲解字母数字得到的号码A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9

解析:由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9＝54种不同的号码.新知讲解思考：你能说出上述问题有什么特征吗？答：要完成上述事情，既要找出大写英文字母又要找到阿拉伯数字，然后结合这两步才能将这件事最终完成.新知讲解完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有

只有各个步骤都完成才算做完这件事情.分步乘法计数原理N=m×n种不同的方法课堂练习(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(

)(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(

)×√例题讲解例2某班有男生30名，女生24名，从中选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？解：第一步，从30名男生中选出1名，有30种不同选法；第二步，从24名女生中选出1名，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有30×24=720种不同的选法．例题讲解例3书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?解：从书架上任取1本书，有三种方案：第一种方案从第1层取1本计算机书，有4种方法；第二种方案从第2层取1本文艺书，有3种方法；第三种方案从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，共有4+3+2=9种.例题讲解(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?解：分3步完成：第1步，从第1层取,1本计算机书，有4种方法；第2步，从第,2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第,3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种.课堂练习1、完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种 B．4种 C．9种 D．20种2、我校教学楼共有5层，每层均有2个楼梯，由一楼到五楼共有（）种走法A．10种 B．16种 C．25种 D．32种CB课堂练习3、某公司利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲、乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.544、现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有____

种.180拓展提高5、现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？答：13+12+9=34（种）(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？答：13×12×9＝1404（种）拓展提高(3)选两人作为代表,要求这两人来自不同的年级，有多少种不同的选法？答：分三种情况讨论：①若选出的是高一、高二学生，有13×12＝156种情况；②若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况；③若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况；由分类加法原理可得，共有156+117+108＝381种选法.链接高考6、某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表所示，现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.乘坐站数0<x≤33<x≤66<x≤9票价（元）234链接高考（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？答：小华、小李两人共付费5元，所以小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费3元的乘坐站数有4，5，6三种选择.如果小华付费2元，小李付费3元，有3+3=6种方案；如果小李付费2元，小华付费3元，也有3+3=6种方案.所以小华、小李下地铁的方案共有6+6=12种.链接高考（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的方案共有多少种？答：小华、小李两人共付费6元，所以小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元.①如果小华、小李一人付费2元一人付费4元，且要满足小华比小李先下地铁，只能是小华付费2元（乘坐站数有1，2，3三种方法），小李付费4元（乘坐站数有7，8，9三种方法），所以共有3×3=9种方法.②如果两人都付费3元，且要满足小华比小李先下地铁，则可能有：小华坐了4站，小李坐了5或6站2种方法；小华坐了5站，小李坐了6站1种方法.共有2+1=3种方法.9+3=12板书设计6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、新知导入二、新知讲解1.分类加法计数原理2.分步乘法计数原理三、例题讲解四、课堂练习五、拓展提高六、课堂总结七、作业布置作业布置课本P5~P6练习

第1~4题第六章

§6.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理《第1课时两个计数原理及其简单应用》课后作业知识点一分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法.m＋n知识梳理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法.思考如何区分“完成一件事”是分类还是分步？答案区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步.知识点二分步乘法计数原理m×n1.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(

)2.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.(

)3.在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.(

)4.从甲地经丙地到乙地是分步问题.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√√一、分类加法计数原理解析因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个).√解析因为椭圆的焦点在y轴上，所以m<n，当m＝1时，n＝2,3,4；当m＝2时，n＝3,4；当m＝3时，n＝4，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个).A.6个 B.8个

C.12个 D.16个√解析因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝5时，n＝1,2,3,4.当m＝4时，n＝1,2,3.当m＝3时，n＝1,2.当m＝2时，n＝1.即所求的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10(个).2.条件变为“设集合A＝{1,2,3,4,5}，m，n∈A”，其他条件不变，有A.8个 B.10个C.12个 D.16个√反思感悟应用分类加法计数原理应注意如下问题(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事.(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的.跟踪训练1

某校高三共有三个班，各班人数如下表：

男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？解从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案.第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法.根据分类加法计算原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法.(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？

男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055解从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案.第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法.二、分步乘法计数原理例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M).问：(1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？解确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步，确定a的值，共有6种方法；第二步，确定b的值，也有6种方法.根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.(2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？解确定第二象限的点，可分两步完成：第一步，确定a，由于a<0，所以有3种不同的确定方法；第二步，确定b，由于b>0，所以有2种不同的确定方法.根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为3×2＝6.反思感悟利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步.(2)计数：求出每一步中的方法数.(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.跟踪训练2从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共____个，其中不同的偶函数共___个.(用数字作答)解析一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的二次函数3×3×2＝18(个).若二次函数为偶函数，则b＝0.a的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6(个).186三、两个原理的综合应用例3现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？解分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法.(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？解分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法.(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法.所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法.反思感悟使用两个原理的原则使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理.跟踪训练3如图，甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.从甲地到丙地共有多少种不同的走法？解要从甲地到丙地共有两类不同的方案：第1类，从甲地经乙地到丙地，共需两步完成：第1步，从甲地到乙地，有3条公路可走；第2步，从乙地到丙地，有2条公路可走.根据分步乘法计数原理，从甲地经乙地到丙地有3×2＝6(种)不同的走法.第2类，从甲地不经乙地到丙地，有2条水路可走，即有2种不同的走法.由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有6＋2＝8(种)不同的走法.123451.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为A.1＋1＋1＝3 B.3＋4＋2＝9C.3×4×2＝24 D.以上都不对√提高演练2.从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为A.6 B.5 C.3 D.212345√123453.现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为A.7 B.64 C.12 D.81√4.用1,2,3这三个数字能写出____个没有重复数字的两位偶数.123452123455.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有_____种不同的取法.48课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)分类加法计数原理.(2)分步乘法计数原理.2.方法归纳：分类讨论.3.常见误区：“分类”与“分步”不清，导致计数错误.1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有A.24种 B.9种 C.3种 D.26种解析不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种选法.基础巩固12345678910111213141516√2.图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，则不同的取法共有A.120种 B.16种 C.64种D.39种12345678910111213141516√解析由于书架上有3＋5＋8＝16(本)书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法.3.已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是A.1 B.3 C.6 D.912345678910111213141516解析这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法.根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点.√4.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有A.30个 B.42个 C.36个 D.35个12345678910111213141516√解析要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36(个)虚数.123456789101112131415165.满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为A.14 B.13 C.12 D.10√解析由已知得ab≤1.当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能.∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.123456789101112131415166.一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法____种.16解析由分步乘法计数原理得共有4×4＝16(种)走法.123456789101112131415167.若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有____种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有____种不同的方法.5612345678910111213141516解析对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法.对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3＝6(种)不同的方法.8.用1,2,3这3个数字可写出没有重复数字的整数有____个.1234567891011121314151615解析分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个；第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共6个.∴可写出没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个).123456789101112131415169.有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加.(1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？解选1人，可分三类：第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法；第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法.共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法.12345678910111213141516(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？解选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行：第1步，选教师，有3种不同的选法；第2步，选男同学，有8种不同的选法；第3步，选女同学，有5种不同的选法.共有3×8×5＝120(种)不同的选法.1234567891011121314151610.若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？解分两类完成：第一类：当A或B中有一个为0时，表示直线为x＝0或y＝0，共有2条；第二类：当A，B都不取0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成：第一步，确定A的值，从1,2,3,5中选一个，共有4种不同的方法；第二步，确定B的值，共有3种不同的方法.由分步乘法计数原理，共确定4×3＝12(条)直线.由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线有2＋12＝14(条).11.某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有A.27种 B.36种 C.54种 D.81种综合运用12345678910111213141516解析小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法，选C.√12.(多选)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程

＝1的说法正确的是A.可表示3个不同的圆B.可表示6个不同的椭圆C.可表示3个不同的双曲线D.表示焦点位于x轴上的椭圆有3个12345678910111213141516√√√12345678910111213141516若椭圆的焦点在x轴上，则m>n>0，当m＝4时，n＝2,3；当m＝3时，n＝2，即所求的椭圆共有2＋1＝3(个)，选项D正确；解析因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.1234567891011121314151613.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为A.26B.24C.20D.19√1234567891011121314151614.从1,2,3,4,5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为A.2B.4C.6D.8解析分两类：第一类，公差大于0，有①1,2,3，②2,3,4，③3,4,5，④1,3,5，共4个等差数列；第二类，公差小于0，也有4个等差数列，即①3,2,1，②4,3,2，③5,4,3，④5,3,1.根据分类加法计数原理可知，共有4＋4＝8(个)不同的等差数列.√拓广探究1234567891011121314151615.设m∈{1,2,3,4}，n∈{－12，－8，－4，－2}，则函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是____.12345678910111213141516解析根据题意，f′(x)＝3x2＋m，又因为m>0，所以f′(x)＝3x2＋m>0，故f(x)＝x3＋mx＋n在R上单调递增，若函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点，只需满足条件f(1)≤0且f(2)≥0，所以m＋n≤－1且2m＋n≥－8，所以－2m－8≤n≤－m－1，当m＝1时，n取－2，－4，－8；当m＝2时，n取－4，－8，－12；12345678910111213141516当m＝3时，n取－4，－8，－12；当m＝4时，n取－8，－12.共11种取法，而m有4种选法，n有4种选法，则函数f(x)＝x3＋mx＋n有4×4＝16(种)情况，1234567891011121314151616.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”.解“渐升数”由小到大排列，则1在首位，2在百位的“渐升数”有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)；1在首位，3在百位，4在十位的“渐升数”有5个；1在首位，3在百位，5在十位的“渐升数”有4个，此时“渐升数”有21＋5＋4＝30(个)，因此按从小到大的顺序排列，第30个“渐升数”必为1359.6.1分类加法计数原理与分步乘

法计数原理（2）人教A版(2019)选择性必修第三册新知导入班上有25名男生，20名女生，要从中选择1人担任班长，一共有多少种不同的选法？分析:可以从25名男生中选择一位担任班长，共有25种不同的选法；也可以从20名女生中选择一位担任班长，共有20种不同的选法.所以共有25+20=45种不同的选法.

新知导入要完成一项工作，有两种方法可以完成，有5个人只会用第一种方法，另外4个人只会用第二种方法，从这9个人中选择一人来完成这项工作，有多少种不同的选法？分析:会使用第一种方法的有5个人，所以可以有5种选法；会使用第二种方法的有4个人，可以有4种选法.所以，要完成该项工作，总共可以有5+4=9种不同的选法.

合作探究思考：上述两个问题有什么共同特征？回答：要完成上述两件事情（选出班长、完成一项工作），都有不同的方案（每种方案包含多种方法）可以独立完成需求.新知讲解完成一件事，有n类办法.在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法

分类加法计数原理每类中的任意一种方法都能独立完成这件事情.新知导入新学期开学，甲、乙、丙3位同学从5个宿舍中挑选一个入住（可以选择相同的宿舍），可以有多少种不同的入住方法？分析:甲同学可以从5个宿舍中挑选一个入住，有5种方法；乙同学也可以从5个宿舍中挑选一个入住，有5种方法；丙同学也可以从5个宿舍中挑选一个入住，有5种方法.共有5x5x5=125种不同的方法.

新知导入班上有25名男生，20名女生，要分别从男生和女生中各选择1名担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？分析:从25名男生中选择1名担任数学课代表，有25种不同的选法；从20名女生中选择1名担任数学课代表，有20种不同的选法.故共有25x20=500种不同的选法.合作探究思考：上述两个问题有什么共同特征？回答：要完成上述两件事情（选宿舍、选课代表），要将每一位学生都安排好宿舍或者要从男生和女生种都选择一名数学课代表，那么这件事情才算完成.新知讲解完成一件事，有n个步骤.在第1步中有m1种不同的方法，在第2步中有m2种不同的方法，…，在第n步中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N=m1x

m2x…xmn种不同的方法.

分步乘法计数原理

只有各个步骤都完成才算做完这件事情.例题讲解例4要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？解：从3幅不同的画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，要分两步完成：

1、从3幅画中选出1幅挂在左边墙上，有3种选法；

2、从剩下的2幅画中选出1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，共有3x2=6种不同的挂法.例题讲解例5给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给多少个程序模块命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符.解：由分类加法计数原理，首字符共有7+6＝13种不同的选法.即最多可以给1053个程序模块命名.后两个字符从1~9中选，因为数字不能重复，所以不同选法的种数都为9.根据分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9＝1053，例题讲解例6电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成.（1）1个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？例题讲解分析：（1）由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可.第1位第2位第3位第8位2种2种2种2种……解：（1）用如右图表示1个字节.1个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是2x2x2x2x2x2x2x2=28=256例题讲解（2）由（1）知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符.前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法，根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数为256x256=65536.该值大于汉字国标码包含的汉字个数6763.因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示.例题讲解例7计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成，如图，这是一个具有许多执行路径的程序模块。(1)这个程序模块有多少条执行路径？(2)为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A例题讲解开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束.而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成.因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.例题讲解开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A解：(1)由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91条；子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81条；由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为91x81=7371条例题讲解(2)在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172.再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3x2=6.如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常.这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178（次）例题讲解例8通常，我国民用汽车号牌的编码由两部分组成：第一部分为由汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代码，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号.其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O、I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？例题讲解解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字.确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为：10x10x10x10x10=10000.例题讲解（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.

当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为24x10x10x10x10=240000.同样，其余四个子类号牌也各有240000张.根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为240000+240000+240000+240000+240000=1200000.例题讲解（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位；第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位；第3位和第4位，第3位和第5位；第4位和第5位。当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1~2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为24x24x10x10x10=576000.同样，其余九个子类号牌也各有576000张.则这类号牌张数一共为576000x10=5760000张.例题讲解综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000课堂练习1.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A.243 B.252 C.261 D.279B2.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A.72种B.48种C.24种D.12种A3.如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).40拓展提高4.某班一天上午有4节课，每节都需要安排1名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F这6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A，B两人中安排一个，第四节课只能从A，C两人中安排一人，则不同的安排方案共有___

_种.365.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．60拓展提高6.将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有（）A．6种

B．9种

C．12种

D．18种C链接高考7.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()BA.24 B.18 C.12 D.9连接高考8.从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为()A．24 B．18 C．12 D．6B由于题目要求的是奇数，那么对此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．板书设计6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、新知导入二、新知讲解1.分类加法计数原理2.分步乘法计数原理三、例题讲解四、课堂练习五、拓展提高六、课堂总结七、作业布置作业布置课本P11~P12习题6.1第六章

§6.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理《第2课时两个计数原理的综合应用》课后作业知识点一两个计数原理的区别与联系

分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题不同点针对的是“分类”问题不同点各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事知识梳理用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步.(1)分类要做到“

”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理

，得到总数.(2)分步要做到“

”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数

，得到总数.知识点二两个计数原理的应用不重不漏求和步骤完整相乘思考分类“不重不漏”的含义是什么？答案“不重”即各类之间没有交叉点，“不漏”即各类的并集是全集.预习小测自我检验YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法___种，若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法____种.9解析根据分类加法计数原理，从中任选1名同学参加学科竞赛，共有5＋4＝9(种)选派方法.根据分步乘法计数原理，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，共有4×5＝20(种)选派方法.202.有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是____.81解析每个信号显示窗都有3种可能，故有3×3×3×3＝34＝81(种)不同信号.4.多项式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)＋(a4＋a5)(b3＋b4)展开式共有____项.103.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有____种行车路线.12解析起点为4种可能性，终点为3种可能性，则行车路线共有4×3＝12(种).解析共有3×2＋2×2＝10(项).一、组数问题解三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个).例1

用0,1,2,3,4五个数字.(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？解三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个).(2)可以排成多少个三位数？题型探究解被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法.因而有12＋18＝30(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？延伸探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？解完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，从1,2,3,4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个).反思感悟对于组数问题，应掌握以下原则(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位.跟踪训练1

用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？解完成这件事可分为三类：第一类是个位数字为0的比2000大的四位偶数，可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，有3种选法.由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3＝48.第二类是个位数字为2的比2000大的四位偶数，可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，有3种选法.由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3×4×3＝36.第三类是个位数字为4的比2000大的四位偶数，其方法步骤同第二类.对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个).二、占位模型中标准的选择例2

(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？解要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)报名方法.(2)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？解每项限报一人，且每人至多报一项，因此跑步项目有4种选法，跳高项目有3种选法，跳远项目只有2种选法.根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有4×3×2＝24(种).(3)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军的得主有4种可能结果，所以共有4×4×4＝64(种)可能的结果.反思感悟在占位模型中选择按元素还是按位置进行分解的标准是“唯一性”，即元素是否选、选是否只选一次，位置是否占、占是否只占一次.解题时一般选择具有“唯一性”的对象进行分解.跟踪训练2某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复).若某车主第1个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有A.180种 B.360种 C.720种 D.960种√解析按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4＝960(种)情况.三、涂色问题例3将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法.②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法.延伸探究本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？解依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色.第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成.第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法；第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法.于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3×2＝120(种).第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成.第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法.于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(种).综上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(种).反思感悟解决涂色问题的一般思路(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析.(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析.(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.跟踪训练3如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，现有5种颜色可供使用，求不同的染色方法.解由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法.当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3，剩余2种颜色分别为4和5.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.由分类加法计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法.由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有60×7＝420(种).四、种植问题例4将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有____种.42

解析分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：abc第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法.(2)若第三块田放a：aba第四块有b或c2种方法，①若第四块放c：abac第五块有2种方法；②若第四块放b：abab第五块只能种作物c，共1种方法.综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法.反思感悟种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数.跟踪训练4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法.解方法一(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18(种).方法二(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同的种植方法24－6＝18(种).3随堂演练PARTTHREE123451.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是A.56 B.65C. D.6×5×4×3×2√解析每位同学都有5种选择，共有5×5×5×5×5×5＝56(种).课时演练2.如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是A.5 B.12 C.15 D.412345√解析当x＝1时，y的取值可能为0,1,2,3,4,5，有6种情况；当x＝2时，y的取值可能为0,1,2,3,4，有5种情况；当x＝3时，y的取值可能为0,1,2,3，有4种情况.根据分类加法计数原理可得，满足条件的(x，y)的个数为6＋5＋4＝15.123453.已知集合S＝{a1，a2}，T＝{b1，b2}，则从集合S到T的对应关系共有A.1个 B.2个 C.3个 D.4个√解析可分两步，第一步，集合S中a1对应到集合T中的元素有2个不同的对应关系；第二步，集合S中a2对应到集合T中的元素，有2个不同的对应关系，由分步乘法计数原理知，从集合S到T的对应关系共有2×2＝4(个)，故选D.4.如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_____种.(用数字作答)12345750解析首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步乘法计数原理得，共有6×5×5×5＝750(种)涂色方法.123455.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有____个.40解析满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有8个；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有8×4＝32(个)，所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个).小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)两个计数原理的区别与联系.(2)两个计数原理的应用：组数问题、占位模型中标准的选择、涂色问题及种植问题.2.方法归纳：分类讨论、正难则反.3.常见误区：分类标准不明确，会出现重复或遗漏问题.1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有A.24种 B.4种 C.43种 D.34种解析第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就完成了这件事情.由分步乘法计数原理可得共有43种方法，故选C.基础巩固12345678910111213141516√123456789101112131415162.由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为A.15 B.12 C.10