向量的数乘运算

向量的数乘运算

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第一部分：考点梳理知识方法技巧总结

第二部分：必会技能常考题型及思想方法

第三部分：配套必刷好题

必会题型一：用已知向量表示相关向量

必会题型二：三点共线问题

必会题型三：利用向量的线性运算解决三角形中的问题

必会题型四：向量的数乘运算综合

第一部分：考点梳理知识方法技巧总结

必会知识一向量的数乘运算

1.向量的数乘的定义

一般地，我们规定实数4与向量a的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作;la,它的长度与方

向规定如下：

⑴四尸同©；

(2)当/1>0时，/la的方向与a的方向相同；当4<0时，4a的方向与a的方向相反.

当2=0时，Aa=O,4a的方向是任意的；

当4=1时，Aa=a；

当;1=-1时，Aa=-a,与a互为相反向量.

【名师点睛】(1)在数乘向量；la中，实数;I称为向量布的系数.

(2)数乘向量的结果仍是一个向量.4a与a是共线向量.

(3)当；1=0或a=O时，均有;la=O,反之亦成立.注意，此时的结果是0,而不是实数0.

(4)实数和向量可以进行数乘运算，但是不能进行加、减运算，如2+a,4-a均无法运算.

⑸当4=J时，言表示与a同方向的单位向量.

|a|1。1

2.向量的数乘的几何意义

数乘向量的几何意义：4a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.具体如下:

IAI>1IAI<1

A>1A<-1O<A<1-1<A<O

将。沿原方向放将。沿反方向放将"沿原方向缩将a沿反方向缩

大到原来的4倍大到原来的IAI小到原来的A得小到原来的“1

得到Aa倍得到Aa至IjAa得到Aa

3.向量;la的作法

实数与向量的积的几何意义是作向量4a的方法.

如图6-2.3-1,己知非零向量a,作向量2a,~\a-

2a

a

•~ia

图6-2.3-1

作法如下：作向量2a时，将向量a同向伸长为原来的2倍；作向量时，将向量a反向

缩短为原来的去

必会知识二向量数乘的运算律

根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的.设;I,〃为实数，那么

(l)A(/za)—(4〃)a(结合律)；

(2)(2+〃)a=Aa+“a(第一分配律)；

(3)A(a+b)=Aa+4b(第二分配律).

特别地，我们有(一/1)。=一(痴)=4(一0),A(a-b)^Aa-Ab.

必会知识三向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量

a,b,以及任意实数九%,林2,恒有4(〃逆±四2瓦)=4〃1(1±4〃24

必会知识四向量共线定理

事实上，对于向量a(aRO),b,如果有一个实数；I,使b=2a,那么由向量数乘的定义可知a与b共

线.

反过来，已知向量a与b共线，且向量b的长度是向量Q的长度的〃倍，即|b|=〃|a|,那么当Q与b同方向

时，有b=〃a；当a与b反方向时，有b=-〃a.

综上，有如下定理：向量a(a40)与b共线的充分必要条件是：存在唯一一个实数九使b=4a.

必会知识五利用向量方法解决三点共线问题

(1)利用向量共线定理证明三点共线的一般步骤:

(1)以三点中任意两个点为端点构造两个有共同端点的向量a,b-.

(2)证明两个向量满足向量共线定理，即存在唯一实数;I,使b=2a或。=如成立；

(3)由两个向量有共同的端点得出结论：三点共线.

(2)若向量0B,沅的终点4,B,C共线，则存在实数九〃，且2+“=1,使得瓦=4次+〃丽,

反之也成立.

【证明】如图623-2,若瓦?，0B,觉的终点4,B,C共线，则近〃或，故存在实数m,使得前

=mAB.

■：~BC=OC-OB,AB=OB-OA,

•OC-OB=m(OB-dA'),

0C=-inOA+(1+m)OB.

令4=-m,〃=l+m,

图6—2.3—2

则存在人〃，且a+〃=l,使得沅=2万？+〃丽.

反之，若赤=/万？+〃而，其中2+〃=1成立，则〃=1一九OC=WA+(1-A)OB.

于是有沉-词=2(瓦？一。E),即放=2瓦?，・•.4,B,C三点共线,

即向量万J,0B,沆的终点在同一条直线上.

必会知识六三角形的中线和重心的向量公式

⑴在MBC中，若。为BC的中点，则而="商+衣).

A

【证明】如图6-2.3-3,以4B,4c为邻边构造平行四边形4BZTC.

•••。为BC的中点，二O为平行四边形4BZTC对角线的交点，

...AD=^AD'.

2“D,

•.~AW=AB+AC,.-.AD=^ADt=^(AB+AC).图6-2.3-3

(2)在AABC中，若G为△ABC的重心，则沅？+商+前=0.

【证明】如图623-4,延长GD至点H,使OH=DG,

显然四边形GBHC是平行四边形，贝I」有砺+GC=GH.

：G为AaBC的重心，..G4=2GD=GH.

•••不与而的大小相等，方向相反，

GA+GH=0rGA+GB+GC=0.

第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳

必会题型一：用已知向量表示相关向量

1.（2023・高一课时练习）已知G是△ABC的重心，则而等于（）

r前石+近

33

【答案】D

【分析】利用向量的加法法则及重心的性质即可求解.

【解析】延长4G交BC于M,则M为BC的中点，.•・询=/而+而）,

...E号加.x：（府+祠=/纥

故选：D

2.（2023•陕西西安♦统考一模）在团ABCD中，则瓦？=（）

A.-AC+-^DB.-AC-^-JDC.--AC+-~BDD.--AC--^D

22222222

【答案】c

【分析】根据给定条件，利用平行四边形性质及向量线性运算求解作答.

JA^BO+OA=-BD--AC=--AC+-JD.

2222

故选：c

3.（2023•全国•模拟预测）在平行四边形48CQ中，E为BC的中点，记荏=出DE=b,则=（）

AA.-1aT+I-3oH

22

【答案】C

【分析】以通、而为基底表示荏、DE,从而解出而、AD,即可求得前.

【解析】荏=同+屋=宿+［同=^=^C+^E=AB-^AD=b,

两式联立得，AD=a-b,而=竽，

所以前=而+AB=a-K+i(a+K)=|a—|b.

故选：C.

4.(2022.全国•高三专题练习)我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最

早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形

结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形

ABC。是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若诟=出AD=b,E为的中点，则乔=

1-,2rr.2-,1r

C.-ad—bD.-QH—b

3333

【答案】A

【分析】根据向量数乘和加减法法则，结合几何图形即可求解.

【解析】AF=AB+JF=AB+JC+CF=AB+AD-^AE=AB+AD-^（AB+AF）,

1

-'一，--r———♦1z——♦■■■

即4F=4B+40-；（43+4F）,

33

一4

而

五

b五

-+==-+-

455b.

故选:A.

5.（2023秋・山西长治•高三校联考阶段练习）已知平行四边形48co中，E为边40的中点，4C与8E相交于

点F,若加=筋行+丫而，则（）

AA.x=-1,y=1—nB.%=",iy=l—

3z62）4

c11「11

C-X=3^=-3D-%=2，y=一三

【答案】A

【分析】先由平面几何得到AF=；4C,再利用平面向量的线性运算得到前=；近-;同，从而得解.

33o

【解析】4。〃8。津为边4。的中点，「噂=言=AF=-AC,

rLDCL3

>>1.......♦1,1一■,i/..........♦....>、1.........,・1•一.•

•••EF=EA+AF=--AD+-AC=--AD+-（AB+AD}=-AB--AD,

2323、736

11

--

36

故选：A.

6.（2022秋•河北保定•高二定兴中学校联考阶段练习）在四面体A8CO中，CE=2ED,则成=（）

A.-AB+-AC+-ADB.-而+:而+|而

33

C.AB+-AC+-ADD.AB+-AC+-AD

3333

【答案】B

【分析】利用平面向量的线性运算即可求解.

【解析】因为3=2而，所以谓=:而，则

BE=BA+AE=-AB+4C+CE=-AB+ZC+±（AD-AC）=-AB+-AC+-AD.

故选：B.

7.（2022春•广东清远•高一校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，点。在边BC上，且CD=2DB,点E

在AO上，且AD=3/E,则（）

■11、214''111-----k

A.AD=-AC-^-ABB.CE=-AD-AC

333

C.CE=-ABA--ACD.CE=-AB--AC

9999

【答案】ABD

【分析】本题考查平面向量得线性运算，尤其是向量减法时注意：由减向量的终点指向被减向量的终点.

【解析】'：CD=2DB,点E在40上，AD=3AE,

：.AD=AC+CD=AC+1CB=AC+l（AB-AC）=^AC+^AB,

1...1，…*y...、2.Q.....

-

3

故选：ABD.

8.［多选］（2022春・江苏扬州・高一扬州中学校考阶段练习）设点M是AABC所在平面内一点，则下列说法

正确的是（）

A.若丽=马前,则前=工南+2前

333

B.若丽=2衣-3万，则点M、B、C三点共线

C.若点M是△ABC的重心，则海+前+而=6

D.若前=x荏+y无且x+y=%则△MBC的面积是△4BC面积的|

【答案】ACD

【分析】A：根据向量的数乘和加减法法则即可判断；B：根据向量共线的性质即可判断；C：根据三角形

重心的性质即可判断；D：根据向量共线和三角形面积即可判断.

【解析】对于A,而=|前=而一四=|（衣一宿）=獭=,而+|近，故A正确；

对于B,若M、B、C三点共线，则存在唯一实数，使得而=4就，

则近-AM=A（AC一同）=询=（1+A）AB-AAC,

•丽7=2衣一3而，2,则幺无解，故时、B、C三点不共线，故B错误；

（X=3

对于C,延长AM交8c于O,是△A8C重心，是8c中点,

：.~MA+MB+HlC='MA+AM=O,故C正确；

对于D,•.•祠=x^I+y而且x+y=：,：.3AM=3xAB+3yAC,3x+3y=l,

设同=3询，则而=3筋布+3y/，3x+3y=1,则B、C、。三点共线，

由可知AMBC的面积是A4BC面积的“故D正确.

9.（2022.高一课前预习）如图所示，在AABC中，NC=3AN,P是BN上的一点，若丽=m而近,

则实数m的值为.

【答案】看

【分析】设前=2而，利用於=AB+前将不用而，而表示出来，再利用平面向量基本定理列方程

组计算即可.

【解析】；P是BN上的一点，

设前=4而，又丽=:近，

则加=AB+JP=AB+ABN=AB+A(AN-AB)

=(1-Z)AB+XAN=(1-JC)AB+-AC=mAB+—AC.

411

解得a=*m=ri'

故答案为：亮.

必会题型二：三点共线问题

1.（2022秋•内蒙古兴安盟•高二校考阶段练习）设五花是两个不共线的向量，若向量沆=6+我（卜€/?）与向

量k=2五一3共线，贝比）

A.fc=-1B.k=0C,k=\D.k=l

【答案】A

【分析】根据平面向量共线定理即可求解.

【解析】1•五万是两个不共线的向量，且沆〃五，故存在实数九

使得沅=An=五+kb=22a—Abn2'—\=>k=--.

Ik=­X2

故选：A.

2.（2022秋.山东淄博.高二沂源县第一中学校考阶段练习）设出3为不共线向量，AB=a+2b,BC=-4a-

b,CD=-5a-3b,则下列关系式中正确的是（）

A.AD=BCB.AD=2BCC.AD=-BCD.AD=-2BC

【答案】B

【分析】根据平面向量线性运算法则求出而，即可判断.

【解析】因为羽=a+2%BC=-4a-b,CD=-5a-3b,

所l^AD=AB+JC+CD=-8a-2b=2BC,

则关系式中正确的是而=2前，

故选：B.

3.（2022春•河北唐山•高一校联考期中）在NBC中，点P在边BC上，且BP=2PC,过点尸的直线/与

射线AB,AC分别交于不同的两点M,N,若48=mA",AC=nAN,则下列关系式成立的是（）

A.3m4-n=4B.m+3n=4C.2m4-n=3D.m+2n=3

【答案】D

【分析】先由向量的线性运算得到而=：四+：而，结合=AC=nAN^AP=^mAM+

由题意知：AP=AB+JP=AB+=AB+^（AC-AB）=^AB+^AC,又而=m询，AC=

nAN,

即衣而+,而，由P,M,N三点共线，可得;m+：n=l,即m+2n=3.

故选：D.

4.（2022.高一课时练习）已知屈=3（宙+或），覆=与-宙，0=2瓦+石，则下列结论中成立的是

（）

A.A,B,C三点共线B.A,B,。三点共线

C.A,D,C三点共线D.D,B,C三点共线

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算可得而=2CD,从而可求解.

【解析】AC=AB—CB=3（酉+匹）—（ej—e^）=4匹+2匹=2CD,

所以4,D,C三点共线.

故选:C.

5.（2022秋・广西玉林•高二校考阶段练习）已知向量3,B不共线，且同=益+4人BC=-d+9b,CD=

3a-b,则一定共线的是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出前，石，再利用共线向量定理逐项判断作答.

【解析】向量市区不共线，且彳豆=五+45，FC=-a+9b,CD=3a-b,

JD=JC+CD=2a+8b=2（a+4b）=2AB,则有同〃而，而近，昉有公共点8,有A,B,D共

线，A是；

BC*0,不存在实数九使得而=2就，因此而，就不共线，A,B,C不共线，B不是；

BC^O,不存在实数〃，使得而=〃前,因此就，而不共线，B,C,。不共线，C不是；

AC=AB+JC=13b*0,不存在实数t,使得而=t而，因此配，而不共线，A,C,。不共线，D不

是.

故选：A

6.（2022秋.湖北武汉.高三华中师大一附中校考期中）已知向量3与3不共线，且3a-高与-2板共线，

则4=・

【答案】+V6

【分析】根据向量共线定理列方程求解即可.

【解析】因为3五-石与府-2石共线，

所以存在唯一实数4，使3五一；1方=〃（4五一2石），

即3五—M）—〃/五—2〃b,

因为向量,与了不共线，

所以。=4。，解得；1=±乃，

故答案为：±①

7.（2022春•河南平顶山•高一校考阶段练习）设两个非零向量d与B不共线.

（1）若荏=2+反，BC=2a+8b,CD=3（a-6）,求证A,B,。三点共线.

⑵试确定实数匕使A3+3和d+无共线.

【答案】⑴证明见解析；

（2）fc=1或k=-1.

【分析】（1）转化为证明向量近，前共线，即可证明三点共线；

（2）由共线定理可知，存在实数;I,使k五+石=4（五+"石），利用向量相等，即可求解々的值.

【解析】（1）因为南=有+%BC=2a+8b,CD=3（a-h）,,

所以前=BC+CD=2a+86+3（a-b）

=2a+8b+3a—3b=5（a+ft）=SAB

所以近，前共线，

又因为它们有公共点B,

所以4,B,。三点共线；

(2)因为k五+石和五+k石共线，

所以存在实数人使九五+方=乂五+九石)，

所以々五+b=Aa+kXb,

即(fc-A)a=(fcA-1)6.

又诡了是两个不共线的非零向量，

所以k—4=—1=0

所以"2一1=o,

所以k=1或k=-1.

8.(2023秋・北京昌平•高一统考期末)如图，在A/IBC中，AM==a,AC=b.

⑴用d,B表示就，为7；

(2)若P为△ABC内部一点，且而=三+的.求证：M,P,N三点共线.

【答案】(1)前=万一五，MN=^b+-a

26

(2)证明见解析

【分析】(D由图中线段的位置及数量关系，用衣，前表示出前，而，即可得结果；

(2)用五石表示加+前，得至1」而=，询+〃而Z,根据向量共线的结论2+〃=1即证结论.

【解析】(D由题图，BC=AC-AB=b-a,

MN=BN-BM=^BC+^AB=^(b-a)+-a=^b+^a.

(2)由翁+丽=工同+配+丽=工宿+配-2前=」值+石一工(万一五)=-a+-6,

33232ky62

又而=六五+与，所以屈=；祠+；前，故M,P,N三点共线.

12422

c

必会题型三：利用向量的线性运算解决三角形中的问题

1.（2022春.广东潮州•高一潮州市松昌中学校考期中）如图，△力BC中，AD.BE、CF分别是BC、CA.

4B上的中线，它们交于点G,则下列各等式中不无理的是（）

【分析】利用向量运算对选项进行分析，由此确定正确选项.

【解析】依题意△ABC中，AD.BE、C尸分别是BC、CA.AB上的中线，

所以G是三角形4BC的重心.

所以前=|诙，A选项正确.

DG=~IAG,B选项错误.

^DA+^FC=DG+GC=DC=^BC,C选项正确.

CG=-2FG,D选项正确.

故选：B

2.已知。是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点尸满足加=市+4（居|+禽）

QeR）,则点尸的轨迹一定经过△ABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P轨迹.

【解析】因为搐为正方向上的单位向量，备为前方向上的单位向量，

\AB\14cl

则^+翡的方向与NB4C的角平分线一致，

由赤=赤+，（篇+臣），可得赤一成=MiSi+iii），

即酢="（儡+前），

所以点尸的轨迹为4B4C的角平分线所在直线，

故点P的轨迹一定经过448c的内心.

故选：C.

3.（2022.全国•高一假期作业）已知点O,P在A/IBC所在平面内，满市+赤+方=6,|互?|=|而|=

\PC\,则点O,P依次是AABC的（）

A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心

【答案】A

【分析】设4B中点为。，进而结合向量加法法则与共线定理得0,0,C三点共线，。在△4BC的中线CD,进

而得。为△ABC的重心，根据题意得点P为△ABC的外接圆圆心，进而可得答案.

【解析】设4B中点为。，因为苏+而+祝=6,

所以万？+而+沆=2而+祝=6,即-2前=沆，

因为同，沆有公共点0,

所以，0,D,C三点共线，即。在AABC的中线CD,

同理可得。在△ABC的三条中线上，即为△ABC的重心；

因为|可=\PB\=\PC\,

所以，点P为△ABC的外接圆圆心，即为△4BC的外心

综上，点0,P依次是aABC的重心，外心.

故选：A

4.（2022春•四川绵阳•高一统考期中）已知点0为AABC内一点，且石？+2赤+3元=6,则△4。（?与4

力BC的面积之比为（）

【答案】B

【分析】根据条件确定。在△ABC中位线上，且0为靠近N的三等分点，进而得到AAOC与AABC

的面积之比.

【解析】设AC的中点是M,BC的中点是N,

由题有（万3+沆）+2（而+沃）=6,即2两+4而=6,OM=-2ON,

所以。在△48C中位线MN上，且O为靠近N的三等分点，

设SaONC=k,则SaOMC=2A,SWAC=4A,S」ABC=12k

所以红3=色=]

S^ABC12k3

故选：B.

5.（2022•全国•高三专题练习）已知△力BC,/是其内心，内角4B,C所对的边分别a,b,c,则（）

A.AI=^（AB+AC）B.汨=千+等

C.汨=0+且D.汨=遂+成

a+b+ca+b+ca+ba+c

【答案】c

【分析】结合平面向量线性运算以及正弦定理等知识求得正确答案.

【解析】延长4LB/,G,分别交BC,4c,4B于。,E,F.内心是三角形三个内角的角平分线的交点.

在三角形48。和三角形中，由正弦定理得：

BD_c_________CD_b

sin（｝BAC）sim-ADB'sin（2B4C）sin^ADC9

,I,-T~->.Acr>>,4cA（CDBDcBDcBDc—,lie

由于sinz_4OB=sir\Z.ADC9所以—=,—=:，-----=■：—,—=■—,nBD="—,

cb'CDbBD+CDb+c'ab+c'b+c

同理可得^=弟嬴=悬=务

A-C'ADcACb+c

AI=-...=-ac--•AD—AD.

BD+cHb+c+ca+b+c

所以而=而+前=而+土就=而+土（前-而）

=》B+W"C，

贝哈蔑・荷=^（堤而+总均b近+就而

a+b+c

故选：c

6.（2022•全国•高一假期作业）（1）如图，OP,而不共线，R是直线PQ上的动点，证明：存在实数;I,林,

使得浜=4加+”而，并且;l+〃=L

（2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）设丽=t所，利用向量的减法可得赤-而=t（而一赤），继而可得而=（1-t）丽+

tOQ,由此可得结论；

（2）利用（1）的结论，先设设BE、C户交于一点G,只需要证明4。过点G,利用向量证明证明而=

IAD,说明A、G、。三点共线，即可证明结论.

【解析】（D证明：因为R是直线PQ上的动点，

所以不妨设而=£所（t为实数），

则而-OP=t（OQ-OP）,OR=（1-t）OP+tOQ,

令4=1—3n—t,

则有赤=20P+fiOQ,并且；I+〃=1,

所以存在实数九",使得而=4而+〃而，并且4+〃=1.

（2）如图，△ABC中，D、E、尸分别是边8C、C4、48的中点，

求证：AD.BE、C尸交于一点.

A

证明：不妨设5E、CF交于一点G,连接AG,

因为。、E、尸分别是边8C、CA.的中点，

所以荏=g衣，AF=^AB,AD=^（AB+AC）,

根据（1）的结论得，

在△ABE中，AG=XAB+/1AE=XAB+^AC,4+〃=1,A,〃为实数.

在AACF中，AG=xAC+yAF=xAC+^AB,x+y=1,x,y为实数.

所以1I，｛MW：：，解得f='=：，

A+M=1+zx-i（y=〃=Q

lx+y=1

所以前=式通+祠，

即同=I而，AG,A、G、。三点共线，

所以40、BE、CF交于一点.

必会题型四：向量的数乘运算综合

1.3（a+b）-2（5-ft）-a=（）

A.5aB.5bC.-5aD.-5^

【答案】B

【分析】根据向量运算加减法的运算公式，即可求解.

【解析】根据向量运算公式可知，

3（a+K）-2（a-ft）-a=3a+3&-2a+26-a=5b.

故选：B

2.（2022秋•新疆省直辖县级单位•高三新疆石河子一中校考阶段练习）设。为△ABC所在平面内一点，且满

足加=3RD,贝IJ（）

A.AD=lAB-^ACB,而=|而+/而

C.AD=-AB--ACD.AD=-AB+-AC

3333

【答案】A

【分析】利用向量的加减、数乘运算即可求得.

【解析】VCD=3前，所以而=3前三点共线且|而］=3|前卜如图所示:

：.CB=2BD,即前国

•1•AD=AB+BD

—.1-.

=AB+-CB

2

AB+^（AB-AC'）

故选：A.

3.(2022.全国•高三专题练习)2021年是中国共产党建党100周年，“红星闪闪放光彩”，国旗和国徽上的

五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图

所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且加=雪灼，设丽—丽=•的，

则2=()

【答案】D

【分析】根据五角星中长度关系，结合向量加法运算法则进行求解即可.

【解析】五角星中，IS=RC,AP=QC,

则诟-AP=RC-QC=RC+~CQ=RQ,

由于前=等而=而=高诵=军而=一亨的=与叵的

则;1=啜

故选：D

4.(2022•高一课时练习)如图，在平行四边形ABCZ)中，E,F分别为线段AD,CD的中点，且4尸n

CE=G,贝I」()

一、2..*1*

A.AF=AD--ABB.AG=-AD--AB

33

C.EF=^(AD+AB)D.BG=3GD

【答案】C

【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得衣=而+1而EF=l(AD+AB^AG=1AD+

IAB.BG=2GD,即可判断选项的正误.

【解析】存=而+而=而+1丽=而+1近，即A不正确；

连接AC,知G是AADC的中线交点，如下图示

由其性质有黑=陶=；

\AG\|CG|2

：.AG=1AE+^AC=1AD+l(AB+BC)^lAD+^AB,即B不正确;

EF=ED+DF=(AD+DC)=|(AD+AB),即C正确；

同理前=|BF+|B1=1(BC+CF)+1(40-AB)

DG=^DF+^DA=：（AB+D4）,即GD=：（40-4B）

：.BG=2GD,即D不正确；

故选：C.

5.（2022春.湖北武汉.高一武汉市第H"一中学校联考期中）点。是AABC内一点，且满足3M+4而+

5OC=0.则由磔的值为（）

ShABC

A.-B.-C.—D.-

57123

【答案】c

【分析】先化简得至吟而+：而=*沆，设-?沆=彷，判断出A,B,D三点共线，得出黑进而

由也3="求出答案

5A4BCICDI

【解析】由35彳+4丽+5沆=6可得:万5+：砺=一：近，设一;沆=而，^OA+^OB=OD,可

知4B,。三点共线，且反,而反向共线，如下图所示：

44,|00|_5|OD|_5S^AOB_|OD|_5

IYV―’.’—.

|OC|7||CD|12S«ABC\CD\12

故选：C.

6.［多选］（2022春•福建泉州•高一福建省德化第一中学校考阶段练习）已知点。为△ABC所在平面内一

点，且南+2万+3而=6,则下列选项正确的是（）

A.AO=-AB+-ACB.直线4。必过BC边的中点

24

C.S-OB：SA4OC=3:2D.若|而|=|而|=1且而J.沆,贝"品|=我

【答案】AC

【分析】利用平面向量的加法化简可判断A选项；设BC的中点为E,求出荏，判断而、荏的位置关系，

可判断B选项；利用重心的几何性质结合三角形的面积公式可判断C选项；利用勾股定理可判断D选项.

【解析】对于A选项，因为四+2OB+3OC=AO+2（OA+AB）+3（04+而）=404+2AB+

3而=6,

所以，AO=^AB+yAC,A对；

24

对于B选项，设BC的中点为E,则近=而+而=而+称前=同+：（而而）=3同+g后，

因为赤、照不共线，且同=；而+?而，显然而、近不共线，

24

即直线40不过BC边的中点，B错；

对于C选项，作万万=前，OB7=20B,0C=30C,如下图所示：

由前+20B+30C=6可得南+OB'+0C=0,贝1J0为44'*。的重心，

延长4'0交BC'于点M,则M为BC'的中点，所以，SAOMB，=SAOMC、

由重心的性质可知不5=20M,则”配=寓=2,

S^OMCf\OM\

所以，S△/od=2S&oMd=SAOBG，同理可得=^^OB'C'9

5"—]^7|=2,即S-08=S&NOB~2^OB,9同理可得Sfoc二二"。。，，

因此，^0B：5A40C=i：i=3:2,C对；

对于D选项，若向闻=|0C|=1且而1OC,贝lj国|=J|OB|2+|西z=V2,D错.

故选：BC.

7.（2022・全国•高三专题练习）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序

时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上

中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边

三角形组成的一个较大的等边三角形，设而=，而+〃而，且DF=k4F,能推出；1+〃=/，则正实数

k的值为____________

【答案w

【分析】先利用赤=k而得到而=备而+6荏，再利用而=1近求出荏=备而+高都，

结合题目中而=义而+〃而，解方程求出k即可.

【解析】由题意知族=乌=理=九，则而=kBD,~EF=kCE,AD=（k+1）AF,由赤=%前得近-

AFCEDB

AD=k（AD-AB）,

即同=±而+4近，同理丽=人市得荏=上京+二而，yjF=-^-AD,所以荏=工衣+

k+1k+1k+lk+1k+1k+1

则而=言而+看近=含四+六［备前+岛5珂，所以［1-岛^而二备而+加3福

所以而=搭再南+*而又2+〃=瑞故黯+*=瑞又心。，解得

故答案为：5.

8.（2022•全国•高三专题练习）如图，在A4BC中，点P满足乔=2万，过点P的直线与48,4C所在的直

线分别交于点M,N若前=4万，丽=〃羽,（4>0,〃>0）,则4+〃的最小值为.

【答案】1+詈

【分析】先利用条件找到热+得=1，则2+〃=U+〃）•信+号），利用基本不等式求最小值即可.

【解析】前=前+"，PC=PA+AC,又前=2左，

:.-AB+AP=2（AC-4P）,

AAP=iAB+-AC=々赢+—AN,

333A3g

又P、M、N三点共线，吗+得=1,

•"+〃=（，+〃）,信+^=G+§+偌+粉2i+2jFI=i+争

当且仅当芸=?,即2=苧,4=竽时取等，

SAJ/'33

**•A+〃的最小值为1+

9.(2022•全国•高三专题练习)计算：

(1)|(a4-b)—|(h—a)+1(0—a)；

(2)(4+ii)(2a.—Z?)—(34+5/z)(—a.—3b),A,/zGR.

【答案】(曜五+#

(2)(52+7〃)五+(8A+14”)不

【分析】(1)利用平面向量线性运算的运算律进行计算.

(2)利用平面向量线性运算的运算律进行计算.

【解析】⑴原式=：互+jb-[b+菖+:0-•)

J3〉AJJ

2一3一-2-3—1-

=(50+三。一弓。)+(了-三6+弓())

OOOOOO

14T,1T

(2)原式=(入+")(2五—h)—(3A+5〃)(一五—3b)

-2(A+〃)a—(A+")b+(32+5〃)a+3(32+5")b

=(22+24+3入+5")五+(9入+15〃—A—〃)b

=(52+7g)a+(82+14g)h.

10.(2023•高三课时练习)已知点G为△ABC的重心.

⑴求褊+通+福

⑵过G作直线与48、AC两条边分别交于点M、N,设施=万福AN=yAC,求;+:的值.

【答案】⑴6

(2)3

【分析】(D根据已知得出训、GB,沆与三边所在向量的关系，即可根据向量的运算得出答案；

(2)根据已知得出布=式同+前)，结合询=而豆，AN^yAC,根据M、N、G三点共线，结合向

量运算与向量相等的定义列式整理，即可得出答案.

【解析】⑴・••点G为△4BC的重心，

：.GA=^(JBA+CA),GB=^(AB+CB),GC=^(AC+BC),

■GA+GB+GC=^(BA+CA+AB+CB+AC+BC")=^xO=O,

(2)••・点G为AABC的重心，

AG=^(AB+AC),

■■MG=AG-AM,

=i(Afi+硝-xAB,

=(A*)方+/，

GN=AN-AG,

=yAC-l(AB+AC),

=-lAB+(y-r)AC,

•••丽与丽共线，

二存在实数九使得而=2而，

则(一)同+萍=%[-萍+(y-g网，

(--x=--A

消去义可得%+y—3xy=0,

两边同除%y,整理得:+；=3.

第三部分：配套必刷好题

必会题型一：用已知向量表示相关向量

1.（2023秋・北京昌平•高一统考期末）如图，在矩形4BCC中，对角线4C,BD交于点0,则下列各式一定成

立的是（）

A.AB=CD

B.AC='BD

C.AO=-CA

2

D.AO=1（AB+AD）

【答案】D

【分析】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.

【解析】由图知：AB=DC=-CD,故A错误；前，前不相等，即衣片前，故B错误；

AO=^AC=-1CA,故C错误；AO=^（AB+AD）,故D正确.

故选：D

2.（2023秋•江苏南通・高三统考期末）设G为AABC的重心，则襦+2祠+3岳=（）

A.0B.ACC.BCD.AB

【答案】B

【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.

【解析】因为G为ZiABC重心，

所以记+GB+GC=0,

所以m