《6.2.1 排列与排列数》教案与分层同步练习

《6.2.1排列与排列数》教案（第一课时排列）课标要求素养要求1.通过实例理解排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题.通过学习排列的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.【课前预习】新知探究“排列三”是中国福利彩票的一种，它是使用摇奖机、摇奖球进行摇奖的，“排列三”，“排列五”共同摇奖，一次摇出5个号码，“排列三”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码的前3位，“排列五”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码，每日进行开奖．问题福彩3D即“排列三”摇出的号码的总的结果数是多少？提示以第1位数为例，第1位的奖号是从0到9这10个数字中摇出一个，每个数字都有相同概率摇出，所以第1位上就有10种可能，同理第2位、第3位都各有10种可能，前3位总共就有1000种组合方法．排列的定义排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序”一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．拓展深化[微判断]1．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(×)提示在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列与原来的排列不同．2．在一个排列中，同一个元素不能重复出现．(√)3．从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列．(×)提示从1，2，3，4中任选两个元素并按照一定的顺序排成一列，才能组成一个排列．4．从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．(√)[微训练]1．有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，则送法共有()A．5种 B．3种C．60种 D．15种解析从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学的一种送法，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此，共有送法5×4×3＝60(种)．答案C2．从5名同学中选出正、副组长各1名，有__________种不同的选法(用数字作答)．解析从5名同学中选出正、副组长各1名，即从5个不同元素中选出2个元素进行排列，不同的选法种数为5×4＝20.答案20[微思考]用1，2，3这三个数字共可以排成多少个无重复数字的三位数？123与321是不是相同的排列？提示共可以得到6个三位数，123与321是不同的排列，只有两个排列元素相同，顺序也相同时，才是同一个排列.【课堂互动】题型一排列的概念【例1】判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)，(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)，(5)，(6)属于排列问题.规律方法判断一个具体问题是否为排列问题的方法【训练1】下列问题是排列问题吗？(1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？解(1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是．理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题．题型二排列的列举问题【例2】(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成无重复数字的两位数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．解(1)由题意作“树状图”，如下．故组成的所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个．(2)由题意作“树状图”，如下．故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.规律方法利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．【训练2】写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．解由题意作“树状图”，如下，故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.题型三排列的简单应用【例3】用具体数字表示下列问题．(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；(2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．解(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99＝9900(个)．(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1＝6(个)．(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，共有5×4×3×2＝120(个)分配方案．规律方法要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么.【训练3】(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个不同元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×6×5＝210(种)不同的送法．(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理知，共有7×7×7＝343(种)不同的送法.【素养达成】一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象素养及数学运算素养．2．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．二、素养训练1．从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题()A．1 B．3C．2 D．4解析因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．答案C2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙解析选出两人，两人的不同顺序都要考虑．答案C3．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A．8种 B．16种C．18种 D．24种解析可分三步：第一步，排最后一个商业广告，有2种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告，有2种；第三步，余下的两个排公益宣传广告，有2种．根据分步计数原理，不同的播放方式共有2×2×2＝8(种)．故选A.答案A4．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有__________种不同的种法(用数字作答)．解析本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1680(种)．答案16805．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示______种不同的信号．解析第1类，挂1面旗表示信号，有3种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有3×2＝6(种)不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有3×2×1＝6(种)不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有3＋6＋6＝15(种)．答案15【课后作业】基础达标一、选择题1．(多选题)下面问题中，不是排列问题的是()A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．答案BCD2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为()A．6 B．4C．8 D．10解析列“树状图”如下：故共有丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲4种排列方法．答案B3．从2，3，5，7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有()A．6个 B．10个C．12个 D．16个解析不同结果有4×3＝12(个)．答案C4．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是()A．9 B．10C．18 D．20解析lga－lgb＝lgeq\f(a,b)，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b，共有5×4＝20(种)，其中lgeq\f(1,3)＝lgeq\f(3,9)，lgeq\f(3,1)＝lgeq\f(9,3)，故其可得到18种结果．答案C5．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为()A．6 B．9C．12 D．24解析组成的四位数列举如下：1012，1021，1102，1120，1201，1210，2011，2101，2110，共9个．答案B二、填空题6．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了__________条毕业留言(用数字作答)．解析根据题意，得40×39＝1560，故全班共写了1560条毕业留言．答案15607．2020北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为__________．解析由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．答案608．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有__________种不同的招聘方案(用数字作答)．解析将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有5×4×3＝60(种)．答案60三、解答题9．判断下列问题是否为排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？(4)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1?解(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．(4)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，不管a＞b还是a＜b，方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．10．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？解对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站，因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列的个数为21×20＝420.所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．能力提升11．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为()A．54 B．45C．5×4×3×2 D．5解析由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种．答案D12．将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树状图列出所有可能的排法．解由题意作“树状图”，如下：故所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种．创新猜想13．(多选题)下列问题中是排列问题的是()A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动C．从a，b，c，d中选出3个字母D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数解析由排列的定义知AD是排列问题．答案AD14．(多空题)从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成____________个以b为首的不同的排列，它们分别是_________________．解析画出树状图如下：可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.答案12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed第二课时排列数课标要求素养要求1.能利用计数原理推导排列数公式.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.通过排列数公式的学习，提升数学抽象素养及逻辑推理素养.【课前预习】新知探究在上海交通大学建校120年周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍，那么这29位大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？问题上述情景中的问题能否用一个公式来表示？提示上述问题情景中的问题可以用公式Aeq\o\al(29,29)来表示．1．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示.2．排列数公式注意排列数公式的特征：m个连续自然数之积；最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝eq\f(n！,（n－m）！).3．全排列将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是n个元素的全排列数公式可以写成：Aeq\o\al(n,n)＝n!，另外规定，0！＝1.拓展深化[微判断]1．排列与排列数的含义相同．(×)提示“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数．2．从4个不同元素中任取3个元素的排列数为Aeq\o\al(3,4)＝24.(√)[微训练]1．Aeq\o\al(3,9)等于()A．9×3 B．93C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3答案C2．若Aeq\o\al(m,10)＝10×9×…×5，则m＝__________．答案6[微思考]1．排列数Aeq\o\al(m,n)公式的特点是什么？提示第一个因数是n，后面一个因数比它前面的一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共m个因数相乘．2．从1，2，3，4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？提示4×3×2＝24(个).【课堂互动】题型一排列数公式及应用【例1】(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)；(2)计算eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9)).(3)证明Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).(1)解因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).(2)解eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1.(3)证明法一因为Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(（n＋1）！,（n＋1－m）！)－eq\f(n！,（n－m）！)＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,（n＋1－m）！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，所以Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).法二Aeq\o\al(m,n＋1)表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有Aeq\o\al(m,n)个．含有a1的可这样进行排列：先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有Aeq\o\al(m－1,n)种排法．故Aeq\o\al(m,n＋1)＝mAeq\o\al(m－1,n)＋Aeq\o\al(m,n)，所以mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n).规律方法排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．【训练1】不等式Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)的解集为()A．[2，8] B．[2，6]C．(7，12) D．{8}解析由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)，得eq\f(8！,（8－x）！)<6×eq\f(8！,（10－x）！)，化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，①又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－2≥0，))所以2≤x≤8，②由①②及x∈N*，得x＝8.答案D题型二排队问题【例2】三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)种不同的排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又有Aeq\o\al(3,3)种不同的排法，因此共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,3)＝4320(种)不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有Aeq\o\al(5,5)种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有Aeq\o\al(3,6)种排法，因此共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,6)＝14400(种)不同的排法．(3)法一(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有Aeq\o\al(2,5)种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(种)不同的排法．法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)种不同的排法，从中扣除女生排在首位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)种排法和女生排在末位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(种)不同的排法．法三(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有Aeq\o\al(3,6)种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有Aeq\o\al(5,5)种不同的排法，所以共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(5,5)＝14400(种)不同的排法．(4)法一(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)种不同的排法；如果首位排女生，有Aeq\o\al(1,3)种排法，那么末位就只能排男生，这样可有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，因此共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(种)不同的排法．法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(种)不同的排法．规律方法排队问题的相邻、不相邻问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻等问题．(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素视为一个整体进行排列．(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决，即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.【训练2】分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为Aeq\o\al(6,6)＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有Aeq\o\al(1,4)种选法，然后其他5人排，有Aeq\o\al(5,5)种排法，故排法种数为Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480(种)排法．题型三定序问题【例3】五个人排成一排，求满足下列条件的不同排列各有多少种．(1)A，B，C三人左中右顺序不变(不一定相邻)；(2)A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻)．解(1)首先五个人站成一排，共有Aeq\o\al(5,5)种排法，其中A，B，C三人的全排列有Aeq\o\al(3,3)种排法，而A，B，C从左到右的顺序只是其中一种，所以满足条件的排法共eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(3,3))＝20(种)．(2)同(1)，不过此题中A和B，C和D被指定了顺序，则满足条件的排法共eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2))＝30(种)．规律方法在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：(1)整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，则先将这m＋n个元素排成一列，有Aeq\o\al(m＋n,m＋n)种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有Aeq\o\al(m,m)种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有eq\f(Aeq\o\al(m＋n,m＋n),Aeq\o\al(m,m))种满足条件的不同排法；(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．【训练3】(1)7人排成一列，甲必须在乙的后面(可以不相邻)，有__________种不同的排法．(2)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有__________个七位数符合条件．解析(1)7人排队，2人顺序固定，∴共有eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(2,2))＝2520(种)不同的排法．(2)若1，3，5，7的顺序不定，有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)排法，故1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的eq\f(1,24)，故有eq\f(1,24)Aeq\o\al(7,7)＝210(个)七位数符合条件．答案(1)2520(2)210【素养达成】一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用．3．求解排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法二、素养训练1．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有()A．10种 B．60种C．125种 D．243种解析依题意，满足题意的不同的填法共有Aeq\o\al(3,5)＝60(种)，选B.答案B2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种 B．216种C．240种 D．288种解析根据甲、乙的位置要求分为两类：第一类：甲在最左端，有Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4Aeq\o\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．答案B3．6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有()A．720种 B．360种C．240种 D．120种解析将甲、乙两人视为1人与其余4人排列，有Aeq\o\al(5,5)种排列方法，甲、乙两人可互换位置，所以总的排法有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240(种)．答案C4．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．解析5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×Aeq\o\al(4,4)＝96(种)．答案965．解方程Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x).解根据题意，原方程等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，,x≥3，,x∈N*，,（2x＋1）·2x·（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1）（x－2），))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥3，,x∈N*，,（2x＋1）（2x－1）＝35（x－2），))整理得4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N*)，解得x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝\f(23,4)∉N*，舍去)).【课后作业】基础达标一、选择题1．4·5·6·…·(n－1)·n等于()A．Aeq\o\al(4,n) B．Aeq\o\al(n－4,n)C．n！－4! D．Aeq\o\al(n－3,n)解析因为Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以Aeq\o\al(n－3,n)＝n(n－1)(n－2)…[n－(n－3)＋1]＝n·(n－1)(n－2)·…·6·5·4.答案D2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有()A．60种 B．48种C．36种 D．24种解析把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)排法．答案D3．某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有()A．24种 B．36种C．48种 D．72种解析若第一棒选A，则有Aeq\o\al(2,4)种选派方法；若第一棒选B，则有2Aeq\o\al(2,4)种选派方法．由分类加法计数原理知，共有Aeq\o\al(2,4)＋2Aeq\o\al(2,4)＝3Aeq\o\al(2,4)＝36(种)选派方法．答案B4．已知Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析因为Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，则(n＋1)n－n(n－1)＝10，整理得2n＝10，即n＝5.答案B5．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有()A．60个 B．48个C．36个 D．24个解析由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有2Aeq\o\al(4,4)＝48，大于50000的偶数共有2Aeq\o\al(3,3)＝12，所以小于50000的偶数共有48－12＝36(个)．答案C二、填空题6．从班委会的5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有__________种(用数字作答)．解析文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有Aeq\o\al(2,4)＝12(种)方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法．答案367．不等式Aeq\o\al(2,n)－n＜15的解集为__________．解析由不等式Aeq\o\al(2,n)－n＜15，得n(n－1)－n－15＜0，整理得n2－2n－15＜0，解得－3＜n＜5.又因为n≥2且n∈N*，所以n＝2，3，4.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，4))8．用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种．解析分两类：0夹在1，3之间有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种排法，0不夹在1，3之间又不在首位有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)种排法．所以一共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝28(种)排法．答案28三、解答题9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有Aeq\o\al(2,5)种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有Aeq\o\al(6,6)种排法，故共有不同排法Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400(种)．(2)先不考虑排列要求，有Aeq\o\al(8,8)种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)＝37440(种)．10．4个男同学和3个女同学(其中含甲、乙、丙)站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？解(1)3个女同学是特殊元素，共有Aeq\o\al(3,3)种排法；由于3个女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，再与4个男同学排队，应有Aeq\o\al(5,5)种排法．由分步乘法计数原理得，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝720(种)不同的排法．(2)先将男同学排好，共有Aeq\o\al(4,4)种排法，再在这4个男同学的中间及两头的5个空当中插入3个女同学，则有Aeq\o\al(3,5)种方法．故符合条件的排法共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440(种)．(3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有Aeq\o\al(4,4)种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有Aeq\o\al(2,2)种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，则有Aeq\o\al(2,5)种排法．所以共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,5)＝960(种)不同的排法．能力提升11．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为()A．24 B．18C．16 D．10解析第一类，甲是最后一个体验，则有Aeq\o\al(3,3)种方法；第二类，甲不是最后一个体验，则有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)种方法，所以小李旅游的方法共有Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝10(种)，故选D.答案D12．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解(1)先排正、副班长有Aeq\o\al(2,3)种方法，再安排其余职务有Aeq\o\al(5,5)种方法，依分步乘法计数原理，知共有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(5,5)＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有Aeq\o\al(7,7)种，其中A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)＝3600(种)．创新猜想13．(多选题)下列等式成立的是()A．Aeq\o\al(3,n)＝(n－2)Aeq\o\al(2,n) B.eq\f(1,n)Aeq\o\al(n,n＋1)＝Aeq\o\al(n－1,n＋1)C．nAeq\o\al(n－2,n－1)＝Aeq\o\al(n,n) D.eq\f(n,n－m)Aeq\o\al(m,n－1)＝Aeq\o\al(m,n)解析A中右边＝(n－2)(n－1)n＝Aeq\o\al(3,n)＝左边；C中左边＝n(n－1)(n－2)×…×2＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝Aeq\o\al(n,n)＝右边；D中左边＝eq\f(n,n－m)·eq\f(（n－1）！,（n－m－1）！)＝eq\f(n！,（n－m）！)＝Aeq\o\al(m,n)＝右边，只有B不正确．答案ACD14．(多空题)由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．(1)若x＝9，则其中能被3整除的共有__________个；(2)若x＝0，则其中的偶数共有__________个；(3)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x＝__________．解析(1)因为各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，所以这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成，所以共有2×Aeq\o\al(3,3)＝12(个)．(2)偶数数字有3个，个位数必是一个偶数，同时0不能在百位，可分两类考虑：①0在个位的，有Aeq\o\al(2,3)＝6个．②个位是2或4的，有Aeq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(1,2)＝8个．所以偶数共有6＋8＝14(个)．(3)显然x≠0，因为1，2，4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,3)次，所以这样的数字之和是(1＋2＋4＋x)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,3)，即(1＋2＋4＋x)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,3)＝252，所以7＋x＝14，所以x＝7.答案(1)12(2)14(3)7《6.2.1排列与排列数》分层同步练习【基础达标练】1.A7A.12 B.24 C.30 D.36解析A7答案D2.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有()A.24种 B.36种 C.48种 D.60种解析第1步,甲、乙两本书必须摆放在两端,有A2第2步,丙、丁两本书视为整体与其他两本共三本,有A2根据分步乘法计数原理,共有A2答案A3.已知An+1A.4 B.5 C.6 D.7解析由An+1答案B4.将4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上,每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配方法有()A.A88种 B.A84种 C.A解析司机、售票员各有A44种安排方法,由分步乘法计数原理知共有答案C5.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有()A.504种 B.960种C.1008种 D.1108种解析甲、乙相邻的所有方案有A22A66满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案有A5满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班,丁在10月7日值班的方案有A4故符合题设要求的不同安排方案有1440-2×240+48=1008(种),故选C.答案C6.由数字0,1,2,3,4,5可以组成能被5整除,且无重复数字的不同的五位数有()A.(2A54-A43C.2A54个 D.5解析能被5整除,则个位需为5或0,有2A54个,但其中个位是5的含有0在首位的排法有A43个,故共有(2答案A7.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有不同排法种.解析(方法一)若第一节排数学,共有A3若第一节不排数学,第一节有2种排法,最后一节有2种排法,中间两节任意排,有2×2×2=8(种)排法.根据分类加法计数原理,共有6+8=14(种)排法,故答案为14.(方法二间接法)4节课全部可能的排法有A44=24(种),其中体育排第一节的有A33=6(种),数学排最后一节的有A33=6(种),体育排第一节且数学排最后一节的有答案148.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工.(1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案?(2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案?解(1)先排正、副班长,有A32种方案,再安排其余职务有A5(2)7人中任意分工,有A77种不同的分工方案,甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有A49.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排