2024-2024高考数学真题分类-第24章-圆锥曲线-2-双曲线及其性质(理科)

·PAGE1·第2节双曲线及其性质题型116双曲线的定义与标准方程1.〔2024江西理14〕抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，假设为等边三角形，那么．2.(2024陕西理11〕双曲线的离心率为，那么等于.3．〔2024广东理7〕中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，在双曲线的方程是〔〕.A． B．C． D．4.〔2024天津理5〕双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，那么双曲线的方程为〔〕.A.B.C.D.5.〔2024广东理4〕假设实数满足那么曲线与曲线的〔〕.A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等6.〔2024北京理11〕设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，那么的方程为________；渐近线方程为________.7.〔2024福建理3〕假设双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，那么〔〕.A．11 B．9 C．5 D．37．解析由双曲线定义得，即，得．应选B．8.〔2024广东理7〕双曲线的离心率，且其右焦点为，那么双曲线的方程为〔〕.A． B． C．D．8．解析因为所求双曲线的右焦点为，且离心率为，所以，，所以，所以所求双曲线方程为.应选C．9.〔2024天津理6〕双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，那么双曲线的方程为〔〕.A． B． C． D．9．解析双曲线的渐近线方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解得，，所以双曲线方程为.应选D.10.〔2024江苏3〕在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是．10.解析，故焦距为．11.〔2024全国乙理5〕方程EQ\F(x2,m2+n)EQ\F(y2,3m2–n)表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，那么的取值范围是〔〕.A.B.C.D.11.A解析由表示双曲线，那么，得，所以焦距，得，因此.应选A.12.〔2024天津理6〕双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，那么双曲线的方程为〔〕.A.B.C.D.12.D解析根据对称性，不妨设在第一象限，，联立，得.所以，得.故双曲线的方程为.应选D.13.〔2024北京理13〕双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点.假设正方形的边长为，那么_______________.13.解析可得双曲线C的渐近线方程为，所以.再由正方形的边长为，得其对角线的长，所以，解得.14.〔2024北京理9〕假设双曲线的离心率为，那么实数_________.14.解析由题知，那么.15.〔2024天津理5〕双曲线的左焦点为，离心率为.假设经过点和点两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，那么双曲线的方程为〔〕.A.B.C.D.15.解析由题意得，，所以.又因为，所以，，那么双曲线方程为.应选B.16.〔2024全国3卷理科5〕双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，那么的方程为〔〕.A． B． C． D．16．解析因为双曲线的一条渐近线方程为，那么①又因为椭圆与双曲线有公共焦点，易知，那么②由①,②，解得，那么双曲线的方程为.应选B.题型117双曲线的渐近线1.〔2024江苏3〕双曲线的两条渐近线的方程为.2．〔2024四川理6〕抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是〔〕A.B.C.D.3.(2024福建理3〕双曲线的顶点到渐近线的距离等于〔〕.A.B.C.D.4.〔2024新课标1理4〕是双曲线：的一个焦点，那么点到的一条渐近线的距离为〔〕.A.B.C.D.5.〔2024山东理10〕,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，那么的渐近线方程为〔〕.A.B.C.D.6.〔2024北京理11〕设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，那么的方程为________；渐近线方程为________.7.〔2024安徽理4〕以下双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是〔〕.A．B．C．D．7.解析由题可得选项A，C的渐近线方程都为，但选项A的焦点在轴上．应选C．8.〔2024北京理10〕双曲线的一条渐近线为，那么.8.解析依题意，双曲线的渐近线方程为，那么，得.9.〔2024江苏12〕在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．假设点到直线的距离大于恒成立，那么实数的最大值为．9.解析找到到直线的最小距离〔或取不到〕，该值即为实数的最大值．由双曲线的渐近线为，易知与平行，因此该两平行线间的距离即为最小距离〔且无法到达〕，故实数的最大值为．10.〔2024四川理5〕过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，那么〔〕.A. B. C.6 D.10.解析由题意可得，，故.所以渐近线的方程为.将代入渐近线方程，得.那么.应选D.11.〔2024浙江理9〕双曲线的焦距是，渐近线方程是．11.解析因为，所以焦距是，渐近线方程为.12.〔2024重庆理10〕设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于，两点，过，分别作，的垂线，两垂线交于点.假设到直线的距离小于，那么该双曲线的渐近线斜率的取值范围是〔〕.A.B.C.D.12.解析根据题意知点一定在轴上，所以点到直线的距离为，由图知，，又因为，所以，解出，所以，根据实际情况，所以．应选A．13.〔2024上海理21〔1〕〕双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点.假设的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；13.解析〔1〕由，，不妨取，那么，由题意，又，，所以，即，解得，因此渐近线方程为．14.〔2024江苏08〕在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，其焦点是，那么四边形的面积是．14.解析双曲线的渐近线方程为，而右准线为，所以，，从而．故填．15.〔2024山东理14〕.在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，假设，那么该双曲线的渐近线方程为.15.解析设，由题意得.又，所以，从而双曲线的渐近线方程为.题型118双曲线离心率的值及取值范围1．(2024湖南理14〕设是双曲线的两个焦点，是上一点，假设且的最小内角为，那么的离心率为___.2.〔2024浙江理9〕如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二.四象限的公共点.假设四边形为矩形，那么的离心率是A.B.C.D.3．〔2024湖北理5〕，那么双曲线与的〔〕.A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等4.〔2024重庆理8〕设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，那么该双曲线的离心率为〔〕.B.C.D.5.〔2024湖北理9〕是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且,那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕.A.B.C.3D.26.〔2024浙江理14〕设直线与双曲线两条渐近线分别交于点，假设点满足，那么该双曲线的离心率是__________.7.〔2024湖北理8〕将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，那么〔〕．A．对任意的， B．当时，；当时，C．对任意的， D．当时，；当时，7．解析由题意，，当时，，；当时，，.应选D.命题意图考查双曲线的有关概念、性质及比较实数大小的根本方法8.〔2024湖南理13〕设是双曲线的一个焦点，假设上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，那么的离心率为.8.解析根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，所以.9.〔2024全国II理11〕为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，那么的离心率为〔〕．A.B.C.D.9.解析设双曲线方程为，如以下列图，由，，那么过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程可得，即有，所以.应选D．命题意图在圆锥曲线的考查中，双曲线经常以选择或填空题的形式出现.一般抓住其定义和性质可以求解.此题中要充分利用顶角为的等腰三角形的性质来求解.10.(2024山东理15)平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.假设△的垂心为的焦点，那么的离心率为.10.解析由题意，可设所在直线方程为，那么所在直线方程为，联立，解得，而抛物线的焦点为的垂心，所以，所以，所以，所以，所以．11.〔2024山东理13〕双曲线，假设矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，那么的离心率是_______.11.解析由题意，，又因为，那么，于是点在双曲线上，代入方程，得，再由得的离心率为.12.〔2024全国甲理11〕，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，，那么E的离心率为〔〕.A.B.C.D.212.A解析离心率，因为，所以.应选A．13.〔2024四川理19〕数列的首项为，为数列的前项和，，其中，.〔1〕假设，，成等差数列，求的通项公式；(2)设双曲线的离心率为，且，证明：.13.解析〔1〕由得，，，两式相减得到，.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为，公比为的等比数列.从而.由，，成等差数列，可得，即，那么.又，所以.所以.〔2〕由〔1〕可知，.所以双曲线的离心率.由，解得.因为，所以.于是，故.14.〔2107全国2卷理科9〕假设双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，那么的离心率为〔〕.A．2B．C．D．14．解析取渐近线，化成一般式，圆心到