高中数学 等比数列的概念及通项公式练习 苏教版必修

2．3.1等比数列的概念及通项公式1．从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．2．等比数列{an}的通项公式an＝a1·qn－1(q≠0)．3．如果a、G、b三个数满足G2＝ab.则G称为a与b的等比中项．4．等比数列的性质．(1)若{an}为等比数列，则an＝amqn－m；(2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；(3)若{an}为等比数列，则a2，a5，a8也成等比数列；(4)若{an}为等比数列，且公比为q，则a1a2，a2a3，a3a4也成公比等于►基础巩固一、选择题1．数列a，a，a，…a，…(a∈R)必为(D)A．等差数列但不是等比数列B．等比数列但不是等差数列C．即是等差数，又是等比数列D．以上都不正确解析：a＝0时为等差数列，a≠0时为等比且等差数列．2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝1，则a1＝(B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2解析：由已知得a1q2·a1q8＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1q4))eq\s\up12(2)，即q2＝2，∵q＞0，∴q＝eq\r(2)，a1＝eq\f(a2,q)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).3．(2013·江西卷)等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于(A)A．－24B．0C．12D．24解析：由(3x＋3)2＝x(6x＋6)⇒x＝－3(x＝－1舍去)．该数列为－3，－6，－12，－24，….4．{an}是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为(B)①{aeq\o\al(2,n)}也是等比数列②{can}(c≠0)也是等比数列③eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))也是等比数列④{lnan}也是等比数列A．4个B．3个C．2个D．1个解析：考查等比数列定义，其中①②③为真．5．公比为2的正项等比数列{an}，a3a11＝16，则a5＝(AA．1B．2C．4D．8解析：a3a11＝16⇒aeq\o\al(2,7)＝16⇒a7＝4，而a5q2＝a7，∴a5＝1.二、填空题6．已知等比数列{an}为递增函数，若a1＞0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________．解析：∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an(1＋q2)＝5anq⇒q＝2.答案：27．若等比数列{an}满足a2a4＝eq\f(1,2)，则a1aeq\o\al(2,3)a5＝________．解析：利用等比数列的性质求解．∵数列{an}为等比数列，∴a2·a4＝aeq\o\al(2,3)＝eq\f(1,2)，a1·a5＝aeq\o\al(2,3).∴a1aeq\o\al(2,3)a5＝aeq\o\al(4,3)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8．等比数列{an}中，已知a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝________．解析：∵a3＋a4＝q2(a1＋a2)，∴q2＝eq\f(36,324)＝eq\f(1,9).∴a5＋a6＝q4(a1＋a2)＝eq\f(1,81)×324＝4.答案：4三、解答题9．正项递增的等比数列{an}中，前三项的积为27，前三项的平方和为91，求通项公式．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1·a2·a3＝27，,aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＝91，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1·a1q·a1q2＝27，,aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,1)q2＋aeq\o\al(2,1)q4＝91))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝3.))∴an＝3n－1(n∈N*)．10．已知三个数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成等比数列，已知这三个数的和为6，求这三个数．解析：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，∵(a－d)＋a＋(a＋d)＝6，∴a＝2.这三个数可以表示为2－d，2，2＋d.(1)若2为等比中项，则22＝(2－d)(2＋d)，解得d＝0，此时，三个数为2，2，2.(2)若(2－d)为等比中项，则(2－d)2＝2(2＋d)．解得d＝6或d＝0，此时三数为－4，2，8或2，2，2.(3)若(2＋d)为等比中项，则(2＋d)2＝2(2－d)．解得d＝－6或d＝0，此时三数为8，2，－4或2，2，2.综上可知，三个数为－4，2，8或8，2，－4或2，2，2.►能力升级一、选择题11．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋A．5B．10C．15D．20解析：a2a4＝aeq\o\al(2,3)，a4a6＝aeq\o\al(2,5)，故得(a3＋a5)2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5.12．设{an}是由正数组成的等比数列，且a5·a6＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10A．5B．10C．20D．40解析：log3a1＋log3a2＋…＋log＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝log3815＝log3320＝20.13．在正项等比数列{an}中，a3＝eq\r(2)－1，a5＝eq\r(2)＋1，则aeq\o\al(2,3)＋2a2a6＋a3a7＝(C)A．4B．6C．8D．4eq\r(2)解析：∵a3a7＝aeq\o\al(2,5)，a2a6＝a3a5，∴aeq\o\al(3,3)＋2a2a6＋a3a7＝aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝(a3＋a5)2＝(eq\r(2)－1＋eq\r(2)＋1)2＝(2eq\r(2))2＝8.二、填空题14．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，且实数列1，b1，b2，b3，4成等比数列，则eq\f(a1＋a2,b2)的值为________．解析：a1＋a2＝1＋4＝5，beq\o\al(2,2)＝1×4，故b2＝±2.但b2＝1×q2＞0，∴b2＝2，故eq\f(a1＋a2,b2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)15．(2014·广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则1na1＋1na2＋…＋1na20解析：利用等比数列的性质化简已知条件，利用对数的运算法则化简待求式，整合化简结果求值．因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[a1a20·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11答案：50三、解答题16．已知等比数列{an}各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，aeq\o\al(2,3)＝9a2a6.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝log3an，求{bn}的前n项和Sn.解析：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(aeq\o\al(2,3)＝9a2a6，,2a1＋3a2＝1))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(aeq\o\al(2,3)＝9aeq\o\al(2,4)，,2a1＋3a1q＝1))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,3)，,a1＝\f(1,3).))∴an＝eq\b\lc\(\rc