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泰勒公式及其应用泰勒(Tayler)中值定理若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成这里是与之间的某个值。三、几个概念1、此式称为函数按的幂次展开到

阶的泰勒公式；或者称之为函数在点

处的

阶泰勒展开式。当

时，泰勒公式变为这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。

为拉格朗日余项。2、对固定的，若

有

此式可用作误差界的估计。故

表明：误差是当

时较

高阶无穷小，这一余项表达式称之为皮亚诺余项。3、若，则在

与

之间，它表示成形式

，泰勒公式有较简单的形式——

麦克劳林公式

近似公式误差估计式【例1】求的麦克劳林公式。解：

，

于是

有近似公式

其误差的界为

我们有函数

的一些近似表达式。(1)、

(2)、

(3)、【例2】求

的

阶麦克劳林公式。解：它们的值依次取四个数值

。其中：

同样，我们也可给出曲线

的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。

【例3】求的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。解：

于是：

利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”，

使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。【例4】利用泰勒展开式再求极限

。解：，

【注解】现在，我们

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