新版高中数学人教A版必修3习题第三章概率3.3.2

3.3.2均匀随机数的产生课时过关·能力提升一、基础巩固1.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m,其实际概率的大小为n,则()A.m>n B.m<nC.m=n D.m是n的近似值答案:D2.设x是[0,1]内的一个均匀随机数,经过变换y=2x+3,则x=A.0 B.2 C.4 D.5解析:当x=12时,答案:C3.用计算器或计算机产生20个0~1之间的随机数x,但是基本事件都在区间[1,3]上,则需要经过的变换是()A.y=3x1 B.y=3x+1C.y=4x+1 D.y=4x1答案:D4.如图,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为A.C.解析:由几何概型的公式可得又S正方形=4,∴S阴影=4×答案:B5.设一直角三角形两直角边的长均是区间[0,1]上的随机数,则斜边的长小于1的概率为()A.解析:设两直角边分别为x,y,则x,y满足x∈[0,1],y∈[0,1],则P(x2+y2<1)=答案:C6.某人从甲地去乙地共走了500m,途中要过一条宽为xm的河流,他不小心把一件物品丢在了途中,若物品掉在河里就找不到了,若物品不掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为解析:已知河宽为xm,由题意得1-x500=答案:1007.b1是[0,1]上的均匀随机数,b=3(b12),则b是区间上的均匀随机数.

解析:0≤b1≤1,则函数b=3(b12)的值域是6≤b≤3,即b是区间[6,3]上的均匀随机数.答案:[6,3]8.利用随机模拟方法计算如图所示的阴影部分(y=x3和x=2以及x轴所围成的部分)的面积.步骤是:(1)利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;(2)进行伸缩变换a=2a1,b=8b1;(3)数出落在阴影内的样本点数N1(满足b<a3的点(a,b)的个数),用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如,做1000次试验,即N=1000,模拟得到N1=250.由S阴影S矩解析:S阴影≈N1N·答案:49.如图,在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形,向大正方形内随机投点,用随机模拟的方法求所投的点落入小正方形内的概率.解:设事件A={所投点落入小正方形内}.①用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.②经过平移和伸缩变换,a=3a11.5,b=3b11.5,得[1.5,1.5]上的均匀随机数.③统计落入大正方形内的点数N(即上述所有随机数构成的点(a,b)的个数)及落入小正方形内的点数N1(即满足1<a<1,且1<b<1的点(a,b)的个数).④计算N1N,即为概率P二、能力提升1.用均匀随机数进行随机模拟,下列说法中正确的是()A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题B.能求几何概型的概率,还能计算图形的面积C.能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积D.最适合估计古典概型的概率解析:很明显用均匀随机数进行随机模拟,不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积,但得到的是近似值,不是精确值,用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率.答案:C2.将[0,1]内的均匀随机数转化为[2,6]内的均匀随机数,需实施的变换为()A.a=8a1 B.a=8a1+2C.a=8a12 D.a=6a1解析:当a1∈[0,1]时,a=8a1的值域为[0,8],则A项不符合题意;a=8a1+2的值域为[2,10],则B项不符合题意;a=8a12的值域为[2,6],则C项符合题意;a=6a1的值域是[0,6],则D项不符合题意.答案:C3.如图,在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2cm,4cm,6cm,某人站在3m之外向此板投镖,设镖击中线上或没有投中木板时不算,可重投.记事件A={投中大圆内},事件B={投中小圆与中圆形成的圆环内},事件C={投中大圆之外}.(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.(2)经过伸缩和平移变换,a=16a18,b=16b18,得到两组[8,8]内的均匀随机数.(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2+b2<36的点(a,b)的个数),投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4<a2+b2<16的点(a,b)的个数),投中木板的总次数N(即满足上述8<a<8,8<b<8的点(a,b)的个数).则概率P(A),P(B),P(C)的近似值分别是()A.C.解析:P(A)的近似值为答案:A★4.利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时,利用计算器产生两组0~1之间的均匀随机数a1=RAND,b1=RAND,然后进行平移与伸缩变换a=a1·42,b=b1·4,试验进行100次,前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65,已知最后两次试验的随机数a1=0.3,b1=0.8及a1=0.4,b1=0.3,则本次模拟得出的面积为.

解析:由a1=0.3,b1=0.8得,a=0.8,b=3.2,(0.8,3.2)落在y=x2与y=4围成的区域内,由a1=0.4,b1=0.3得,a=0.4,b=1.2,(0.4,1.2)落在y=x2与y=4围成的区域内,所以本次模拟得出的面积为16×答案:10.725.设函数y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)0~1区间上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,则由随机模拟方法可得S的近似值为.

解析:由0≤f(x)≤1可知曲线y=f(x)与直线x=0,x=1,y=0围成了一个曲边图形.又产生的随机数对在如图所示的正方形内,正方形的面积为1,共有N对数,即有N个点,且满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的有N1个点,即在函数f(x)图象上及下方有N1个点,所以由几何概型的求概率公式得,曲线y=f(x)与x=0,x=1,y=0围成的面积为答案:N6.设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都等于6cm,现用直径等于2cm的硬币投掷到网格上,用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率.解:记事件A={硬币与格线有公共点},设硬币中心为B(x,y).步骤:(1)利用计算机或计算器产生两组0~1之间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换,则x=6(x10.5),y=6(y10.5),得到两组[3,3]内的均匀随机数.(3)统计试验总次数N及硬币与格线有公共点的次数N1(满足条件|x|≥2或|y|≥2的点(x,y)的个数).(4)计算频率N★7.用随机模拟方法求函数y=分析:将问题转化为求在由直线x=1,y=1和x轴,y轴围成的正方形中任取一点,该点落在已知图形内的概率.用随机模拟方法来估计概率即可.解:如图,阴影部分是函数y=x的图象与x轴和直线x=