2021新高考数学新课程一轮复习课时作业第二章第9讲函数模型及其应用

第9讲函数模型及其应用组基础关1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100答案C解析对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x＝4时误差较大．对于C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小．2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似地满足关系y＝alog3(x＋2)，观察发现2014年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为()A．4000B．5000C．6000D．7000答案C解析当x＝1时，由3000＝alog3(1＋2)，得a＝3000，所以到2020年冬，即第7年，y＝3000×log3(7＋2)＝6000，故选C.3．如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出来，①中的增长应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的增长速度是越来越慢的，正确；③中的增长速度是先慢后快，正确；④中的增长速度是先快后慢，也正确，故②③④正确．选C.4．汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油答案D解析根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故A错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故B错误；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C错误；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故D正确．5．(2020·泸州诊断)某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利 B．无法判断盈亏情况C．没有盈利也没有亏损 D．略有亏损答案D解析由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．6．(2019·南充模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年后，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f(x)的图象大致为()答案D解析设某地区起始年的绿化面积为a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x年后，绿化面积g(x)＝a(1＋18%)x，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y，则y＝f(x)＝eq\f(gx,a)＝(1＋18%)x＝1.18x，因为y＝1.18x为底数大于1的指数函数，故可排除A，C，当x＝0时，y＝1，可排除B，故选D.7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间满足函数关系式y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，所有生产出来的产品都能卖完，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台答案C解析设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000≥0，得x≥150，所以生产者不亏本时的最低产量为150台．故选C.8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．答案eq\r(1＋p1＋q)－1解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.答案20解析设矩形花园的宽为ym，则eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20m时，面积最大．10．某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行计价，该地区电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)答案148.4解析据题意有0.568×50＋0.598×150＋0.288×50＋0.318×50＝148.4(元)．组能力关1．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元答案B解析由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤800，0.14x－800，800<x≤4000，0.11x，x>4000，))显然稿费应为800<x≤4000，则0.14(x－800)＝420，解得x＝3800.2．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的eq\f([H＋],[OH－])可以为(参考数据：lg2＝0.30，lg3＝0.48)()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,10)答案C解析∵[H＋]·[OH－]＝10－14，∴eq\f([H＋],[OH－])＝[H＋]2×1014，∵7.35<－lg[H＋]<7.45，∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9<eq\f([H＋],[OH－])＝1014·[H＋]2<10－0.7,10－0.9＝eq\f(1,100.9)>eq\f(1,10)，lg(100.7)＝0.7>lg3>lg2，∴100.7>3>2,10－0.7<eq\f(1,3)<eq\f(1,2)，∴eq\f(1,10)<eq\f([H＋],[OH－])<eq\f(1,3).故选C.3．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(t,h))，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期，现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，如果咖啡降到37℃需要16min，那么这杯咖啡要从37℃降到29℃，还需要________min.答案8解析由题意知Ta＝21℃.令T0＝85℃，T＝37℃，得37－21＝(85－21)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(16,h))，∴h＝8.令T0＝37℃，T＝29℃，则29－21＝(37－21)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(t,8))，∴t＝8.4．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，b＝1.))(2)由(1)知，v＝a＋blog3eq\f(Q,10)＝－1＋log3eq\f(Q,10).所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，所以－1＋log3eq\f(Q,10)≥2，即log3eq\f(Q,10)≥3，解得eq\f(Q,10)≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．组素养关1．(2019·江西七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4eq\r(2a)，Q＝eq\f(1,4)a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？解(1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f(50)＝80＋4eq\r(2×50)＋eq\f(1,4)×150＋120＝277.5.(2)由题知，f(x)＝80＋4eq\r(2x)＋eq\f(1,4)(200－x)＋120＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥20，200－x≥20，))解得20≤x≤180，故f(x)＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250(20≤x≤180)．令t＝eq\r(x)，则t2＝x，t∈[2eq\r(5)，6eq\r(5)]，y＝－eq\f(1,4)t2＋4eq\r(2)t＋250＝－eq\f(1,4)(t－8eq\r(2))2＋282，当t＝8eq\r(2)，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．2．某公司为了实现2020年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.025x，y＝1.003x，y＝eq\f(1,2)lnx＋1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．(参考数据：1.003538≈5，e＝2.71828……，e8≈2981)解由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10,1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.(1)对于y＝0.025x，易知满足①，但当x>200时，y>5，不满足公司的要求．(2)对于y＝1.003x，易知满足①，但当x>538时，y>5，不满足公司的要求．(3)对于y＝eq\f(1,2)lnx＋1，易知满足①.当x∈[10,1000]时，y≤eq\f(1,2)ln1000＋1.下面证明eq\f(1,2)ln1000＋1<5.因为eq\f(1,2)ln10