5.3.2函数的极值与最大（小）值7题型分类

5.3.2函数的极值与最大（小）值7题型分类一、函数极值的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．二、函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．三、函数最值的定义1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．四、求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（一）求导求函数的极值函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2.运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.题型1：由图象确定函数的极值11．（2023下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）

设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．有两个极值点 B．为函数的极大值C．有两个极小值 D．为的极小值【答案】C【分析】根据x的正负以及的正负，判断的正负，得到单调性并可得到极值点.【详解】解：，并结合其图像，可得到如下情况，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；当时，，在单调递增∴在和处取得极小值，故B，D错，C正确；在处取得极大值.所以有3个极值点，故A错.故选:C.12．（2023下·河南南阳·高二统考期末）函数的导函数是，下图所示的是函数的图像，下列说法正确的是（

）A．是的零点B．是的极大值点C．在区间上单调递增D．在区间上不存在极小值【答案】B【分析】由函数图像判断的符号，进而判断的单调性和极值情况，即可得答案.【详解】当时，，而，故；当时，，而，故；当时，，而，故；所以上递减；上递增，则、分别是的极小值点、极大值点.故A、C、D错误，B正确.故选：B13．（2023下·浙江·高二校联考期末）如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（

）A．，是的极大值点B．，是的极小值点C．，不是的极大值点D．，是的极值点【答案】B【分析】由图判断函数的单调性，结合为在点处的切线方程，则有，由此可判断极值情况.【详解】由题得，的几何意义为当x取同值时，到的距离．根据题意，当时，单调递减，当时，单调递增，又，则有是的极小值点，故选:B．14．（2023下·新疆昌吉·高二校考期末）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①x=2是函数的极值点；②x=1是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零；④函数在区间上单调递增．则正确命题的序号是（

）A．①② B．②④ C．②③ D．①④【答案】D【分析】根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断.【详解】对于①，根据导函数图像可知，2是导函数的零点，且2的左右两侧导函数值符号异号，故2是极值点，故①正确；对于②，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致，故②错误；对于③，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，故③错误；对于④，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，故④正确.故选：D【点睛】根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号.15．（2023下·福建莆田·高二统考期末）定义在上的函数，其导函数为，且函数的图象如图所示，则（

）A．有极大值和极小值B．有极大值和极小值C．有极大值和极小值D．有极大值和极小值【答案】B【分析】利用函数的图像，判断导函数值为零时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值【详解】解：由函数图像可知，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以有极大值和极小值，故选：B题型2：求导求函数的极值21．（2023·高二课时练习）求下列函数的极值：(1)；(2)．【答案】(1)极小值为；极大值为(2)极大值为，没有极小值【分析】求出导数，根据导数的正负确定函数的单调区间，从而求出函数的极值即可.【详解】（1）解：因为．令，解得，．当x变化时，，的变化情况如下表：x－11－0＋0－单调递减－3单调递增－1单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为．（2）解：函数的定义域为，且．令，解得．当x变化时，与的变化情况如下表：x＋0－单调递增单调递减因此，是函数的极大值点，极大值为，没有极小值．22．（2023下·广东佛山·高二校考阶段练习）函数的极小值为.【答案】【分析】对求导，令，讨论的单调性即可求极值.【详解】解：，令，可得或.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故当时，取得极小值.故答案为:.23．（2023下·河南新乡·高二统考期末）已知函数，则的极大值点为（

）A．1 B． C．－1 D．2【答案】B【分析】对函数求导，求出的单调性，得到极大值点.【详解】因为，所以f（x）在，上单调递减，在上单调递增，所以f（x）的极大值点为．所以B正确.故选：B.24．（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)＝xex＋1，则（

）A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点【答案】D【分析】求得，根据导数值的正负，判断函数的单调性，进而求得函数极值点即可.【详解】由f(x)＝xex＋1，可得f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)>0可得x>－1，即函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数；令f′(x)<0可得x<－1，即函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，所以x＝－1为f(x)的极小值点．故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.25．（2023下·四川成都·高二校联考期中）已知函数．(1)求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；(2)求函数f（x）的单调区间与极值；【答案】(1)1(2)的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.【分析】（1）求导，求出即为切线斜率；（2）求导，列出表格，得到单调区间和极值.【详解】（1）因为，所以，因此曲线y=f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1；（2）令，解得：x=0或2．x02－0+0－↘极小值↗极大值↘所以f（x）在，内是减函数，在内是增函数．因此函数f（x）在x=0处取得极小值f（0），且f（0）=0，函数f（x）在x=2处取得极大值，且f（2）=；综上：的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求的极值.(2)讨论的单调性；【答案】(1)极大值为，无极小值.(2)答案见解析.【分析】（1）求出函数的导数，列表判断导数正负以及函数单调性，即可求得答案.（2）求出函数的导数，结合二次方程的根讨论导数的正负，从而判断函数的单调性.【详解】（1）当时，，则，令，得,2+0单调递增单调递减所以的极大值为，无极小值.（2）的定义域为，对于二次方程，有，①当时，恒成立，在上单调递减；②当时，方程有两根，若，时，；时，；故在上单调递增，在上单调递减；若，时，；时，；故在与上单调递减，在上单调递增；27．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）已知函数，求函数的极值.【答案】见详解.【分析】先求导函数，根据导函数零点的个数讨论，根据导函数的正负判定单调区间，进而求得极值.【详解】，定义域为R，.①当时，，在R上为增函数，无极值.②当时，令，得，.当，；当，；∴在上单调递减，在上单调递增，在取得极小值，极小值为，无极大值.综上所述，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.（二）由极值点或极值求参数已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.题型3：由极值点或极值求参数31．（2023下·辽宁·高二校联考期中）函数在处有极值，则的值等于（

）A．0 B．6 C．3 D．2【答案】A【分析】求导，根据列方程组求解可得.【详解】因为在处有极值，所以，解得所以故选：A32．（2023下·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知函数，当时函数的极值为，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出原函数的导函数，根据题意有，，求出，的值，分情况讨论是否符合题意，即可求的值．【详解】由，则，又当时函数的极值为，则，解得或，当时，，此时函数在R上是增函数，即函数没有极值，不合题意；当时，，当时，，此时在上单调递增，当时，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增，即当时函数取得极大值，符合题意，故，，则．故选：B．【点睛】解含参数的极值问题要注意：①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数．33．（2023下·北京·高二北京市第三十五中学校考期中）已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】由题设知有两个变号零点，结合判别式的符号求m的范围即可.【详解】由，又有极大值、极小值，所以有两个变号零点，则，整理得，可得或.故选：B34．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数有极值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求导，由题设得必有两个不等的实根，再利用判别式求解即可.【详解】由题意知，定义域为R，，要使函数有极值，则必有两个不等的实根，则，解得.故选：D.35．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）若函数在上无极值，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.【详解】由可得，恒成立，为开口向上的抛物线，若函数在上无极值，则恒成立，所以，解得：，所以实数的取值范围为，故选：D.36．（2023下·广西桂林·高二校考期中）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的导数，再利用导数与极值的关系求出有两个不同零点的a的取值范围作答.【详解】函数定义域为R，求导得，依题意，函数在R上有两个不同的零点，令，求导得，显然函数在R上单调递增，当时，恒成立，函数在R上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意，当时，由得，当时，，当时，，函数，即在上单调递减，在上单调递增，，当时，，而的取值集合为，因此在上取值集合为，当时，令，，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，，因此，令，，令，当时，恒有，即函数在上单调递增，，函数在上单调递增，当时，，因此当时，，取，当时，，，而函数在上的取值集合为，因此在上取值集合为，于是得函数在R上有两个不同的零点，当且仅当，解得，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.37．（2023·四川绵阳·统考一模）若函数（）在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦函数的图象特征，根据整体法即可列出不等式满足的关系进行求解.【详解】当，，由于（）在区间上恰有唯一极值点，故满足，解得，故选：C（三）由极值解决函数的零点问题1．函数零点的概念：对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点．2．函数零点的判定：如果函数y=fx在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb<0，那么，函数y=fx在区间a,b3．利用导数研究函数零点或方程根的方法（1）通过极值判断零点个数的方法：借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.（2）数形结合法求解零点：对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图，数形结合确定其中参数的范围.（3）构造函数法研究函数零点：①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法.题型4：由极值解决函数零点问题.41．（2023上·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考开学考试）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】(1)递减区间是；递增区间是，(2)【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：由题意，函数，可得，因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值，可得，即，解得，

所以，可得，令，解得或．当变化时，，的变化情况如下：－1＋0－0＋2所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，．（2）解：由函数，，则，函数在处取得极大值，在处取得极小值，要使得有三个零点，则满足，即，解得，所以的取值范围为．42．（2023下·北京丰台·高二统考期中）若函数的图象与x轴有三个交点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】利用导数求的极值，根据函数图象与x轴有三个交点判断极值的符号列不等式组，求a的范围.【详解】由，则时，当时，，递增；当时，，递减；当时，，递增；所以极大值为，极小值为，且趋向负无穷为负无穷大，趋向正无穷为正无穷大，要使与x轴有三个交点，只需，即.故选：D43．（2023下·广西桂林·高二校考期中）已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数是奇函数并且是R上的单调函数，，将函数有3个零点，转化为有3个根，令，利用导函数分析单调性，作出大致图像，即可分析与的交点情况，进而求出实数的取值范围.【详解】解：令，因为是奇函数并且是R上的单调函数，所以，若函数有3个零点，则，即有3个根，令，则，当或时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，作出的大致图像：由图可知，极小值为，极大值为，要使与有三个交点，则，故选：A.44．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）若函数在处取得极值，则称是函数的一个极值点.已知函数的最小正周期为，且在上有且仅有两个零点和两个极值点，则的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最小正周期可得，再分别代入选项判断是否满足零点和极值点个数判断即可.【详解】对A，时在有三个零点不满足条件；对B，时，在有且仅有两个零点：有且仅有两个极值点满足；对C，时在有且仅有两个零点，有三个极值点，不满足题意；对D，时，同C可得D也不满足题意.故选：B.（四）函数最值与极值的关系求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．题型5：函数极值与最值的判断51．（2023·高二课时练习）下列有关函数的极值与最值的命题中，为真命题的是（

）．A．函数的最大值一定不是这个函数的极大值B．函数的极大值可以小于这个函数的极小值C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值D．函数在开区间上不存在极大值和最大值【答案】B【分析】设，，求出其最大值和极大值可判断A和D；若函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减时，在上单调递增时，可以出现极大值小于这个函数的极小值，说明B正确；根据极小值一定不是端点值，最小值可能是端点值，可判断C.【详解】对于A，设，，，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在时取得极大值，也是最大值，故A不正确；对于B，若函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减时，在上单调递增，此时函数在时取得极大值，在时取得极小值，这里可以小于，故B正确；对于C，函数在某一闭区间上的最小值可能是端点值，而极小值一定不是端点值，故C不正确；对于D，由A可知，函数在开区间上存在极大值和最大值.故D不正确；故选：B52．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（

）．A．函数在内一定不存在最小值B．函数在内只有一个极小值点C．函数在内有两个极大值点D．函数在内可能没有零点【答案】A【分析】根据导函数图象得到函数的单调区间，即可判断函数的极值，从而得解；【详解】解：设的根为，，，且，则由图可知，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减；所以函数在区间内有极小值，当，时，是函数在区间内的最小值，所以A错误，B正确；函数在区间内有极大值、，所以C正确；当，，时，函数在内没有零点，所以D正确．故选：A．（五）不含参函数的最值问题1、求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2、求函数最值的着眼点1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.2单调区间取端点,当图象连续不断的函数fx在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.题型6：不含参函数的最值问题61．（2023下·宁夏中卫·高二海原县第一中学校考期中）函数在上的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可求得最小值.【详解】∵，∴，当时，∴函数在区间上单调递增，∴当时，函数取得最小值，，∴函数在上的最小值为.故选：A.62．（2023下·四川绵阳·高二校考期中）函数在区间上取得最大值时的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】对函数求导，判断其在的单调性，进而求得其最大值.【详解】由得，令，即在区间上解得，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以当时，取得最大值.故选：B.63．（2023下·广东揭阳·高二统考期末）函数的最大值为．【答案】【分析】由题可得，然后分段求函数的最值即得.【详解】函数，∴当时，单调递增，所以，当时，，，函数单调递减，所以；综上，函数的最大值为.故答案为：.（六）含参函数的最值问题1、含参数的函数最值问题的两类情况：(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．2、解析式中含参数的最值问题应分析参数对函数单调性的影响，然后分类讨论确定函数的最值．3、由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是：1求导数f′x，并求极值；2利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论；3利用最值列关于参数的方程组，解方程组即可.题型7：含参函数的最值问题71．（2023下·山东烟台·高二统考期末）若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（

）A．－2 B．－1 C．2 D．【答案】C【分析】对函数求导后，分和两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而可出实数a的值【详解】由，得，当时，在上恒成立，所以在上递增，所以，解得（舍去），当时，由，得或，当时，在上恒成立，所以在上递增，所以，解得（舍去），当时，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，所以，解得（舍去），当时，当时，，所以在上递减，所以，解得，综上，，故选：C72．（2023下·广东潮州·高二饶平县第二中学校考开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由基本不等式求得x＜0时，f（x）的值域，由题意可得x＞0时，f（x）的值域应该包含在x＜0时的值域内，转化为在x＞0时恒成立．利用导数求出的最大值即可.【详解】当x＜0时，，当且仅当x＝−1时，f（x）取得最大值f（−1）＝a−2，由题意可得x＞0时，的值域包含于（−∞，a−2]，即在x＞0时恒成立即在x＞0时恒成立即设当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故选：C．73．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期末）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求导，求得其最小值点，再根据在区间上有最小值，由最小值点在区间内求解可得.【详解】因为函数，所以，当或时，，当时，，所以当时，取得最小值，因为在区间上有最小值，且所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C74．（2023·高二单元测试）设函数，若函数存在最大值，则实数的取值范围是．【答案】【分析】依题意可得当，无最大值，再利用导数求出时的最值，即可得到不等式组，解得即可．【详解】解：当时，，函数单调递增，且无最大值，当时，，，当时，，当时，，当时，取得极大值也是最大值为，要使有最大值，则，，故答案为：．一、单选题1．（2023上·安徽宿州·高三安徽省砀山第二中学校考阶段练习）已知函数的极值点为，则所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得（），令（），则，在上单调递增，由，可得存在，使，即，进而可判断出为其极值点【详解】解：由，得（），令（），则，所以在上单调递增，因为，所以存在，使，即，当时，，当时，，所以为的极大值点，所以所在的区间为，故选：C【点睛】此题考查导数的应用，考查极值点的判断，考查计算能力，属于中档题2．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导得，分类讨论判断得单调性，进而根据最值分析求解.【详解】由题意可得：∵，则当，则当时恒成立，即∴在上单调递减，则在上无最值，即不成立当，则当时恒成立，即∴在上单调递增，则在上无最值，即不成立当，令，则∴在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立故选：A.3．（陕西省西安电子科技大学附属中学20222023学年高二下学期期末理科数学试题）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（

）A．的极大值为，极小值为B．的极大值为，极小值为C．的极大值为，极小值为D．的极大值为，极小值为【答案】D【分析】根据题意先判断导数的符号，进而确定原函数的单调性和极值.【详解】当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；故三次函数在上单调递增，在上单调递减，可得的极大值为，极小值为.故选：D.4．（2023下·河南南阳·高二统考期中）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值【答案】B【分析】由函数图象，确定的零点并判断的区间符号，进而可得的单调性，即可知极值情况.【详解】由图知：当时，有、，∴，，又时，而则，即递增；时，而则，即递减；时，而则，即递增；时，而则，即递增；综上，、上递增；上递减.∴函数有极大值和极小值.故选：B5．（2023下·广西玉林·高二校联考期中）已知函数在处有极值10，则（

）A．0或－7 B．0 C．－7 D．1或－6【答案】C【分析】求出，由，可得．【详解】解：由，得，，即，解得或（经检验应舍去），，故选：C．6．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】对求导，由函数在处取极小值，所以，所以，，对求导，求单调区间及极大值，由的极大值为4，列方程得解.【详解】解：，所以因为函数在处取极小值，所以，所以，，，令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.故选：B7．（2023下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知没有极值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据没有极值，可知无变号零点，由二次函数性质可知，由此可解不等式求得结果.【详解】；在上没有极值，，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：C.8．（2023下·北京房山·高二北京市房山区房山中学校考期中）已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题，求导函数，由函数有极大值和极小值，即有两个不同解，由此，，求解即可【详解】由题，，函数有极大值和极小值，所以有两个不同解，所以，，解得，故选：B9．（2023下·四川凉山·高二统考期中）设函数f(x)＝lnx＋在内有极值，求实数a的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数导函数在区间内有零点，结合常变量分离法，导数的性质进行求解即可.【详解】由，因为函数f(x)＝lnx＋在内有极值，所以在内有解，即在内有解，，设，当时，单调递减，所以，要想方程在时有解，只需，故选：A10．（2023上·陕西安康·高二统考期末）已知，函数的最小值为，则（

）A．1或2 B．2 C．1或3 D．2或3【答案】A【分析】利用导数求出函数的最小值，然后列方程可求得的值，【详解】由（），得（，），当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，得，解得或2.故选：A11．（2023下·河南焦作·高二温县第一高级中学校考阶段练习）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据导数确定函数的单调性，导函数的正负确定单调性进而取最值可求.【详解】由得，由于均为单调递增函数，故在单调递增，因为在有最小值，故故选：A12．（2023上·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）若在区间内有定义，且x0∈，则“”是“x0是函数的极值点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件【答案】D【分析】根据极值的概念，导数的几何意义即可求解．【详解】由不一定能得到x0是函数的极值点，反例，，但并不是的极值点，反过来：x0是函数的极值点也不一定能得到，反例，为的极小值点，但不存在，∴“”是“x0是函数的极值点”的既非充分条件也非必要条件，故选：D．13．（2023上·湖北武汉·高三校联考阶段练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（

）个单调区间.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数存在一个极大值与一个极小值，则至少有3个单调区间，若有3个单调区间，不妨设的定义域为，若，其中可以为，可以为，则在上单调递增，在上单调递减，（若定义域为内不连续不影响总体单调性），故，不合题意，若，则在上单调递减，在上单调递增，有，不合题意；若有4个单调区间，例如的定义域为，则，令，解得或，则在上单调递增，在上单调递减，故函数存在一个极大值与一个极小值，且，满足题意，此时有4个单调区间，综上所述：至少有4个单调区间.故选：B.14．（2023下·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本初等函数的奇偶性及函数的极值与导数的关系可判断各选项.【详解】对于A选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递增，A项不满足条件；对于B选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，B选项不满足条件；对于C选项，函数的导数为，该函数在上单调递增，C选项不满足条件；对于D选项，令，该函数的定义域为，，即函数为奇函数，，当时，，当时，，所以，为函数的极小值点，D选项满足条件.故选：D.15．（2023上·陕西榆林·高二校考期末）若函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点C．是函数的极大值点 D．1是函数的极大值点【答案】A【分析】根据给定的函数图象，确定导数为正或负的x取值区间，再逐项判断作答.【详解】观察导函数的图象知，当时，，当时，，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递减，在上单调递增，于是得是函数的唯一极值点，且是极小值点，A正确，B，C，D都不正确.故选：A16．（2023上·新疆·高三校考阶段练习）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（

）A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值【答案】D【分析】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答.【详解】观察图象知，当时，或且，当时，或，而当时，，当时，，因此当或时，，当时，，当且仅当时取等号，则在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，极大值，A，B，C不正确；D正确.故选：D17．（2023上·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）函数的极值点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据导数判断函数的导函数，据此可知函数单调递增无极值点.【详解】由题意知，令，则，令，得，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，由此可知，函数单调递增，所以函数不存在极值点.故选：A.18．（2023·四川成都·高三四川省成都市新都一中统考阶段练习）函数的极小值点为，则的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】求导，令，画出导函数图像，列表分析单调性，即得解.【详解】由题意，，的根为，的图像如下图所示，+00+0单增极大单减极小单增极大单减故当时，函数取得极小值，即，故.故选：A19．（2023下·广西·高三校联考阶段练习）已知函数在其定义域的一个子区间上有极值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由已知建立不等式，求解即可.【详解】解：，令，即，解得，且，；，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴有极大值，∴，∴，故选：A.20．（2023上·陕西咸阳·高三校考期中）已知没有极值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数与函数极值的关系可知，或恒成立，再结合二次函数的性质即可得解.【详解】因为，所以，因为没有极值，所以或恒成立，又因为开口向上，所以恒成立，即，所以，整理得，解得，所以.故选：C.21．（2023下·福建宁德·高二校联考期中）若函数在内有极大值，则a的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用导数讨论函数的单调性，进而得出函数的极值点，根据题意，结合图象即可得a的取值范围.【详解】由，得，令或，令，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，且，如图，由图可知函数在处取得极大值，在处取得极小值，又函数在内有极大值，故.故选：A.22．（2023上·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）若函数在区间上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求函数的极值点，由条件列不等式，求的取值范围.【详解】因为，所以当时，即时函数取最大值，当时，即时函数取最小值，故函数的极大值点为，极小值点为，因为函数在区间上既有极大值又有极小值，所以，故，所以的取值范围为.故选：A.23．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）若函数的极大值点为，则的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】求导，令，可得的极值点，根据题意，可得，根据的单调性，分析可得极大值点，即可得答案.【详解】由题意得，令，解得或，因为极大值点为，所以，则，且，所以在为单调递增函数，在上为单调递减函数，所以的极大值点为，即，解得.故选：A24．（2023上·河南开封·高三校考阶段练习）对任意，函数不存在极值点的充要条件是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】由无实数解或有两个相等的实数解得结论．【详解】由已知，若，则是一次函数，无极值点，若，无极值点，则，，综上，．故选：A．25．（2023下·天津宁河·高二校考阶段练习）设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先对函数求导，将函数在区间有极值点转化为导函数有零点，再由零点存在定理列出不等式求解即可．【详解】依题意得，则为单调函数，又函数在区间有极值点，即导函数在区间有零点，则有，解得．故选：B．26．（2023上·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）若函数在上存在极大值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，令，讨论a的取值范围，结合在上存在极大值点，结合二次函数性质列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意可得，令，则，当时，，当时，，递增，当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意；当时，图象对称轴为，此时要使函数在上存在极大值点，需满足，即，则，此时，在上递减，存在，使得，则当时，，递增，当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意；当时，图象开口向下，对称轴为，此时要使函数在上存在极大值点，需满足，即，则，同上同理可说明此时符合题意，综合上述，可知的取值范围为，故选：D27．（2023·全国·模拟预测）已知函数有且仅有一个极值点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将问题转化为与的图象在上只有一个交点，且交点左右的符号不同，分类讨论，与三种情况，结合图像即可求得结果.【详解】由题可得，函数的定义域为，，若函数有且仅有一个极值点，则在上有且仅有一个变号零点，令，，则问题转化为函数与的图象在上只有一个交点，且交点左右的符号不同，①当时，，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，符合题意；②当时，若函数，的图象在上只有一个交点，则函数，的图象相切，作出函数和的大致图象，如图1所示，数形结合可得交点左右的符号相同，不符合题意；③当时，无论m为何值，函数与的图象在上都有且只有一个交点，作出函数和的大致图象，如图2所示，数形结合可得交点左右的符号不同，符合题意；综上，m的取值范围为.故选：A.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．28．（2023上·海南·高三校联考阶段练习）已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数导数，由题可知需使得在上没有变号零点，因此分离参数，令，利用导数求得其最小值，则可得，即可求得答案.【详解】由题意得，由题意可得是函数在区间上唯一变号的零点，令，则需满足在上没有变号零点；令，得，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时取得最小值，其大致图象如图：要使没有变号零点，则需，即，即实数k的取值范围是.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数后，需使得在上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.29．（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数有三个极值点，则有三个零点，对分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性和最值，即可求得参数的取值范围．【详解】函数有三个极值点，则有三个零点，即方程有三个根，不妨令,则，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，，且当时，恒成立．当趋近于负无穷时，趋近于正无穷；趋近于正无穷时，趋近于，故当时，满足题意，则故选：B．30．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为，充分性成立；利用可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】为开区间

最小值点一定是极小值点

极小值点处的导数值为充分性成立当，时，，结合幂函数图象知无最小值，必要性不成立“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的充分不必要条件故选：【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为，但导数值为的点未必是极值点.31．（2023下·四川乐山·高二统考期末）已知函数至少有一个极值点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得导数至少有1个变号零点，求导后结合二次函数的性质，由判别式求解即可.【详解】至少有一个极值点，则导数至少有1个变号零点，，由二次函数的性质知，，解得.故选：D.二、多选题32．（2023下·辽宁锦州·高二统考期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．是的极小值点C．函数在上有极大值 D．是的极大值点【答案】AD【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质和导函数的图象逐一判断即可.【详解】由的图象可知：当时，，所以函数单调递增；当时，，所以函数单调递减，因此有，是的极大值点，所以选项A、D正确；当，或时，，所以函数单调递增，因此函数在上没有极大值，且不是的极小值点，所以选项B、C不正确，故选：AD33．（2023下·重庆·高二校联考阶段练习）对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（

）A．使的一定是函数的极值点B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调【答案】ABC【分析】ABC均可以举出反例，D可以通过极值点和极值的定义进行判断.【详解】A选项，的不一定是函数的极值点，比如在处导函数的值为0，但不是的极值点，A说法错误；在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如为单调递增函数，在处导函数值为0，故在R上单调递增不是在R上恒成立的充要条件，B说法错误；若函数既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如，在处取得极大值2，在处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误；根据极值点和极值的定义可以判断，若在R上存在极值，则它在R一定不单调，D说法正确.故选：ABC34．（2023上·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．函数有极大值 B．函数有极大值C．函数有极小值 D．函数有极小值【答案】BD【分析】根据函数的图像判断导数在各个区间上的符号，再根据极值的定义即可求解.【详解】由图可知，当时，，，则，当时，，，则，当时，，，则，当时，，，则，综上当时，当时，当时，所以函数有极大值，有极小值，故选：BD35．（2023·高二课时练习）（多选）下列结论中不正确的是（

）.A．若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值B．若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数在区间上的极小值C．若函数在区间上有最值，则最值一定在或处取得D．若函数在区间内连续，则在区间内必有最大值与最小值【答案】ABC【分析】根据极值与最值的关系判断即可.【详解】若函数在区间上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故A，B，C都不正确；函数在闭区间上一定有最值，故D正确.故选：ABC.36．（2023下·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学期中）下列关于极值点的说法正确的是（

）A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值B．在任意给定区间上必存在最小值C．的最大值就是该函数的极大值D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点【答案】BCD【分析】A选项可以举出反例，C选项，可以结合函数的单调性，判断出正确；D选项可以举出例子，B选项，从函数的连续性上来进行解决.【详解】A选项，例如，在处取得极小值，在处取得极大值，而，故极大值不一定大于极小值，A错误，C选项，，函数在上单调递增，在上单调递减，根据极值的定义可知：在处取得极大值，也是最大值，C正确；对于D，无极值点，有无数个极值点，D正确；在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确；故选：BCD．三、填空题37．（2023·高二课时练习）设函数的极大值为，极小值为，则．【答案】【分析】利用导数可求得的单调性，由此可得极值点，利用极值构造方程组求得，进而得到.【详解】，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，的极大值；极小值，，，.故答案为：.38．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，设函数，则的最大值是．【答案】0【分析】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；【详解】解：因为定义域为，所以．当时，；当时，．所以在上为增函数，在上为减函数，从而．故答案为：．39．（2023·高二课时练习）函数的极小值是．【答案】【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值.【详解】因为，且，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的极小值为.故答案为：.40．（2023·高二课时练习）函数f(x)＝ax－1－lnx(a≤0)在定义域内的极值点的个数为.【答案】0【分析】求导判断函数的单调性即可求解【详解】因为x>0，f′(x)＝a－，所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点.故答案为：041．（2023下·广东湛江·高二校考阶段练习）函数，则在上的最大值为.【答案】16【分析】由导函数，由导函数确定极值点，结合区间端点处函数值可得最大值．【详解】由题意，得，，时，，递减，时，，递增，所以，又16，，所以最大值为16．故答案为：16．42．（2023下·山东泰安·高二统考期末）已知函数，，则的最大值为.【答案】1【分析】利用导数和基本不等式求出函数的单调性，即得解.【详解】函数，，所以，当且仅当，即时等号成立，又因为，所以，所以在时单调递增，其最大值为.故答案为：143．（2023下·河南洛阳·高二统考阶段练习）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是.【答案】【分析】求函数导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间内，由此可以得到参数的不等式，解不等式即可得到的取值范围【详解】，令解得；令，解得或由此可得在上时增函数，在上是减函数，在上是增函数，故函数在处有极大值，在处有极小值，，解得故答案为：44．（2023下·浙江宁波·高二统考期末）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】先求出时，，再求解当时，分类讨论，分，，，利用导函数求解函数单调性，从而求出实数a的取值范围.【详解】，所以，所以，当时，单调递增，所以当时，，此时值域为R，符合题意；当时，当时，，所以单调递增，当时，值域为R，所以满足题意；当时，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，要想值域为R，则要满足，解得：，综上：实数a的取值范围是故答案为：.45．（2023上·北京·高三北京铁路二中校考阶段练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下四个结论中正确的命题序号是.①，；

②是的极大值点；③是的极小值点；

④是的极小值点【答案】②④【分析】根据极值点的定义、极值的性质和图象变换逐个判断即可.【详解】对于①：是的极大值点，并不一定是最大值点，即①错误；对于②：因为与的图象关于轴对称，且是的极大值点，所以应是的极大值点，即②正确；对于③：因为与的图象关于轴对称，且是的极大值点，所以应是的极小值点，且无法判定是的极小值点，即③错误；对于④：因为与的图象关于对称，且是的极大值点，所以应是的极小值点，即④正确；故答案为：②④.46．（2023下·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）如图是函数的导函数的图象：①函数在区间上严格递减；

②；③函数在处取极大值；

④函数在区间内有两个极小值点．则上述说法正确的是．【答案】②④【分析】根据导函数图象分析得到函数的单调性，进而判断是否为极值点，比较出函数值的大小，判断出正确答案.【详解】由导函数的图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减，故，故①错误，②正确；由导函数的图象可知：在上均单调递增，故不是函数的极大值点，③错误；由导函数图象可得：在区间内有，且在与上导函数小于0，在和上导函数大于0，故和为函数的两个极小值点，故在区间内有两个极小值点，④正确.故答案为：②④47．（2023下·宁夏中卫·高二海原县第一中学校考期中）若函数的极小值为5，那么的值为.【答案】6【分析】对函数求导，再求函数的单调区间与极小值即可.【详解】，，令，解得或，当或时，，当时，，在和上单调递增，在上单调递减，当时，取得极小值，极小值为，解得.故答案为：6.48．（2023下·重庆万州·高二校考期中）已知函数在时有极值0，则=.【答案】【分析】对函数进行求导，根据函数在时有极值0，可以得到，代入求解，并进行检验，即可求出结果.【详解】∵，，函数在时有极值0，可得即，解得或，若时，函数，所以函数在上单调递增，函数无极值，故舍，所以，所以故答案为：．49．（2023上·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知函数，若的极小值为负数，则的最小值为.【答案】7【分析】利用导数判断函数的单调性，再求函数的极小值，根据条件，列不等式求的极小值.【详解】，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，，因为函数的极小值是负数，所以，所以，因为，所以的最小值是7.故答案为：7四、解答题50．（2023下·河南许昌·高二阶段练习）设函数(1)讨论的单调性；(2)求在区间的最大值和最小值．【答案】(1)函数在上单调递增；在上单调递减；(2)在区间上的最大值为，最小值为.【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式求出函数的单调递增区间，解不等式求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值.【详解】（1）函数的定义域为，又.令，解得或；令，解得.所以函数在上单调递增；在上单调递减；（2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增.所以当时，函数取得最小值，又，，而，所以当时，函数取得最大值为：.即在区间上的最大值为，最小值为.51．（2023·高二课时练习）设函数在区间上有最大值23，最小值3，求a，b的值．【答案】，【分析】通过函数表达式求导数，由导数确定极值点，再根据最值求，，可以求得二组解，再进行讨论确定，的值.【详解】因为所以令，则或由于，当时，；当时，故在，取得最小值3所以或者所以，或者，若，，则而，不合题意，舍去；若，，则而故，52．（2023上·福建龙岩·高三福建省龙岩第一中学校考阶段练习）已知函数．(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程（含参数a），由切线过原点求出a的值；（2）利用导数研究的单调性并求出上的最大值，由二次函数性质求在上的最大值，根据已知不等式恒（能）成立求参数a的范围.【详解】（1）由，可得．因为，，所以切点坐标为，切线方程为：，因为切线经过，所以，解得．（2）由题知的定义域为，，令，解得或，因为所以，所以，令，即，解得：，令，即，解得：或，所以增区间为，减区间为．因为，所以函数在区间的最大值为，函数在上单调递增，故在区间上，所以，即，故，所以的取值范围是.53．（2023·浙江·统考一模）已知实数满足，设函数．(1)当时，求的极小值；(2)若函数与的极小值点相等，证明：的极大值不大于．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到、、的关系表，从而求出函数的极小值；（2）首先利用导数求出的极小值点，再求出的导函数，即可得到，从而求出的单调区间与极值，即可证明.【详解】（1）解：当时，所以．列表如下：12+0－0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的极小值为．（2）证明：．由于，所以当或时，当时，即在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取极小值，所以为的极小值，而，所以，即．所以当或时，当时，即在和上单调递增，在上单调递减，又因为，所以．故的极大值不大于．54．（2023下·广东佛山·高二校考阶段练习）已知函数.(1)求的单调区间和极值.(2)若关于的方程有唯一的实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)递增区间为，递减区间为，，极小值为0，极大值为.(2)【分析】（1）求导分析导函数的正负区间即可得单调区间与极值点；（2）方程有唯一的实数根等价于函数与直线有唯一的交点，再根据（1）所得的单调性与极值数形结合分析即可【详解】（1），由得或，由得，所以的递增区间为，递减区间为，.极小值为，极大值为.（2）方程有唯一的实数根等价于函数与直线有唯一的交点，画出的大致图像如图所示，所以实数的取值范围为.55．（2023·全国·高二专题练习）已知，曲线在点处取得极值．(1)求的值；(2)求函数的极值．【答案】(1)(2)极大值为，极小值为【分析】（1）求得，根据题意得到，即可求解；（2）由（1）求得，结合的符号，即可求得函数的单调性和极值.【详解】（1）解：由题意，函数，可得，因为曲线在点处取得极值，可得，解得，经检验符合题意，所以．（2）解：由（1）可知，函数，则，当或时，，当时，，因此在区间和上单调递减，在区间上单调递增，故的极大值为，的极小值为．56．（2023下·甘肃临夏·高二统考期末）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)求函数的极值．【答案】(