第7章 测量误差的基本知识

第七章测量误差的基本知识第七章测量误差基本知识第一节测量误差概述第二节大量偶然误差的特性第三节无真值条件下的最或是值第四节观测值精度评价指标第五节误差传播定律及应用【知识目标】了解：测量误差及其产生的原因、偶然误差的特性。理解：测量误差的分类与处理原则、观测值精度的评价指标。掌握：误差传播定律。【技能目标】能分析误差产生的原因及误差的种类。能对各种具体的误差进行分析、归类。能计算相对误差。

测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值：三角形α+β+γ≠180°

闭合水准测量∑h≠0第一节

测量误差概述（理解）一、测量误差及其产生的原因1、测量误差概念：观测值：对某一被观测量进行直接观测所获得的数值。真值：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。误差：真值与观测值之差（真误差）

△=L真–L观＝X－L观或＝L观–L真＝L观－X2、误差产生原因等精度观测：观测条件相同的各次观测。不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。（1）测量仪器（2）观测者（3）外界环境观测条件二、测量误差的分类

测量误差按其性质可分为系统误差、偶然误差和粗差。（1）系统误差的特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。

1、系统误差

在相同的观测条件下，对某一观测量进行一系列的观测，若误差的大小和符号相同，或按照一定的规律变化，则称之为系统误差。（2）系统误差的减弱方法：检校仪器，把系统误差降低到最小程度；加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数；采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱。

在相同的观测条件下，对观测量进行一系列观测，误差出现的大小及符号在个体上没有任何规律，具有偶然性。但对大量的观测误差而言，它们遵循正态分布的统计规律，这类误差称为偶然误差，或称为随机误差。偶然误差是不可避免的，是由于人力所不能控制的因素或无法估计的因素共同引起的测量误差。人力所不能控制的因素：人眼的分辨力、仪器的极限精度和气象因素等。2、偶然误差（1）偶然误差的示例：

距离测量Δ

No9.49.79.59.69.39.29.60.1-0.20-0.10.20.3-0.1

1234567NL△△=L真–L观

=X－LD9.5cm=X（2）偶然误差的减弱方法：①提高仪器等级：可使观测值的精度得到有效的提高，从而限值偶然误差的大小。②降低外界影响：选择有利的观测环境，减小观测值的波动。③进行多余观测：在测量工作中进行多余必要观测的观测，称为多余观测。3、粗差（错误）由有关人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错称为粗差。（1）产生的原因：较多可能由于作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等。也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起。（2）粗差对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有其存在。（3）发现粗差的方法：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。

总结：在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。（1）有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；（2）集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；（3）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；（4）抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零，即

一、偶然误差的特性：

式中，

在数理统计中，也称偶然误差的数学期望为零，即E(Δ)=0。第二节大量偶然误差的特性（了解）二、偶然误差概率分布曲线----正态分布曲线误差分布曲线偶然误差的出现服从标准正态分布，实践中，可以根据偶然误差的特性合理地处理观测数据，以减少偶然误差对测量成果的影响。在实际测量工作中，只有极少数观测量的理论值或真值是可以预知的，一般情况下，由于测量误差的影响，观测值的真值是很难测定的。为了提高观测值的精度，测量上通常采用有限的多余观测，通过计算观测值的算术平均值来代替观测量的真值X，用改正数Vi代替真误差Δi，以解决实际问题。第三节无真值条件下的最或是值（理解）一、算术平均值在等精度观测条件下，对未知量进行了n次观测，其观测值分别为l1，l2...，ln，将这些观测值取算术平均值：当观测次数无限增多时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值X。但是在实际测量中，不可能对某一量进行无限次观测，因此，就把有限个观测值的算术平均值作为该量的最或是值，也称为观测值的最可靠值。二、观测值的改正数算术平均值与观测值之差，称为观测值的改正数vi。一组观测值取算术平均值后，其改正数之和恒等于零。第四节观测值精度评价指标（掌握）一、中误差在等精度观测条件下，对真值X的某一量进行n次观测，其观测值为l1，l2，...，ln，则每次观测中产生的真误差为Δ1，Δ2，...，Δn，取各真误差平方和的平均值的平方根，作为观测值的中误差，即1、用真误差来确定中误差

由上述计算结果中可以看出，1组的中误差较小，所以观测精度高于2组。在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。【例题】1、2两组分别用相同的观测条件观测了某角度各六次，与真值比较得真误差分别为：1组：+2″、+1″、－2″、－3″、－2″、－3″；2组：+5″、－4″、+1″、－4″、－3″、+6″。试分析两组观测值的精度。解：用中误差公式（5-7）计算得2、用观测值的改正数来确定中误差在实际测量工作中，观测值的真值X往往是不知道，因此，真误差Δi也无法求得，此时，要通过计算观测值的算术平均值来代替观测量的真值X，用观测值的改正数vi代替真误差Δi，在此情况下，中误差的计算公式为二、容许误差

通常以两倍中误差作为偶然误差的极限值Δ限，并称为极限误差或容许误差，即Δ限＝2m。在测量中，如某观测量的误差超过了容许误差，就可以认为它是错误的，其观测值应舍去重测。1、定义：相对误差K等于绝对误差的绝对值与相应观测值D之比，它是一个无名数，通常用分子为1的分数表示:三、相对误差

一般情况:角度、高差的误差用绝对误差(m)表示，量距误差用相对误差K表示。式中K－相对误差；m－观测误差（中误差）；L－观测量的值；N－相对误差分母。

概念

误差传播定律：阐述观测值的中误差与其函数中误差之间传播规律的定律。函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数第五节

误差传播定律及应用（掌握）观测值的函数---又称为间接观测量间接观测量:由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量。例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a和前视读数b来求得的高差：h=a－b

间接观测量的误差：由于直接观测值(a、b)中都带有误差,函数(间接观测量h)也必然受到影响而产生误差.一、倍数函数设有函数Z＝kx，式中，k为常数，x为直接观测值，其中误差为mx，现求观测值函数Z的中误差mz。则有mz＝kmx（推导过程略）即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数。例：用水平视距公式D＝kl求平距，已知观测视距间隔的中误差ml＝±1cm，k＝100。则平距的中误差mD＝100ml＝±1m。二、和差函数设有函数z＝x±y，式中，x，y为独立观测值，它们的中误差分别为mx和my，则有例：在ΔABC中，对∠A和∠B进行了观测，其观测的中误差mA和mB分别为±3"和±4"，试推算∠C的中误差mc。解：∠C＝180°－∠A－∠B，为和差函数。三、线性函数的中误差设有线性函数：设个独立观测值x1，x2，...，xn的中误差为m1，m2，...，mn，则函数Z的中误差为mz，可导出例：有一函数Z＝2x1＋x2＋3x3，其中x1，x2，x3的中误差分别为±3mm，±2mm，±1mm。四、算术平均值的中误差对某一量X进行了n次等精度观测，各次观测中误差为m，求某算术平均值的中误差M。解：算术平均值可以写为算术平均值的中误差总结：算术平均值的中误差是观测值中误差的五、一般函数的中误差（自学P112）习题解答：1、设有一正方形建筑物，量得其一边长为a、其中误差ma＝±3mm，求周长的中误差。若以相同精度测量其四边，各边的中误差均为±3mm，则周长的中误差又为多少。解：（1）周长＝4a，为倍数函数，则有m周＝4×ma＝±4×3mm＝±12mm（2）周长＝a1＋a2＋a3＋a4，为和差函数，则有m周＝±√ma12＋ma22＋ma32＋ma42＝±√36mm＝±6mm2、在ΔABC中，观测∠A的中误差为mA＝±30"，∠B的中误差为mB＝±30"，则∠C的中误差mc为多少？由A角平分线AO与B角平分线BO和AB组成的ΔABO，则∠O的中误差mo为多少？（图见p115）解：（1）∠C＝180°－∠A－∠B（和差函数）

mc＝±√mA2＋mB2＝±√900＋900≈±42.4"（2）∠O＝180°－∠A/2－∠B/2（线性函数）

mc＝±√(mA/2)2＋(mB/2)2＝±√225＋225≈21.2"3、采用两次仪器高法进行水准测量，每次读数包含瞄准误差、估读误差及气泡居中不准误差，它们的数值分别是m瞄＝1.1mm，m估＝2.5mm，m气＝1.5mm，试求

（1）一次仪器高测定高差h1的中误差mh1；

（2）两次仪器高测得高差之差Δh的中误差mΔh；

（3）测站高差平均值h中误差mh。解：

（1）