必修1《函数的零点与方程的根》(有答案)

《函数的零点与方程的根》专题复习知识点梳理函数的零点：对于函数，把使的实数叫做函数的零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。函数与方程思想：假设=与轴有交点()=0假设=()与=()有交点(，)=有解。知识应用考点一函数零点的求法1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是()A．0B．1C．2 D．32.函数f(x)＝x2－1，那么函数f(x－1)的零点是________．3.假设函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是___________4.函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，那么它的另一个零点为________．5.函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnx，x＞0))的零点个数为()A．0B．1C．2 D．3解析法一由f(x)＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋2x－3＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,－2＋lnx＝0，))解得x＝－3，或x＝e2.因此函数f(x)共有两个零点．法二函数f(x)的图象如下图可观察函数f(x)共有两个零点．答案B对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑：(1)结合函数图象；(2)根据零点存在定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等．考点二零点存在性定理1.根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间()x－10123ex0.3712.787.3920.09x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)2．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4) D．(e,3)3.设函数y＝x3与y＝(eq\f(1,2))x－2的图象的交点为(x0，y0)，那么x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)4.假设函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，那么a的取值范围是________．补充：假设方程在〔0，1〕内有解，求a的取值范围。考点三、二分法1．如下图的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()．A．①②B．①③C．①④D．③④答案B考点四一元二次方程根的分布【例】►是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点．假设存在，求出a的取值范围，假设不存在，说明理由．[审题视点]可用零点定理去判断，注意对函数端点值的检验．解∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(8,9)))2＋eq\f(8,9)＞0∴假设实数a满足条件，那么只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)所以a≤－eq\f(1,5)或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时，a＝－eq\f(1,5)，此时f(x)＝x2－eq\f(13,5)x－eq\f(6,5).令f(x)＝0，即x2－eq\f(13,5)x－eq\f(6,5)＝0，解之得x＝－eq\f(2,5)或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－eq\f(1,5).综上所述，a＜－eq\f(1,5)或a＞1.例.关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，(1)方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.专题：函数的性质及应用分析：令f〔x〕ax2－2(a＋1)x＋a－1，〔1〕由求得a的范围．

〔2〕由，求得a的范围．

〔3〕当a＞0时，由f〔1〕＜0，且a＞0，求得a的范围；当a＜0时，由f〔1〕＞0，求得a的范围．再把这两个a的范围取并集，即得所求．解答：

解：关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，令f〔x〕=ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，

〔1〕由，解得0＜a＜1，故当0＜a＜1时，该方程有一正一负两根．

〔2〕由，解得a∈∅，∴不存在实数a使方程的两根都大于1．

〔3〕由f〔1〕=a-2〔a+1〕+a-1＜0，且a＞0，求得a＞0；

由f〔1〕=a-2〔a+1〕+a-1＞0，且a＜0，求得a无解．

综上，当a＞0时，方程的一根大于1，一根小于1．变式训练关于x的二次方程x2+2mx+2m(1)假设方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)假设方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.〔1〕－<m<－.〔2〕－<m≤1－设二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0所对应的函数为f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.

(1)要使方程的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，那么结合函数图象(如图)，

有

解得－<m<－.

(2)要使方程两根均在区间(0，1)内，那么结合函数图象(如图)，

有

解得即－<m≤1－1、假设函数的定义域为，那么实数的取值范围是〔〕(A)(B)(