2022山东省泰安市中考数学试卷

2022年山东省泰安市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正

确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1.（4分）计算（-6）、（-3）的结果是（）

A.-3B.3

2.（4分）下列运算正确的是（）

A.6x_2x=4B.

3.（4分）下列图形：

也?

C.2D.1

4.（4分）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年

可输出约44.8万度的清洁电力.将44.8万度用科学记数法可以表示为（）

A.0.448x1（）6度B.44.8xl04度C.4.48x10s度D.448x1（）6度

5.（4分）如图，/J/，点A在直线右上，点5在直线4上，AB=BC,ZC=25°,Nl=60。.则

/2的度数是（）

C.60°D.55°

6.（4分）如图,他是0O的直径，ZACD=ZCAB,AD=2,AC=4,则的半径为

)

C.2行D.V5

7.（4分）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（）

A.最高成绩是9.4环B.平均成绩是9环

C.这组成绩的众数是9环D.这组成绩的方差是8.7

8.（4分）如图，四边形ABCD中，ZA=60°,AB1/CD,交AB于点E,以点E

为圆心，DE为半径，且比=6的圆交8于点F,则阴影部分的面积为（）

C.6〜述D.3一手

2

9.（4分）抛物线y=o?+fex+c上部分点的横坐标无，纵坐标y的对应值如下表:

X-2-101

y0466

下列结论不正确的是（）

A.抛物线的开口向下

B.抛物线的对称轴为直线x=』

2

C.抛物线与x轴的一个交点坐标为（2,0）

D.函数、=以2+6x+c的最大值为日

10.（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去

买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的

价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于

一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（

）

A.3（x-l）x=62IOB.3（x-1）=6210C.（3x-l）x=6210D.3x=6210

11.（4分）如图，平行四边形ABC。的对角线AC,相交于点O,点E为8C的中点，

连接EO并延长交45于点F,NA5C=60。，3C=245.下列结论：①A8J_AC;②

AD=4OE；③四边形AECF是菱形；其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

12.（4分）如图，四边形ABCD为矩形，他=3,3c=4,点P是线段3c上一动点，点M

则3M的最小值为（）

C.V13--D.V13-2

2

二、填空题（本大题共6小题，满分24分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

13.（4分）计算：V8.V6-3^|=

14.（4分）如图，四边形MCZ）为平行四边形，则点8的坐标为

15.（4分）如图，在AABC中，々=90。，0。过点A、C,与4?交于点£>,与BC相切

于点C,若ZA=32。，则NADO=

16.（4分）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角NQPC=30。，已知窗

户的高度AF=2〃?，窗台的高度CF=lm,窗外水平遮阳篷的宽AT>=08〃，则CP的长度

为（结果精确到0.1"）.

17.（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列:

若有序数对（〃,〃?）表示第"行，从左到右第加个数，如（3,2）表示6,则表示99的有序数对

是.

第1行1

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

18.（4分）如图，四边形A88为正方形,点E是8c的中点，将正方形A88沿AE折叠,

得到点3的对应点为点F,延长防交线段"'于点P,若45=6,则小的长度为

三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演

步骤）

19.（10分）（1）化简：｛a-2--—

a-2a2-4

（2）解不等式：2-生心〉更".

34

20.（10分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲.“太空教师”翟志刚、王亚平、

叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴

趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩

分为如下5组（满分100分），A组：75,,x<8（）,B组：8（）„x<85,C组：85„x<90,D

组：90„x<95,E组：95张*100,并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，解答

下列问题：

（1）本次调查一共随机抽取了一名学生的成绩，频数分布直方图中，〃=一,所抽取学

生成绩的中位数落在一组；

（2）补全学生成绩频数分布直方图；

（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多

少人？

（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加

周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.

学生成绩扇形统订图

学生成绩频数立方图

例函数y=±的图象经过。4的中点3,与AC交于点O.

X

（1）求左值;

（2）求△08。的面积.

22.（10分）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，8种茶20盒，共

花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%,该店又购进了A种茶20

盒，8种茶15盒，共花费5100元.求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格.

23.（12分）如图，矩形中，点E在。C上，DE=BE,AC与皮）相交于点O,BE

与AC相交于点尸.

（1）若BE平分NCBO,求证：BFJ.AC；

（2）找出图中与AO3产相似的三角形，并说明理由；

（3）若OF=3,EF=2,求DE的长度.

24.(12分)若二次函数卜="2+云+。的图象经过点A(-2,0),8(0,Y),其对称轴为直线

x=l,与x轴的另一交点为C.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点〃在直线钻上，且在第四象限，过点M作阴轴于点N.

①若点N在线段OC上，且MN=3NC,求点〃的坐标；

②以为对角线作正方形MPNQ(点P在"N右侧)，当点P在抛物线上时，求点”的

坐标.

25.(14分)问题探究

(1)在AA8C中，BD,CE分别是NA3C与N8C4的平分线.

①若NA=60。，AB=AC,如图1,试证明BC=CD+3E；

②将①中的条件=AC”去掉，其他条件不变，如图2,问①中的结论是否成立？并说

明理由.

迁移运用

(2)若四边形ABCD是圆的内接四边形，且NACB=2NAC£>,ZCAD=2ZCAB,如图3,

试探究线段4),BC,AC之间的等量关系，并证明.

图3

2022年山东省泰安市中考数学试卷

答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正

确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1.（4分）计算（-6）x（—1）的结果是（）

2

A.-3B.3C.-12D.12

【分析】根据有理数的乘法法则计算即可.

解：原式=+（6x；）

=3.

故选：B.

2.（4分）下列运算正确的是（）

A.6x-2x=4B.a'1-o'=a*1C.x64-x3=x3D.（x-y）2=x2-y2

【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数基的乘法判断B选项；根据同底数事的

除法判断C选项；根据完全平方公式判断D选项.

解：A选项，原式=4x,故该选项不符合题意；

8选项，原式="，故该选项不符合题意；

C选项，原式=1,故该选项符合题意；

。选项，原式=f—2刈+丁，故该选项不符合题意；

故选：C.

3.（4分）下列图形:

②2

C.2D.1

【分析】根据图形对称的定义判定就行.

解：（1）是轴对称图形；

（2）是轴对称图形；

（3）不是轴对称图形；

（4）是轴对称图形；

故选：B.

4.（4分）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年

可输出约44.8万度的清洁电力.将44.8万度用科学记数法可以表示为（）

A.0.448x106度B.44.8x104度C.4.48xlO5®D.448x1（）6度

【分析】根据1万=1（）4,然后写成科学记数法的形式：axW,其中〃为正整数

即可.

解：44.875=44.8x104=4.48x105,

故选：C.

5.（4分）如图，4/%,点A在直线4上，点8在直线上，AB=BC,NC=25。，Nl=60。.则

N2的度数是（）

A.70°B.65°C.60°D.55°

【分析】利用等腰三角形的性质得到NC=N84C=25。，利用平行线的性质得到

ZBEA=950,再根据三角形外角的性质即可求解.

解：如图,

A4

vAB=BC,ZC=25°,

/.ZC=ZaAC=25°,

・1/〃2，Zl=60°,

/BEA=180°-60°-25°=95°,

vZBE4=ZC+Z2,

/.Z2=95o-25o=70°.

故选：A.

6.(4分)如图，AB是OO的直径，ZACD=ACAB,4)=2,AC=4,则G)O的半径为

()

A.2>/3B.3>/2C.26D.y[5

【分析】根据圆周角定理及推论解答即可.

解：连接CO并延长CO交OO于点E,连接AE,

・.Q4=OC，

,\ZOAC=ZOCA,

・・・NACD=NC4B,

.・.ZACD=ZACO,

AE=AZ)=2,

,JCE1是直径，

/.ZE4c=90。，

在RtAEAC中，AE=2,AC=4,

EC=j2?+42=2右,

，0O的半径为石.

故选：D.

7.(4分)某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是()

A.最高成绩是9.4环B.平均成绩是9环

C.这组成绩的众数是9环D.这组成绩的方差是8.7

【分析】根据题意分别求出这组数据的平均数、众数和方差即可判断.

解：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不合题意；

平均成绩是5x(9.4x2+8.4+9.2x2+8.8+9x3+8.6)=9(环)，故选项3不合题意；

这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意；

这组成绩的方差是

^x[2x(9.4-9)2+(8.4-9)2+2x(9.2-9)2+(8.8-9)2+3x(9-9)2+(8.6-9)2]=0.096,故选

项。符合题意.

故选：D.

8.(4分)如图，四边形438中，Z4=60。，AB//CD,DELAD交AB于点E,以点E

为圆心，为半径，且DE=6的圆交CD于点f,则阴影部分的面积为()

C.6万一也D

A.64—9GB.12^-9A/3-3-竽

2

【分析】根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可.

解：・.・NA=60。，AB!1CD,DE上AD交AB于点E,

二NGDE=ZDEA=30。，

♦,DE=EF,

:.空DF=ZEFD=30°,

:.ZDEF=12O°,

过点E作EGLDF交DF于点G,

•.•ZGDE=30°,DE=6,

.-.GE=3,DG=3»,

;.DF=6+,

阴影部分的面积=12°乃x36_」x68*3=12l-9G,

9.（4分）抛物线y=«x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:

X-2-101

y0466

下列结论不正确的是（）

A.抛物线的开口向下

B.抛物线的对称轴为直线x=1

2

C.抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0)

D.函数y=ox?+Z?x+c的最大值为空

4

【分析】根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判

断各个选项中的说法是否正确.

解：由表格可得，

4。-2。+c=0

<〃一力+。=4，

c=6

a=-\

解得,b=1,

c=6

[25

y=-x~+x+6=-(x-务)2H——=(-x+3)(x+2),

.••该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；

该抛物线的对称轴是直线x故选项5正确，不符合题意，

2

，,当x=—2时，y=0,

.,.当x=；x2-(-2)=3时，y=0,故选项C错误，符合题意；

函数y=ox2+bx+c•的最大值为个，故选项。正确，不符合题意；

故选：C.

10.(4分)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去

买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的

价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于

一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(

)

A.3(x-l)x=6210B.3(x-1)=6210C.(3x-l)x=6210D.3x=6210

【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3。-1)文，利用总价=单价x数量，即

可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

解：•.•这批椽的数量为X株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等

于一株椽的价钱，

.•.一株椽的价钱为3（x-l）文.

依题意得：3（x-l）x=6210.

故选：A.

11.（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC,或）相交于点O,点E为的中点，

连接EO并延长交4）于点尸，ZABC=60°,BC=2AB.下列结论：①A8J_AC;②

AD=4OE；③四边形板尸是菱形；④SgoE=*S“Bc'其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】通过判定为等边三角形求得的£=60。，利用等腰三角形的性质求得

ZE4C=30°,从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱

形的性质和含30。直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④.

解：・・•点石为3C的中点，

・•.BC=2BE=2CE,

又・；BC=2AB,

AB=BE，

是等边三角形，

/.ZSAE=ZBE4=60°,

.­.ZE4C=ZEC4=30°，

ZBAC=ZBAE+ZEAC=90°，

即AB_LAC,故①正确；

在平行四边形ABC。中，AD//BC,AD=BC,AO=CO,

ZCAD=ZACB,

在AAOF和ACOE中,

NCAD=/ACB

<OA=OC，

ZAOF=/COE

WOF三ACOE(ASA),

AF=CE,

/.四边形AECF是平行四边形，

又・・・A5，AC,点石为5c的中点，

/.AE=CE，

・•・平行四边形型方是菱形，故③正确;

：.AC±EF,

在RtACOE中，NACE=30。，

:.OE=-CE=-BC=-AD,故②正确;

244

在平行四边形中，OA^OC,

又•.•点E为3C的中点，

S/fjioE=—Sfjj0c=WS（MIC，故④正确；

正确的结论由4个，

故选：A.

⑵（4分）如图，四边形他8为矩形,AB=3,3c=4,点P是线段BC上一动点，点M

为线段4s上一点，ZADM=ABAP,则3M的最小值为()

Bp。

A.2B.UC.V13--D.V13-2

252

IB,OM.证明ZAMD=90°,推出

【分析】如图，取A£＞的中点O,连接，OM='AO=2,

2

点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的0O.利用勾股定理求出08,可得结论.

解：如图，取A£＞的中点O,连接05,OM.

・・,四边形MCD是矩形，

:.ZBAD=90°,AD=BC=4,

NBAP+ZDAM=90°,

\ZADM=ZBAP9

:.ZADM+ZDAM=90°，

.\ZAMD=90°f

・・・AO=OD=2,

:.OM=-AD=2，

2

点用的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的。O.

OB=yjAB2+AO2=732+22=x/13,

:.BM..OB-OM=y/l3-2,

的最小值为而-2.

故选：D.

二、填空题（本大题共6小题，满分24分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

13.（4分）计算：瓜.&-3A=_26一

【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法.

解：原式=我彘-3x2回

3

=4x/3-25/3

=2G，

故2G.

14.(4分)如图，四边形MCD为平行四边形，则点8的坐标为_(-2,-1)

【分析】直接根据平移的性质可解答.

解：•.•四边形为平行四边形，且4-1,2),0(3,2),

.・•点A是点D向左平移4个单位所得，

•••C(2,-l),

8(-2,-1).

故(-2,-1).

15.(4分)如图，在AABC中，ZB=90°,过点A、C,与他交于点。，与相切

于点C,若NA=32。，贝=

C

【分析】连接OC，根据圆周角定理求出NDOC,根据切线的性质得到OCL8C,证明

AB//OC,根据平行线的性质解答即可.

解：连接OC,

•.•ZA=32。，

.\ZDOC=2ZA=M0,

•••3C与。。相切于点C,

.\OC±BC,

•.•NB=90°,

ZB+ZOCB=180°.

AB!IOC,

：,ZADO=ZDOC=M09

16.（4分）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角N£）PC=30。，已知窗

户的高度AF=2根，窗台的高度CF=lm,窗外水平遮阳篷的宽A£>=0.8m,则CP的长度

【分析】本题涉及遮阳棚的计算问题，光线是平行光线，所以在直角三角形中，知道一个锐

角的度数，一条边的长度，可以运用直角三角形边角的关系解决问题.

解：根据图形可知AD//CP.

•••AD//CP,ZDPC=30°,

在RtAABD中，ZADB=30°,AD=0.8m,

AB=ADxtanZADB=0.8x—n0.466.

3

AB=0.46m，AF=2m,CF=Im,

/.BC=2.54m,

在RtABCP中，ZBPC=30°,BC=2.54m,

fBC2.54”

/.CP=-------------=----------«4.4m.

tanZBPCtan30°

答：CP的长度约为4.4m.

故4.4m.

17.（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列:

若有序数对(〃,，")表示第〃行，从左到右第，”个数，如(3,2)表示6,则表示99的有序数对

是_(10,18)_.

第1行1

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

【分析】根据第〃行的最后一个数是第〃行有(2〃-1)个数即可得出答案.

解：•.•第〃行的最后一个数是第〃行有(2〃-1)个数,

.•-99=102-1在第io行倒数第二个，

第10行有：2x10-1=19个数，

.•.99的有序数对是(10,18).

故(10,18).

18.(4分)如图，四边形ABCZ)为正方形，点£是3c的中点，将正方形沿AE折叠,

得到点8的对应点为点F,延长所交线段Z5C于点P,若AB=6,则。尸的长度为2.

【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明RtAAFP3RtAADP(HL),可得

PF=PD,设PF=PD=x,则CP=CD—P£>=6—x,EP=EF+FP=3+x,然后根据勾

股定理即可解决问题.

解：如图，连接AP,

・・•四边形ABC。为正方形，

:.AB=BC=AD=6,NB=NC=ZD=90°,

点石是3c的中点，

/.BE=CE=、AB=3,

2

由翻折可知：AF=AB,EF=BE=3,NAFE=NB=90。，

：.AD=AF,ZAFP=ZD=90°f

在RtAAFP和RtAADP中，

[AP=AP

[AF=AD'

RtAAFP=RtAADP(HL),

:.PF=PD,

设PF=PD=x,贝ijCP=8—Q£>=6—x,EP=EF+FP=3+x,

在RtAPEC中，根据勾股定理得：

EP2=EC2+CP2,

(3+X)2=32+(6-X)2,

解得x=2.

则。尸的长度为2.

故2.

三、解答题(本大题共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演

步骤)

19.(10分)(1)化简：3-2--+-)+字士；

a-2a2-4

(2)解不等式：2-生心〉汉丑.

34

【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法;

(2)根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1”的步骤解一元一次不等式.

解：(1)原式=产21一£](〃+2)(〃-2)

a—2a—2a—4

〃

--/------4----+--4-----4---(-a--+---2-)-(-a-----2--)

。-2u—4

a(a-4)(a+2)(a—2)

=-----------•------------------

a-2a-4

=a(a+2)

=a2+2a；

(2)

34

去分母，得：24-4(5x-2)>3(3x+l),

去括号，得：24-20x+8>9x+3,

移项，得：-20x-9x>3-8-24,

合并同类项，得：-29%>-29,

系数化1.得：x<l.

20.(10分)2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲.“太空教师”翟志刚、王亚平、

叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴

趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩

分为如下5组(满分100分)，A组：75,,x<80,3组：8Q,x<85,C组：85„x<90,D

组：9Q,x<95,£组：95张/100,并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，解答

下列问题：

(1)本次调查一共随机抽取了400名学生的成绩,频数分布直方图中〃?=—,所抽

取学生成绩的中位数落在一组；

(2)补全学生成绩频数分布直方图；

(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多

少人？

(4)学校将从获得满分的5名同学(其中有两名男生，三名女生)中随机抽取两名，参加

周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.

学生成绩频数直方图学生成绩扇形统il•图

【分析】（1）由。组的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生成绩，即可

解决问题；

（2）求出E组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；

（3）由学校共有学生人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可；

（4）画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果

有12种，再由概率公式求解即可.

解：（1）本次调查一共随机抽取的学生总人数为：96+24%=400（名），

.•.B组的人数为：400xl5%=60（名），

..加=60，

•.•所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，20+96+60=176,

所抽取学生成绩的中位数落在。组，

故400,60,。；

（2）E组的人数为：400-20-60-96-144=80（人），

补全学生成绩频数分布直方图如下：

学生成绩频数宜方图

144-4-RO

(3)3000x------=1680(人)，

400

答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；

(4)画树状图如下：

,开始

男男女女女

xTV

男女女女男女女女男男女女男男女女男男女女

共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，

抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为竺=3.

205

21.(10分)如图，点A在第一象限，AC_Lx轴，垂足为C,0A=26，tanA」，反比

2

例函数y=4X的图象经过的中点3,与AC交于点£>.

(1)求k值；

(2)求△O8D的面积.

【分析】(1)先根据tanA=L,可得AC=2OC,根据。4=2石，由此可得A的坐标，由8

2

是。4的中点，可得点B的坐标，从而得k的值；

(2)先求点。的坐标，根据面积差可得结论.

解：(1)•.•ZACO=90°,tanA=-,

2

/.AC=2OC,

-：OA=2y/5,

由勾股定理得：(26)2=OC2+(2OCf,

:.OC=2,AC=4,

/.42,4),

・.・5是。4的中点，

8(1,2),

.•"=1x2=2；

(2)当工=2时，y=l,

D(2,l),

"。=4-1=3,

・

••J&qOBD.—q-q^MBD

=—x3x2--x3xl

22

=1.5.

22.(10分)泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，8种茶20盒，共

花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%,该店又购进了A种茶20

盒，8种茶15盒，共花费5100元.求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格.

【分析】设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，3种茶的价格为y元/盒，利用总价=单

价x数量，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

解：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，

依题意得：《,

(20x(1+20%)x+15x(1+20%)y=5100

答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，3种茶的价格为150元/盒.

23.(12分)如图，矩形438中，点E在。C上，DE=BE,AC与皮)相交于点O,BE

与AC相交于点尸.

(1)若BE平分NCBD,求证：BF1AC；

(2)找出图中与△圆尸相似的三角形，并说明理由：

(3)若O尸=3,EF=2,求DE的长度.

【分析】(1)根据矩形的性质和角平分线的定义，求得N3=N6,从而求证

(2)根据相似三角形的判定进行分析判断；

(3)利用相似三角形的性质分析求解.

(1)证明：如图，

在矩形ABCD中，OD=OC,AB//CD,ZBCD=90。,

/.Z2=Z3=Z4,Z3+Z5=90°,

・.・DE=BE,

/.ZI=Z2,

又・.・3£平分NDBC,

/.Z1=Z6,

/.Z3=Z6,

/.Z6+Z5=90°,

/.BF±AC；

(2)解：与AO8方相似的三角形有Mb,AS4F,AEBC,理由如下:

由(1)可得N1=N4,BF.LAC,

.\ZAFB=ZBFC=90°,

：.^ABF^ABOF,

•・・Z1=N3,ZEFC=ZBFO,

:在CFs耶OF,

•・・N1=N6,ZCFB=ZBCD=90°,

/.NEBC^NOBF；

(3)解：♦:①CFsgOF,

EFCF

•.---=---,

OFBF

2CF

・•.一=一,即3cb=23/，

3BF

.♦.3O4=2M+9①，

.OF_BF

而一而‘

BF-=OFAF,

BF2=3(04+3)②,

联立①②，可得8尸=1±\/?^（负值舍去），

DE=BE=2+1+719=3+719.

24.（12分）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点4-2,0）,3（0,T）,其对称轴为直线

x=l,与x轴的另一交点为C.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点M在直线43上，且在第四象限，过点用作MNLx轴于点N.

①若点N在线段OC上，且MN=3NC,求点M的坐标；

②以MN为对角线作正方形MPNQ（点尸在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点〃的

坐标.

（备用图）

【分析】(D利用待定系数法求出a,b,c即可；

(2)①求出直线他的解析式为y=-2x-4,因为A,C关于直线x=l对称，推出C(4,0),

设N(m,O),则M(肛-2m-4),NC=4-m,根据MN=3NC,构建方程求解；

②如图2中，连接PQ,MN交于点E.设M«,-2r-4),则点N(f,O),利用正方形的性质

求出点P的坐标，代入抛物线的解析式，构建方程求解.

解：(1)•.•二次函数)，=尔+灰+。的图象经过点8(0,T),

「.c=-4,

•••对称轴为直线x=1,经过4-2,0),

上=1

..<2a，

4。-26-4=0

解得"5，

Z>=-1

抛物线的解析式为y=1/-》-4；

2

(2)①如图1中，

设直线AB的解析式为y=kx+n,

•/A(-2,0),8(0,-4),

(-2k+77=0

=—4

解得4=一2,

[n=-4

直线AB的解析式为y=-2x-4,

,.,A,。关于直线x=l对称，

・•.C(4,0),

设N(〃?,0),

・・・MV_Lx轴，

/.A/(AH,-2Z?7-4),

/.NC