甘肃省2021届高三年级上册第二次诊断考试数学（文科）试题

民乐一中2020-2021学年第一学期高三年级第二次诊断考试

文科数学试卷

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)

1.函数y=lg(—x)的定义域为A，函数y=e''的值域为5,则Ac3=()

A.(0,+oo)B.(0,e)C.RD.0

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析:由题意知4=(-0,0),3=(0,+8),，4<^8=0,故选D.

考点:函数的定义域；集合的运算.

2.已知点A(L3),B(4,-l),则与向量AB的方向相反的单位向量是()

【答案】A

【解析】

【分析】

求出向量，再利用相反向量以及单位向量的求法即可求解.

【详解】由A(l,3),B(4,-l),

所以AB=(3,T),

48/_34]

所以向量A8的方向相反的单位向量为一网-㈠母

故答案为：A

3.如果束之+2米一(%+2)<0恒成立,则实数我的取值范围是()

A.-l<k<0B.-l<k<0C.—l<k<0D.—l<k<0

【答案】c

【解析】

【详解】当k=0时，-2<0成立，

当kvo时，A=4F+44(攵+2)<0,解得一1<%<0，

综合得一1<依0

4.若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是()

AP^qB.p/\(F)C.(-ip)VqD.

(—!〃)A(—if7)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复合命题的真假表即可得出结果.

【详解】命题P为真命题，命题q为假命题，所以力为假命题，F为真命题，

根据复合命题的真假判断可得

〃A17为假命题；pA(—1。)为真命题；(-i")vq为假命题；(一10)八(一1乡)为假命题.

故选：B

5,函数y=l°gi(%2—4x+3)的单调递增区间为()

3

A.(3,+8)B.(-,1)C.(-°°,1)U(3,+8)D.(0,+8)

【答案】B

【解析】

令u=x2—4x+3,原函数可以看作y=u与u=x2—4x+3的复合函数.

3

令u=x2—4x+3>0,

则x<l或x>3.

函数y=1°gl(x2—4x+3)的定义域为(-8,1)U(3,+-).

3

又u=x2—4x+3的图象的对称轴为x=2,且开口向上，

u=x2—4x+3在(-8,1)上是减函数，在(3,+8)上是增函数.而函数y="glu在(0,+

3

间上是减函数，

.•.y=logj(x2—4x+3)的单调递减区间为(3,4-00),单调递增区间为(一8,1).

3

6.函数/(x)=f+法的图象在点处的切线与直线3x-y+2=0平行，若数列

1

的前”项和为S“，则S却15=()

/(")

201320142015

A.1B.----C.----D.----

201420152016

【答案】D

【解析】

【详解】f{x}-j3+bxlf\x)=lx+bl

由题意得了'(1)=3,2x1+8=3,.•，=1,/(x)=f+%,；.——=———=-------

j(n)几~+〃n〃+1

二$必5=(1-3+(9»『?+…+(/11_2015

2016_2016-2016

故选:D.

7.当x=(时，函数/(x)=Ayz7?(x+°)(A>0)取得最小值,则函数y=子一》)是()

A.奇函数且图象关于点0)对称

B.偶函数且图象关于点(%,0)对称

C.奇函数且图象关于直线x=2对称

2

D.偶函数且图象关于点对称

【答案】c

【解析】

【分析】

由题意可得Sz|4+^|=-l,解得(p=2k7T--,keZ,从而可求

sAn,利用正弦函数的图象和性质即可得解.

【详解】由x=(时函数/(x)=(x+0)(A>0)取得最小值,

-A=Asin[^+(p\f可得:

71..71.37r

—\-(p-z,k7r----,keZ、解得：(p=2k兀----,keZ,

424

.1./(x)=Asin

3乃3434

•••y=f--x=Asin------x-------=-Asinx,

44

7T

・,•函数是奇函数且图象关于直线X=一对称，故选C.

2

【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合能力，熟练掌握三角函数

的性质是解题的关键，属于基础题.

8.已知向量a=(3,1),6=(sina,cosa),且“〃匕，则tan2a=()

333

A.-B.--CD.----

55-14

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量共线的坐标表示以及二倍角的正切公式即可求解.

【详解】向量a=(3,l),b=(sina,cosa),且“〃人，

则3cosa-sina=(),

sina3口「-

所以-----=3,即tana=3,

cosa

c2tana63

tan2a=------0—=—=——

1-tan-a-84

故选：D

定义：在数列｛%｝中，若满足吗

9,—^d(〃GN+，△为常数),称｛4｝为"等差比

an+\a“

数列"。已知在"等差比数列"｛%｝中，4=%=1,%=3则"=(

)

“2013

A.4X20152-1B.4X20142-1

C.4X20132-1D.4x20132

【答案】c

【解析】

【分析】

利用定义，可得是以1为首项，2为公差的等差数列，从而嗅=2〃-1,利用

a„Jan

。2015_〃201502014—

----------------，可得结论.

%013。2014%013

【详解】q=a?=1,%=3,

.巴—丝=2

.。2%’

：.<4电］是以I为首项，2为公差的等差数列,

.•.4=2〃-1,

an

,£2015.=£2(M5..£2oi£=^2x2014-1)(2x2013-1)=4027x4025

“2013〃2014.2013

=(4026+1)(4026-1)=40262-1=4x20132-1.

故选：C.

【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写

出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，

再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列,

或用累加法、累乘法、迭代法求通项.

ln(—%),x<0

10.设函数/(x)=《,八，若/(〃?)>./■(—M，则实数机的取值范围是()

-In九,x〉0

A.(—1,0)(0,1)B.(-°°,—1)(0,1)

c.(-i,o)?a?)D.y,-i)(i,4w)

【答案】B

【解析】

详解当w>0

时，/(m)>f(-m),-Inm>Inrtv<0,/.nr<1,0<m<1；当加<0

时，/(m)>/(-/«),.,.ln(-;/j)>-ln(-m),.,.ln(-m)2>0,/.m2>1,；.m<—1.综上，实数m

的范围为(—x「l)u(0J).故选B.

考点：对数的性质；分类讨论思想.

【易错点睛】本题主要考查了对数的性质;分类讨论思想;分段函数等知识.比较对数的大小的方

法：(1)若底数相同，真数不同，则可构造相关的对数函数，利用其单调性比较大小.(2)

若真数相同，底数不同，则可借助函数在直线x=l右侧"底大图低"的特点比较大小或利用换

底公式统一底数.(3)若底数、真数均不同，则经常借助中间量"0"、或"1”比较大小.

2

11.在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c,且〃85。=348$3-。8$5,

uuuuu

BA-BC=2,则ZVIBC的面积为()

A.>/2B.|C.2>/2D.4夜

【答案】c

【解析】

【详解】因为Z?COSC=3QCOS3-CCOS3

由三角形的正弦定理得sin3cosC=3sinAcosB-sinCcosB

即sinBcosC+sinCcos3=3sinAcosB=>sin(B+C)=3sinAcosB

=>sinA=3sinAcosB=>cosB=-

3

所以sinB=^1-cos2B-J1-3=~~~

由BA・BC=2=>ABxBCxcosB=2nABxBC=6

SMRr=-ABxBCxsinB=-x6x^-=2y[2

MfiC223

故答案选C

考点：正弦定理；数量积；三角形面积.

12.已知函数/(x)=(与一地2%，实数。力.，满足其中

0<a<b<c,若实数升为方程/(x)=0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是

()

A.x0<aB.x0>hC.x0<cD.x0>c

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知得函数/(x)在定义域上是减函数，继而得/(a)>/(0)>/(c),可分两种情况：一种

情况是/(a),/S),/(c)都为负值，另一种情况是/(a)>0，/0)>0,/(c)<0,在

x

同一坐标系内画函数y=(1)与y=log2x的图象，运用数形结合的思想可得选项.

【详解】V/W=(1)'-log,x在定义域上是减函数，0<a<b<c时，

/(a>/(为f,

又•••/(4)•/(»•/(，)<0,二一种情况是/(a)，f(b),/(c)都为负值①，另一种情况是

/(«)>0,/(。)>0,/(c)<00,

在同一坐标系内画函数y=g)"与y=log2x的图象，

对于①要求a.A.c都大于X。，对于②要求“力都小于七时，C大于与.

两种情况综合可得无o>c不可能成立，

故选：D.

【点睛】本题考查函数的零点问题，将零点问题常常转化为方程的根，继而转化为两函数的

交点，运用数形结合的思想，属于较难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2

13.在复平面内,复数z与——的对应点关于虚轴对称,贝!]z=

1-Z

【答案】-1+，

【解析】

2_2(1+z)2

试题分析:1+i,复数z与——的对应点关于虚轴对称，所以z=-1+j.

i-i

考点：复数的运算.

14.若向量4/是两个互相垂直的单位向量，则向量。-扬在向量b方向上的投影为

【答案】-3

【解析】

l(a-乖>b>bnr2国

【详解】向量。一屏在向量。方向上的投影为----河------=73b=73.

考点：向量的投影.

15.已知奇函数/(X)的定义域为R,若/(X+2)为偶函数，且/⑴=1,则

/(2020)+/(2021)=—

【答案】-1

【解析】

【分析】

由奇函数和对称性推出函数周期为8,则/(202()=/(9/(2。2*X)，再结合

"1)=1即可求解

【详解】奇函数/(X)的定义域为R,若/(X+2)为偶函数，

/(0)=0,且/(-X+2)=f(x+2)=-/(X-2),

贝+4)=—/(x),则/(x+8)=—/(x+4)=/(%),

则函数/(x)的周期是8,且函数关于x=2对称，

贝i"(2020)=/(252x8+4)=〃4)=/(0)=0,

/(2021)=/(252X8+5)=/(5)=/(-I)=-/(1)=-1,

则/（2020）+/（2021）=0+（-1）=-1

故答案为：-1

【点睛】关键点点睛：本题考查由函数的奇偶性，对称性和周期性求解函数值，解题的关键

是利用奇、偶性求出函数的周期为8以及关于X=2对称，考查了分析能力、计算能力.

16.若函数/（尤）=，—ef+sin2x,则不等式/（2f-1）+/（力>。的解集为.

【答案】（t0，-1）

【解析】

【分析】

根据奇偶性的定义可判断出了（X）为奇函数；利用导数可得到“X）的单调性；将不等式转化

为/（2d—利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果.

【详解】由题意得：/（一力=”'一"-2sin2x=-〃x）（x）为R上的奇函数

xxxx

f'（x）=e+e-+2cos2x,e+e->2,2cos2x<2,f'（x），0且不恒等于零

••J（x）在R上单调递增

/（2/一1）+/（力>0等价于y（2d—1）>—y（x）=/（—x）

:.2X2-1>-X>WW：xe（-oo,-l）（g，+8）

故答案为：（Y0,-1）

【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定

义、导数的知识求得函数的单调性和奇偶性，从而将不等式转化为函数值的比较，利用单调

性进一步得到自变量的大小关系.

三、解答题（共70分）

C

17.设数列｛风｝的前〃项和为S“，点（”，甫）,〃eN*均在函数>的图象上.

（I）求数列也,｝的通项公式；

（□）若｛2｝为等比数列，且伪=1,4%d=8,求数列｛4+d｝的前n项和

2

【答案】（I）a„=2n-\.（口）Tn=n+T-\.

【解析】

【分析】

(I)依题意得a=〃，即S“=〃2.

n

讨论当〃=1时，4=S1=1,

当〃上2时，an=Sn-Sn_{=2n-1；

验证当〃=1时，4=2x1-1=1适合，得出结论.

-1

(U)由已知可得4=2,bn=2",a“+>=2〃-l+2"T,

利用"分组求和法”即得所求.

S，

【详解】(I)依题意得字=〃，即S“=〃2.

n

当〃=1时，％=S[=1

当“22时，an=S„-S“_i=2〃-1；

当7=1时,%=2x1—1=1

所以为=2〃-1

(H)用2b3=2'=8得到%=2,又仇=1,r.4=2,

.・.d=A/i=2"T,

1

a“+hn=2〃-1+2",

7；,=(2-1+2°)+(4-1+2')+-••+(2/2-1+2n-')

=(2-1+4-1+---2/J-1)+(2°+2'+---+2n-1)

=〃2+2"-1

18.如图，以Ox为始边作角a与力(0<4<a(兀))，它们的终边分别与单位圆相交于点P、

Q,已知点P的标为(一1■,二]

„sinla+cos2a+1

(1)求------------------的值;

1+tana

(2)若=求sin(a+£)的值

1Q7

【答案】(1)—;(2)—.

2525

【解析】

【分析】

(1)根据终边上点的坐标，利用三角函数定义得到角a的正弦值与余弦值，利用二倍角的正

弦公式、二倍角法余弦公式，切化弦，把要求的式子化简，约分整理，将所求三角函数值代

入求解即可；

IT34

(2)以向量的数量积为0为条件，可得a—〃=w,从而可得sin£=g,进而得cos/=g,

利用两角和的正弦公式可得结果.

34

【详解】(1)由三角函数定义得cosa=-w，sina=-

2sinacosa+2cos2。2cosa(sina+cosa),

._.=---------：--------=-----「-------------=2cos-a

••原rH式P，sinasina+cosa

1+-------

cosacosa

JI

(2)OPOQ=0,：.a-f3=—,

c71.n•I冗3

0=a---,/.sinp=sinI(2--二一cosa

5

；・sin(a+Q)=sinacos/?+cosasin尸

44.3、37

55[5)525,

19.已知函数f(x)=2百sinxcosx—3sin2x-cos2x+2.

JT

(1)当xe0,y时，求f(x)的值域；

(2)若AABC的内角A，B,C的对边分别为。，b,c且满足2=也，

a

sin(2A+C)=2+2COS(A+C),求/(B)的值.

sinA

【答案】⑴[—1,2]；(2)1.

【解析】

试题分析：(1)先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦

函数性质求值域，(2)先根据两角和正弦公式展开化简生但±9=2+2cos(A+C)得

sinA

sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,再根据余弦定理得3=三，代人/(x)徼(B)值.

试题解析：⑴/(x)=2\Z3sirixcosx-3sin2x-cos2x+2=V3sin2x-2sin2x+1

=6sin2x+cos2x=2sin2x+£

冗7万

xe0,一,・，•2x4---£,sin(2x+?卜--1/(x)e[-L2],

_26662''

(2)由题意可得sin[A+(A+C)]=2sinA+2sinAcos(4+C)有，

sinAcos(A4-C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(4+C),

化简可得：sinC=2sinA,・••由正弦定理可得：c=2a,•.•/?=百。，.•.余弦定理可得:

6Z2+c2-b2_a2+4。2—3。2

-：0<B<7T,：,B=~,所以/(B)=I.

2ac2a•2a23

20.设函数/(x)="—alnx(aeR),其中e为自然对数的底数.

(1)若/(x)在定义域上是增函数，求。的取值范围：

(2)若直线y=e是函数f(x)的切线，求实数〃的值;

【答案】(1)a<0；(2)a=e.

【解析】

【分析】

(1)由题意可得尸0)=0,一旦20在xe(0,+8)上恒成立；即在xe(0,+o。)上恒成

x

立，令机(x)=xe*,利用导数求出其最小值即可；

(2)设切点为(内),6与一alnx。)，则e'。-alnXo=e,由题意得6与一色=0,得

e与一玉/Hn%=e,令g(x)="—比工Inx,利用导数求出其单调区间和最值即可

【详解】(1)函数/(x)=e-alnx(aeR)定义域为(0,+8),f\x)=ex-->0,

X

•/在(0,+8)上是增函数

•••/'(X)=产一020在xG(0,+8)上恒成立；即a4X，在XG(0,+8)上恒成立

X

设m(x)=xex,则m'(x)=(x+l)ev

由x£(0,+oo)得m'(x)=(x+l)ev>0

/.m(x)=xex在x£(。,+8)上为增函数；即m(x)>m(0)=0

/.67<0.

(2)设切点为(天),6.-aln/),则e"-alnxo=e,

因为/'(x)=e'—g,所以e*-乌=°,得”=%泮，

xxo

x<

所以e"-x()e''Inx0=e

设g(x)=e*-xe'Inx,则g'(x)=(-x-l)exInx,

所以当0<x<l时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以g(X)max=g6=e.

因为方程e"-xne'°Inx0=e仅有一解%=1,

所以a=e.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，解题的关键是由题意得洲-alnx0=e,

A

a=xoe°,得到e'°-Xo/"In/=e,然后构造函数g(x)=e*-xe*Inx,利用导数求得

g(X)max=g6=e，从而得不=1,考查数学转化思想和计算能力，属于中档题

21.已知函数〃x)=(x—2)e*,XG(0,+oo).

(1)求函数/(X)的单调区间；

(2)若关于x的方程/瓮)=一2，+/+%在区间((),+8)内无零点，求实数。的取值范围.

【答案】(1)单调增区间是(1，内)，单调减区间是(0』)；(2)(F』］.

【解析】

【分析】

(1)求出函数的导数，根据导数的正负即可判断单调区间；

(2)可转化为g(x)=e'-依-1在(0,+e)无零点，可得g'(x)=e'-a,讨论。的范围结

合g(x)的单调性和零点存在性定理求解.

【详解】(1)依题意,f(x)=ex+(x-2)ex=(x-l)ex.

令/'(x)>0,解得x>l,故函数〃x)的单调增区间是(1,心)，

由/'(x)<0,得0<x<l,单调减区间是(0,1).

(2)原方程可化为―以―1)=0,即e*—分―1=0.

令g(x)=e*-czx-l,尤>0,则g'(x)=e*—a.

g'(九)="一。是增函数，％〉0时，eA>B

(1)当。《1时，g’(x)20恒成立.

.,七(%)在(0,+8)上是增函数，..收(6>8(0)=0,故原方程在(0,+8)内无零点.

(3)当4>1时，由e*-a=O得x=lna,0<x<lna时，g'(x)<0,当x>lna时

g'(x)>0,故〃x)在区间(O』na)上单调递减，在区间(lna,+8)上单调递增.

又g(O)=O,；.g(x)在区间(O,lna)上恒小于0.g(lna)<0,

下面讨论g(a)=e"—a2-l正负；

令夕(a)=e"—a~-1,a>l.

则9'(a)=e"-2a,

令/(a)是"(a)的导函数，

则/(a)=e"-2>0,.,.9'(a)在(1,+8)上增函数.

.•.0(a)〉O(l)=e-l-l>O.即g(a)>0,又g(lna)<0

二由零点存在性定理知，原方程在(Ina,a)上有零点.即在(0,+8)上有零点.

综上所述，所求实数a的取值范围是(-8,1].

【点睛】关键点睛：本题考查利用导数讨论函数的零点问题，解题的关键是将题转化为

g(x)=e"一火一1在(0,+e)无零点，可以通过导数研究g(x)的单调性，注意讨论参数的范

围结合零点存在性定理进行判断.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

'\-t2

X-1+/，

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为《1+'(t为参数)，以坐标原点。为极

4f

点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2pcose+gpsine+ll=0.

(I)求c和/的直角坐标方程；

(2)求C上的点到/距离的最小值.

2

【答案】(1)C:x2+^-=l,xe(-l,l]；/:2x+Gy+ll=0；(2)不

4

【解析】

【分析】

(1)利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得/的

直角坐标方程；(2)利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距

离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.

[—产

tx2lor

【详解】(i)由》=三得：t2=——>o,xe(-i,i],又y=7一下

l+/l+x(1+r2)

I1/6x-I-—-X