2020年山东省高考数试卷

2020年普通高等校招生全国统一考试

、"一

数

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置

上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合4={x|lM3},B={x|2<r<4},则AUB=()

A.{x|2<x<3}B,{x|2<r<3}

C.{x|l<x<4}D.{x[l<x<4}

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合并集概念求解.

【详解】AUB=[1,3]U(2,4)=[1,4)

故选：C

【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.

2.^1=()

l+2i

A.1B.-l

C.iD.-i

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数除法法则进行计算.

2-z_(2-f)(l-2z)_-5i

【详解】

1+2广(l+2i)(l-2i)-工

故选：D

【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.6名同到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆

安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种

C.60种D.30种

【答案】C

【解析】

【分析】

分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从6名同中选1名去甲场馆，方法数有C：；

然后从其余5名同中选2名去乙场馆，方法数有《；

最后剩下的3名同去丙场馆.

故不同的安排方法共有=6x10=60种.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

4.日皆是中国古代用测定时间的仪器，利用与劈面垂直的唇针投射到唇面的影子测定时

间.把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所

成角，点4处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日唇，若辱面与

赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40。，则唇针与点A处的水平面所成角为（)

A.20°B.40°

C.50°D.90°

【答案】B

【解析】

【分析】

画出过球心和唇针所确定的平面截地球和唇面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂

直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出唇针与点A处的水平面所成角.

【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；/是点A处的水平面的

截线，依题意可知。4，/；AB是号针所在直线.加是号面的截线，依题意依题意，辱面和赤

道平面平行，号针与凸面垂直，

根据平面平行的性质定理可得可知mHCD、根据线面垂直的定义可得ABlm：

由于Z4OC=40°,根〃CO,所以NQ4G=NAOC=40°,

由于NQ4G+NG4E=+NG4E=90°，

所以N84E=NQ4G=40°,也即辱针与点A处的水平面所成角为N84E=40°.

故选：B

【点睛】本小题主要考查中国古代数文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直

的性质，属于中档题.

5.某中的生积极参加体育锻炼，其中有96%的生喜欢足球或游泳，60%的生喜欢足球，82%

的生喜欢游泳，则该中既喜欢足球又喜欢游泳的生数占该校生总数的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

【解析】

【分析】

记“该中生喜欢足球”为事件A，“该中生喜欢游泳”为事件3,则“该中生喜欢足球或

游泳”为事件A+B，“该中生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件然后根据积事件的

概率公式P(A-B)=P(A)+P(B)-P(A+B)可得结果.

【详解】记“该中生喜欢足球”为事件A，“该中生喜欢游泳”为事件B，则“该中生喜欢

足球或游泳”为事件A+B，“该中生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A3，

则P(A)=0.6,P(5)=0.82,尸(A+3)=0.96,

所以P(A•6)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.6+0.82-0.96=0.46

所以该中既喜欢足球又喜欢游泳的生数占该校生总数的比例为46%.

故选：C.

【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.

6.基本再生数Ro与世代间隔T是新冠肺炎的流行病基本参数.基本再生数指一个感染者传染

的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以

用指数模型：/(f)=e”描述累计感染病例数/⑺随时间/(单位天)的变化规律，指数增长率

，•与Ro,T近似满足Ro=l+rT有者基于已有数据估计出Ro=3.28,T=6.据此，在新冠肺炎疫

情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2x0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可得/(，)=d'=*38,设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需

要的时间为4天，根据=2e038,,解得4即可得结果.

328—1

【详解】因飞=3.28,7=6,&)=1+仃，所以-----=0.38,所以

6

l〃\t}=e/=e^0.38/,

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为6天,

则於38(呻)=2^0.38,(所以e°-38“=2,所以0.38%=In2,

In2〜0.69

所以4BL8天.

038~038

故选：B.

【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.

7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP.A8的取值范用是()

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(T,6)

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP在48方向上的投影的取值范围

是(-1,3),利用向量数量积的定义式，求得结果.

【详解】

AB的模为2,根据正六边形的特征，

可以得到AP在4B方向上的投影的取值范围是(-1,3),

结合向量数量积的定义式，

可知AP-AB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，

所以AP-A8的取值范围是(—2,6),

故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点

有向量数量积的定义式，属于简单题目.

8.若定义在R的奇函数7(x)在(-8,0)单调递减，且/2)=0,则满足•VXx-1)20的x的取

值范围是()

A.[-UJ[3,+8)B.[-3,-1][0,1]

C.[-l,0]u[l,+a))D.[-1,OJU[1,3J

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积

大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】因为定义在R上的奇函数/(©在(-8,0)上单调递减，且/(2)=0,

所以f(x)在(0,+8)上也是单调递减，且/(-2)=0,/(0)=0,

所以当xw(—8,-2)u(0,2)时,/(%)>0,当xe(—2,0)U(2,+oo)时,/(x)<0,

所以由4(x—1)20可得：

x<0[%>0

[-2Wx—1W0WU—122或[0«x—1W2典—1W—2或"二°

解得一IWXWO或l=,

所以满足-N0的x的取值范围是[―,

故选：D.

【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，

属中档题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.已知曲线C：/%/=1.()

A.若根>〃>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若加=〃>0,则。是圆，其半径为〃

C.若mn<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±J-'x

D,若？n=0,u>0,则C是两条直线

【答案】ACD

【解析】

【分析】

结合选项进行逐项分析求解，加>〃>0时表示椭圆，加=〃>0时表示圆，〃切<()时表示

双曲线，〃2=0,〃>0时表示两条直线.

_____I二_-1

【详解】对于A,若加>〃>0,则〃优2+〃,2=i可化为11一,

mn

因为〃所以

mn

即曲线C表示焦点在，'轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若〃2=〃>0,则双/+町？=1可化为犬+),2=,

n

此时曲线C表示圆心在原点，半径为正的圆，故B不正确；

n

22

工+匕=|

对于C,若则如2可化为11,

mn

此时曲线。表示双曲线，

由小小+〃>2=0可得》=±，一%],故C正确；

Vn

对于D,若m=0,〃>0,则"优2+〃y2=1可化为y2=J_,

n

y=±巫，此时曲线C表示平行于％轴的两条直线，故D正确；

n

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧

重考查数运算的核心素养.

10.下图是函数y=sin(cwx+夕)的部分图像，贝！]sin0x+e)=()

71

C.cos(2r+—)D.

cos(---2x)

【答案】BC

【解析】

【分析】

首先利用周期确定。的值，然后确定夕的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得

正确结果.

T77171

【详解】由函数图像可知：一=一万——=-则切=_2=3=2,所以不选A,

2362T冗

271c

f—TT+—r-i1.uTC

当365〃时，y=-l/.2x——+e3-+2ATT(ZGZ),

x=----------------=——I?

212

2,、

解得：0=2攵乃+17(ZeZ),

即函数的解析式为：

=sin(y-2xj.

y=sin2x+—%+2%万=sin2x+—+—cos2x+-

•I3JI62jl6

5万

而cos2x+-=-cos(--2x)

k6J6

故选：BC.

【点睛】已知人x)=4si“(3x+p)(A>0,0>0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图

得出，困难的是求待定系数。和夕，常用如下两种方法：

(1)由3=1「即可求出3；确定夕时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零

点”横坐标X0,则令(vxo+9=O(或。xo+9=7T),即可求出少

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图

形解出3和9,若对A,。的符号或对9的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要

求.

11.已知a>0,b>0,且a+b=l,则()

1

>

A.a2+b2>-B.2a2-

2

C.log,a+log,b>-2D.yja+y/h<\J2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据。+8=1,结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】对于A,a2+b2=a2+(l-a)2=2«2-2«+1+|>|,

当且仅当a=人=1时，等号成立，故A正确；

2

对于B,a-b=2a-\>-\,所以2"">2T='，故B正确；

2

对于C,log2a+log,h-log2ab<log2=log2；=-2，

当且仅当a=〃=1时，等号成立，故C不正确；

2

对于D,因为(G+振y=1+2)^4l+a+/?=2,

所以JZ+JFW0，当且仅当a=b=g时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调

性，侧重考查数运算的核心素养.

12.信息嫡是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为1,2,,n,且

P(X=/)=p,>0(/=l,2,,〃),£化=1,定义的信息牖，(X)=-fpjogzp,.()

i=l；=l

A.若〃=1,则”()=0

B.若〃=2,则〃()随着p,的增大而增大

C.若Pi=—(i=12,〃)，则H()随着〃的增大而增大

n

D.若〃=2朋，随机变量y所有可能的取值为1,2,,m,且

P(r=j)=p>+p2m+l./J=l,2,，⑼，ljl!|H()<H(Y)

【答案】AC

【解析】

【分析】

对于A选项，求得“(X),由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行

排除；对于C选项，计算出“(X),利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于

D选项，计算出H(x),"(y),利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.

【详解】对于A选项，若〃=1,则i=l,p1=l,所以"(X)=-(lxlog21)=0,所以A

选项正确.

对于B选项，若〃=2,则i=l,2,p2=1-Pi，

所以H(X)=-[p]・log2P1+(1-P1)-Iog2(l-Pl)],

当百=；时，”(X)=—(glogzflog2(),

当Pl=1时，"(X)=Oog2：+,10g2；)，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若Pj=!(i=l,2,,n),则

n

H(X)=-(Llog」]x"=—log2，=log,〃，

\nn)n

则”(X)随着〃增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若〃=2"，随机变量y的所有可能的取值为1,2,,m,且

P(y=/)=〃j+〃2,"+i-j(J=l，2，M).

"(X)=-工P,•1唱Pi=EA-log—

/=Ii=l2Pi

,1,1,1,1

=Pl-log2—+Pl-log?—++Am-l-1°§2-----+。2”,,l°g2-----

PlPlP2“IPin,

”(y)=

(Pl+P2,“).bg2--+(P2+P2,“T),bg2----1----+]

+(P,"+P,“+J」Og2

Pi+Pm,Pi+P2,n-\Pm+Pm+l

]]

=Pl，10g2--------+Pl°1=2-----+--P-2,-"--「10g2+P2.jlOg2

Pl+P2mP2+必M-lPl+凸吁1P+Pim

/.、1],1,1

由于Pi>0(i=L2,…,2m),所以方■>所以log2—>log?----------

+

PiPim+l-iPiP,+P2n,+\-i

,1,1

所以2•log2->Pi-log2----------

PiPi+pl,n+\-i

所以〃（X）＞〃（Y）,所以D选项错误.

故选：AC

【点睛】本小题主要考查对新定义“信息燧”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的

能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.斜率为6的直线过抛物线C：）'2=曲的焦点，且与C交于A,8两点，则|/3|

【答案】y

【解析】

【分析】

先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去

y并整理得到关于x的二次方程，接下可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转

化求得结果.

【详解】•••抛物线的方程为V=4x,.•.抛物线焦点F坐标为尸（1,0）,

又•..直线AB过焦点厂且斜率为百，.•.直线AB的方程为：y=V3（x-l）

代入抛物线方程消去y并化简得3X2-10X+3=0.

解法一：解得石=；,%=3

所以IAB|=J1+/I西一马|=«3"3—|=与

解法二：△=100—36=64＞（）

设4（不必）,3（工2，%），则%+々=¥，

过A,B分别作准线x=—l的垂线，设垂足分别为C,。如图所示.

|ABHA尸|+15FRAC|+16。|=再+1+/+1=万+4+2=与

【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础

题.

14.将数列｛2〃-1｝与｛3〃-2｝的公共项从小到大排列得到数列则｛〃“｝的前〃项和为

【答案】3n2-2n

【解析】

【分析】

首先判断出数列（277-1｝与｛3〃-2｝项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的

首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.

【详解】因为数列｛2〃—1｝是以1为首项，以2为公差的等差数歹U,

数列｛3〃一2｝是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列｛q｝是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以｛6,｝的前几项和为"•1+妁/翌-6=3〃2一2〃，

故答案为：3n2—In-

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新

数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.

15.某中开展劳动实习，生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧A8

所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线8C的切点，四边形

3

下G为矩形，BCVDG,垂足为C,tan/OZ)C=j,BH//DG,£F=12cm,DE=2cm,

A到直线OE和历的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为

_______cm2.

【答案】4H—71

2

【解析】

【分析】

3

利用tanZODC=g求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AQB的面

积，求出直角△Q4H的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面

积求得.

【详解】设03=0A=r,由题意AW=AN=7,防=12，所以NF=5,

因为AP=5,所以NAGP=45°，

因为BH//DG,所以NA〃O=45°，

因为AG与圆弧AB相切于4点，所以。4，AG,

即△Q4H为等腰直角三角形；

在直角△0Q。中，00=5—立r，。。=7一旦，

22

因为tan/OOC=^=』，所以21—迪r=25-迪r，

DQ522

解得r=25/2：

等腰直角△Q4”的面积为$=4x2拒x2/=4；

2

137r//~\2

扇形A0B的面积邑=5X7x(212)=3万，

157r

所以阴影部分的面积为E+S2—/万=4+万.

故答案为：4+——.

2

【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳

动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.

16.已知直四棱柱48CD_48iCQi的棱长均为2,ZBAD=60°.以。।为球心，逐为半径的

球面与侧面BCCiBi的交线长为.

【答案】叵兀.

2

【解析】

【分析】

根据已知条件易得D,E=6,2E_L侧面BgCB,可得侧面B«CB与球面的交线上的

点到E的距离为0,可得侧面B£CB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，再根据弧长

公式可求得结果.

【详解】如图：

取的中点为E，Bg的中点为尸，CG的中点为G,

因为NfiM>=60。，直四棱柱ABC。—A4Gq的棱长均为2,所以为等边三角

形，所以DE=6,RE工,

又四棱柱ABC。—Age；。为直四棱柱，所以Bg_L平面4与GR，所以54，片。1,

因为8gAG=4,所以2七，侧面

设P为侧面BGCB与球面的交线上的点，则D.ELEP,

因为球的半径为石，D]E=B所以|EPI=JIA尸产一=后与=JL

所以侧面gGCB与球面的交线上的点到E的距离为0,

因为|EF|=|EG'=啦,所以侧面B£CB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，

7171

因为NBiEF=NGEG=一,所以NFEG=一,

42

所以根据弧长公式可得人7=巴*拒=①".

22

故答案为：71■

2

【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何

中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。

17.在①ac=5/5，②csinA=3,③。=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，

若问题中的三角形存在，求。的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在-ABC,它的内角A8,C的对边分别为a,"c,且sinA=JjsinB，

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】详见解析

【解析】

【分析】

解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a力的比例关系，根据比例关

系，设出长度长度，由余弦定理得到，的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.

解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然

后根据选择的条件进行分析判断和求解.

【详解】解法一：

由sinA=J^sinB可得：f=

b

不妨设a=gm,b=m(m>0),

则：c2-a2+b2-labcosC-3m2+m~-2xxmx—=m2>即。=加.

2

选择条件①的解析：

据此可得：ac->/3/nxm=y/3m2-V3>=l,此时c=m=l.

选择条件②的解析:

trr+nr-3nr

据此可得：cosA:

2irr2

csinA-mx^-=3,则：c-m-2\/3.

贝(I：

2

选择条件③的解析:

f/口cm,

可得一=—=1,c=fb,

bm

与条件。=屈矛盾，则问题中的三角形不存在.

解法二：VsinA=6sinB,C=&B=兀-（A+C）,

/.sinA=V3sin（A+C）=>/3sinA+J

sinA=\^sin（?l+C）=百+JcosA—,

•*,sinA.=i\ficosA.,•••tcinA.=—y/3,A=，:・B=C=~~~

36

若选①，ac=>/3,<Q=5/3/?=>/3c,VJc2=y/i，•二c=l;

若选②，csinA=3,则=3,c=2石;

2

若选③，与条件c=#)b矛盾.

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关

系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定

理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范

围.

18.已知公比大于1的等比数列｛为｝满足为+4=20,4=8.

(1)求｛为｝的通项公式;

(2)记勾为｛%｝在区间(0,ml(mwN*)中的项的个数，求数列｛鬣｝的前100项和So。.

【答案】

(1)an=T；(2)5100=480.

【解析】

【分析】

(1)利用基本元的思想，将已知条件转化为q，4的形式，求解出4国，由此求得数列｛%｝

的通项公式.

(2)通过分析数列｛鬣｝的规律，由此求得数列｛粼｝的前100项和So。.

【详解】(1)由于数列｛4｝是公比大于1的等比数列，设首项为卬，公比为依题意有

田2，解得解得卬=2a=2,或q=32,4=7(舍)，

%q=82

所以=2",所以数列｛a„｝的通项公式为an=2".

(2)由于赘=2,22=4,23=8,2,=16,25=32,26=64,27=128,所以

伪对应的区间为：(0/，则仇=0；

与也对应的区间分别为：(0,2],(0,3],则4=伪=1,即有2个1；

,也也也对应的区间分别为：(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],则d=仇=4=伪=2,即

有22个2；

々也，，九对应的区间分别为：(0,8],(0,9],—,(0,15],则4=4==九=3,即有

23个3；

九,如，，与对应的区间分别为：(0,16],(0,17],,(0,31],则

瓦6=*7==%=4,即有24个4；

3%，…也3对应的区间分别为:(0,32],(0,33],,(0,63],则

42=%==%=5,即有个5；

414s65,…，％X＞对应的区间分别为：(0,64],(0,65],,(0,100],则

=%5=3=4(10=6，即有37个6.

所以500=1x2+2x2?+3x23+4x2,+5x2$+6x37=480.

【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查分析思考与解决问的能力，属于中

档题.

19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了

100天空气中的PM2.5和SC>2浓度(单位：ng/m3),得下表:

so2

L0,50J(50J50J(150,475J

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率;

(2)根据所给数据，完成下面的2x2列联表：

S02

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与

SO2浓度有关？

附：心——幽也——,

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k38416.63510.828

【答案】（I）0.64；（2）答案见解析；（3）有.

【解析】

【分析】

（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果;

（2）根据表格中数据可得2x2列联表；

（3）计算出长2,结合临界值表可得结论.

【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度

不超过150的天数有32+6+18+8=64天，

所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75,且S。？浓度不超过150的概率为

篇"64;

（2）由所给数据，可得2x2列联表为:

so2

[0,150](150,475]合计

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合计7426100

(3)根据2x2列联表中的数据可得

y_n(ad-bc)2_100x(64x10-16x10)2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)80x20x74x26

=2^22a7.4844>6.635,

481

因为根据临界值表可知，有.99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.

【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善2x2列联表，考查了独立性检验,

属于中档题.

20.如图，四棱锥P-ABC。的底面为正方形，底面A8CD设平面以。与平面尸3c的

交线为/.

(1)证明：平面PDC；

(2)已知PQ=AQ=1,。为/上的点，求PB与平面QCQ所成角的正弦值的最大值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叁

3

【解析】

【分析】

(1)利用线面垂直的判定定理证得AZ)J_平面POC,利用线面平行的判定定理以及性质

定理，证得AD〃/,从而得到/_L平面PDC；

(2)根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点Q(机,0,1),之

后求得平面QC。的法向量以及向量PB的坐标，求得cos<〃,PB〉的最大值，即为直线

PB与平面QC。所成角的正弦值的最大值.

【详解】(1)证明：

在正方形A8CD中，AD//BC,

因为AOZ平面P8C,BCu平面PBC,

所以AD〃平面P8C,

又因为AOu平面尸4)，平面、平面PBC=/,

所以A"//,

因为在四棱锥P—ABC。中，底面ABCO是正方形，所以ADJ.DC,，/，OC,

且HD_L平面ABC。，所以AZ>_LPR，/_LPD,

因为CDPD=D

所以/，平面PDC；

(2)如图建立空间直角坐标系。-孙z,

因为PD=AD=1,则有D(O,O,O),C(O,1,O),A(1,O,O),P(O,O,1),8(1,1,0),

设2(m,0,l),则有DC=(0,1,0),DQ=(m,0,l),PB=,

设平面QCD的法向量为n=(x,y,z),

DC-H=0y=0

则《即《

DQ-77=0/nx+z=0

令x=l,则2=—相，所以平面QCQ的一个法向量为〃=(1,0,-加)，则

nPB1+0+加

cos<n,PB>=

HM#,7府+1

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦

ruur11+mI

值，所以直线与平面所成角的正弦值等于Icos<〃,PB>|=,

5ylm2+1

当加=1时取等号,

所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为远.

3

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，

线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.

21.己知函数/(X)=aex~'-Inx+Ina.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,/(I))处的切线与两坐标轴围成的三角形的

面积；

(2)若f(x)>1,求a的取值范围.

2

【答案】(1)——(2)

e-1

【解析】

【分析】(1)先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与

坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；

(2)解法一：利用导数研究，得到函数/(x)得导函数/'(X)的单调递增，当a=l时由

尸⑴=0得/(初,加=/(1)=1,符合题意；当a>l时，可证/'(5/'⑴<0,从而尸(X)

存在零点七〉0,使得/'(Xo)=ae~T-’=0,得到/(x)值,利用零点的条件，结合指

数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得(x)21恒成立；当0<a<l时，研究

f(l).即可得到不符合题意.综合可得«的取值范围.

解法二：利用指数对数的运算可将/(x)21转化为+lna+x-\>e"lx+lnx,

令g(x)="+x,上述不等式等价于g(痴+x-l)2g(/欣)，注意到g(x)的单调性，进一

步等价转化为无A/nx—x+l,令〃("=伍”兀+1,利用导数求得〃(力,“进而根据不

等式恒成立的意义得到关于«的对数不等式，解得“的取值范围.

【详解】(l)Q/(x)="—ln无+1,.•./''(x)=ex—！，.・"=/")=e-l.

X

Q./\l)=e+l,.•.切点坐标为(l』+e),

；•函数f(x)在点(1次1)处的切线方程为y—e—l=(e—l)(x—1),即>=(e-l)x+2,

,切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(二乙,0),

e-1

1-?2

・・・所求三角形面积为一x2x|——1=——；

2e-1e-1

(2)解法一:Qf(x)=aex~x-Inx+In«,

/.ff(x)=aex~{——,且a>0.

x

设g(x)=/'(x)厕g'(x)=aex~'+4>°，

x~

...g(x)在(0,+o))上单调递增，即f'(x)在(0,+8)上单调递增，

当。=1时,/'(1)=0,，〃力加“="1)=1,.：/(力21成立.

1।11-1

当。>1时，一<1，，•.•/'(—)/«)="(*-l)(«-l)<0,

a••e、Ia

.•.存在唯一%>0,使得/'(Xo)=ae"T---=0,且当无€(0,尤0)时r(x)<0,当

玉)

1

1£(%,+8)时/'(%)>0,：.讹"=—,/.lntz+x0-1=-lnx0,

xo

因此f(x)min=f(/)=ae"T-In/+Ina

=----FIna+XQ-l+lna221na-1+21—•=21na+l>l,

%Vo

.：/(x)>l,.：/(%