2020-2021学年江苏省南通市高一（下）期末数学模拟试卷

2020-2021学年江苏省南通市高一（下）期末数学模拟试

卷

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）

1.（2021•浙江省・单元测试）已知复数z=%黠虫0为虚数单位），则下列说法正确的

是（）

A.z的虚部为4

B.复数z在复平面内对应的点位于第三象限

C.z的共轨复数£=4-2i

D.|z|=2V5

2.（2021•四川省泸州市•月考试卷）设△ABC的三个内角为A,B,C,向量沆=

（sinA,sinB）,n=（y/3cosB,y/3cosA）>若沅•元=2-cosC,则C的值为（）

A.ZB.=C胃D产

3.（2021•山东省烟台市•单元测试）设a=sinl4。+cosl4°,b=s讥16。+cos16°,c=—.

2

则“，b,c大小关系（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

4.（2021•云南省・期末考试）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示

AABC的面积，若ccosB+bcosC=asin4,S=^-（b2+a2-c2）>贝=（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

5.(2020.广东省广州市・单元测试)已知ae{0,1,2),be{-1,1,3,5},则函数/(x)=

a/-2bx在区间（1,+8）上为增函数的概率是（）

A*B,C.i

6.（2021•浙江省•水平会考）如图，正方形A8C。的中心

与圆O的圆心重合，P是圆。上的动点，则下列叙

述不正确的是（）

A.PA-'PC+PB■而是定值

B.PAPB+^BPC+PCPD+PD■港是定值

C.|R4|+|PB|+|PC|+|PDI是定值

T\--*2---»2--->2---»2日l-±r

D.P4+PB+PC+PD7E定值

7.（2021.北京市市辖区.模拟题）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区

分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙

地区用户满意度评分的频率分布直方图.

频率频率

丽

0.0400.040

().0350.035

().0300.03()

0.0250.025

0.0200.02()

0.0150.015

(Hilo

0.005(HM)5

O40506070RO90100满逆度评分。50607()H090100满意度评分

甲地区乙胞X

若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为Tn」m2；平均数分别为S],s2,

则下面正确的是（）

A.m1>m2fSi>s2B.m1>m2,s1<s2

C.m1<m2,SiVs2D.m1<m2fs1>s2

0______-C

8.（2020•河北省衡水市・月考试卷）在棱长为2的正方体48CD-

48传1。1中，点M是对角线4G上的点（点M与A、G不重合，「、、』

）,则下列结论正确的个数为（）

①存在点M，使得平面41。"，平面8的。；A一：ft

②存在点M,使得DM〃平面JCDi；

③若的面积为S,则se（",2国）；

④若Si、52分别是AAiOM在平面AiBiCWi与平面BBiGC的正投影的面积，则存在

点M,使得Si=S2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.（2021•北京市・单元测试）在边长为2的等边三角形ABC中，点。，E分别是边AC,

45上的点，满足。后〃8。且等=71（/16（0,1））,将△4OE沿直线。E折到AA'DE的

位置.在翻折过程中，下列结论成立的是（）

A.在边4E上存在点F,使得在翻折过程中，满足8/7/平面ACO

B.存在;Ie（0,1）,使得在翻折过程中的某个位置，满足平面ABC，平面BCDE

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C.若；1=5当二面角A-DE-B为直二面角时，|4缶|=督

D.在翻折过程中，四棱锥4-BCDE体积的最大值记为/（R，”4）的最大值为平

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分）

10.（2021.湖北省.模拟题）己知根，〃是两条不重合的直线，a,。，y是三个两两不重合

的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的是（）

A.若m///?,rt“B，m,几ua,则a//£

B.若aly,01y,aC\p=m,几uy,则1九

C.若m1a,al夕，aC\0=n,那么?n〃7i

D.若m//a,m”,aC\p=n,那么zn//n

11.（2021•江苏省南通市・期末考试）关于函数/'（x）=4cos2%+4sinxcos（x+t），下列说

法正确的是（）

A.若乙,%2是函数f（x）的零点，则与-&是5的整数倍

B.函数/⑶的图象关于点（一”）对称

C.函数/（x）的图象与函数y=2V3cos（2x-J）+1的图象相同

D.函数/（%）的图象可由y=2^s讥2久的图象先向上平移1个单位长度，再向左平

移g个单位长度得到

12.（2021.江苏省南通市.期末考试）已知，■为虚数单位，下列说法中正确的是（）

A.若复数z满足|z-i|=b，则复数z对应的点在以（1,0）为圆心，遍为半径的圆

上

B.若复数z满足z+|z|=2+&,则复数z=-15+8i

C.当neN*时，＜zmzn=zm+n

D.号是集合M=[m\m=in,neN｝中的元素

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.（2021•江苏省南通市・期末考试）如图，要计算某湖泊岸边两景点B

与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和。两点，

现测得ZB=5km,AD=7km,/.ABD=60°,Z.CBD=15°,

乙BCD=120°,则两景点B与C的距离为km.

14.（2021•江苏省南通市・期末考试）某校有选修物化、物生、政史三种不同类别课程的学

生共900人（假设每人只选修一种类别的课程），按照分层随机抽样的方法从中抽取

20人参加数学调研检测.己知在这次检测中20人的数学平均成绩为119分，其中选

修物化和物生类别课程学生的数学平均成绩为120分，选修政史类课程学生的数学

平均成绩为115分，则该校选修政史类课程的学生人数为.

15.（2021♦浙江省•水平会考）已知向量五=（4,2）,B=（尢1）,若1+2方与五一3的夹角是

锐角，则实数;I的取值范围为.

16.（2021・全国•模拟题）如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体,

余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称''阿基米德体”.点A,B,M是该多面

体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足MN1AB,若AB=4,

则该多面体的表面积为，点N轨迹的长度为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.（2021.江苏省南通市.期末考试）在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然

后解答补充完整的题.

①3asinC=4ccos4②2加/等=在△4BC中，角A,B,C的对边分

别为a,b,c,已知.a=3V2.

(1)求sinA的值;

（2）如图，M为边AC上一点，|MC|=|MB|,/-ABM=p求△48C的面积.

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18.（2021•江苏省南通市・期末考试）如图，在四棱锥P—ABC。中，底面A8CD是矩形,

点E、尸分别是棱PC和尸。的中点.

（1）求证：EF〃平面PA&

（2）若4P=AD,平面R4D_L平面ABCD,证明：平面P4C，平面PCD.

19.（2018・江西省赣州市•月考试卷）一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在

某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如表:

网购金额

频数频率

（单位：千元）

[0,0.5)30.05

[0.5,1)XP

[1,1.5)90.15

[1.5,2)150.25

[2,2.5)180.30

[2.5,3]yq

合计601.00

若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的

网友称为“网购探者”，己知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2:3.

(2)试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位

数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日评为“皇冠店”，

试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.

20.(2021•江苏省南通市・单元测试)已知O为坐标原点，对于函数/(x)-asinx+bcosx,

称向量加=(a,b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数/(%)为向量丽的伴随函数

(1)设函数g(x)=V3sin(7r+x)-sin(y-x),试求g(x)的伴随向量丽S

(2)记向量丽-(1,通)的伴随函数为/1(x),求当/(x)=阻xG(一第)时sinx的值;

(3)由(1)中函数g(x)的图象(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象

向右平移等个单位长度得到/i(x)的图象，已知4(-2,3),8(2,6),问在y=h(x)的图

象上是否存在一点P,使得而1而.若存在，求出尸点坐标；若不存在，说明理由.

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21.(2021•江苏省南通市•模拟题)某空调商家,对一次性购买两台空调的客户推出两种质

保期两年内的保维修方案：

方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2次，超过2

次每次收取维修费200元.

方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3

次每次收取维修费200元.

小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此

搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得如表：

维修次数0123

空调台数20303020

用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率.

(1)求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率;

(2)请问小李选择哪种质保方案更合算.

22.(2018・四川省宜宾市•模拟题)如图，在四棱锥P-

4BCO中，AD//BC,/.ADC=Z.PAB=90°,BC=

CD为棱4。的中点，异面直线PA与

所成的角为90。.

(I)在平面PAB内找一点例，使得直线CM〃平面

PBE,并说明理由；

(11)若二面角「-CD-A的大小为45。，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

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答案和解析

1.【答案】D

【知识点】复数的四则运算

(3i-l)(l-i)_2+4i_2+4i_(2+4i)i_.

【解析】解:.0191.4X504+3-一j——HJz———‘十乙’•

・•.Z的虚部为2；复数Z在复平面内对应的点位于第二象限；Z=-4-2i;\z\=2V5.

故选：D.

利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础

题.

2.【答案】B

【知识点】向量的数量积

【解析】解:△A8C的三个内角为A,B,C,向量记=(sinA,sinB)fn=(y/3cosBfV3cosA),

m-n=yj3sinAcosB+V3sinBcosA

=V3sin(24+8)=\[3sinC,

又因为沅又=2—cosC,

所以次sin。=2—cosC，

所以\/3sinC+cosC=2(sinCcos：+sin/cosC)=2sin(C+，)=2,

因为OvCVzr,所以c+g=g,所以C=g.

C>Z5

故选：B.

利用向量的坐标表示求出向量的数量积，结合布•云=2-cosC,转化求解C.

本题主要以向量的坐标表示为载体考查三角函数，向量与三角的综合问题作为高考的热

点，把握它的关键是掌握好三角与向量的基本知识，掌握一些基本技巧，还要具备一些

运算的基本技能.

3.【答案】D

【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、比较大小

【解析】解：由题意知，a=sinl4°+cosl4°=&(/sinl4。+1cosl4。)=y/2sin59°>

同理可得，b=sinl60+cosl60=V2sin61°>c=—=V2sin60°»

2

vy=sinx在(0,90。)是增函数，sin590<sin600<sin610,

■■a<c<b,

故选：D.

利用两角和的正弦公式对a和6进行化简，转化为正弦值的形式，再由正弦函数的单调

性进行比较大小.

本题考查了比较式子大小的方法，一般需要把各项转化统一的形式，再由对应的性质进

行比较，考查了转化思想.

4.【答案】D

【知识点】三角形面积公式、余弦定理、正弦定理

【解析】

【分析】

本题主要考查正、余弦定理、两角和的正弦函数公式、三角形面积公式在解三角形中的

综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.由正弦定理，两角和的正弦函数

公式化简已知等式可得sinA=1,结合A的范围可求4=90°,由余弦定理、三角形面

积公式可求tanC=g,结合范围0°<C<90。，可求C的值，根据三角形面积公式可

求8的值.

【解答】

解：由正弦定理及ccosB+bcosC=asinA,

得sinCcosB+sinBcosC=sin24,可得:sin(C+B)=sin2/l,

可得:sinA=1,

因为0"<A<180",

所以4=90°；

由余弦定理、三角形面积公式及S=f(扭+小一,2),

absinC=曰-2abcosC，

整理得tcmC=V3>

又0。<C<90',

所以C'6()，

故B=30.

故选。.

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5.【答案】A

【知识点】古典概型的计算与应用、二次函数、函数的单调性与单调区间

【解析】

【分析】

本题主要考查古典概型的计算与应用，属于中档题，解题时要认真审题，注意列举法的

合理运用.

先求出基本事件总数n=3x4=12,再求出函数/1(x)=ax2-2bx在区间(1,+8)上为

增函数满足条件的基本事件个数，由此能求出函数/(x)=a%2-2bx在区间(1,+8)上为

增函数的概率.

【解答】

解：va6{0,1,2},{-1,1,3,5),

基本事件总数n=3x4=12.

函数/"(X)=ax2-2bx在区间(1,+8)上为增函数，由条件可知a>0,

①当a=0时，/(x)=-2bx,符合条件的只有：(0,-1),即a=0,b=-1；

②当a>0时，需要满足3<1,符合条件的有：(1,一1)，(1,1).(2,-1),(2,1),共4

种.

.•・函数/。)=ax2-2bx在区间(1,+8)上为增函数的概率是P=

故选A.

6.【答案】C

【知识点】向量的数量积

【解析】

【分析】本题考查平面向量的综合应用，建系设点可以使问题便于思考，本题计算量太

大，要注意计算的准确性.属于中档题.

如图：建立平面直角坐标系，并设正方形边长为2a,圆的半径为r,且r＞夜a，然后

设P(rcosO,rs讥0),正方形的四个顶点坐标易给，则将坐标分别代入四个选项判断即可.

PD=(a-rcosd,-a-rsinO'),

•••PA-PB=r2-2arsin6，PA-PC=-2a2+r2»PA-PD=r2-2arcos6，PB-PC=

r2+2arcos6,~PB-^D=-2a2+r2>PC-PD=r2+2arsin9■

PA=2a2+r2—2ar(^cos0+sindyPB2=2a2+r2+2ar(cos6—sindyPC=

2a2+r2+2ar(cosd+sin。)，pp2=2a2+r2-2ar(cos9-sin。〉

对于A,原式=-4a?+2"(定值)，故A结论成立；

对于8,原式=4N(定值)，故结论B成立；

对于。原式=8a2+4N(定值)，故结论。成立.

对于C,取0=0。时，原式=21PAi+21PBi=2，a2+(r—a)2+21艰+(r+a)2,再

取8=45。时，原式=\PA\+\PC\+2\PB\=r->/2a+r+V2a+2Vr2+2a2=2r+

27Tz+2a2.

显然两式不相等.故C结论不成立.

故选：C.

7.【答案】C

【知识点】众数、中位数、平均数、频率分布直方图

第12页，共26页

【解析】

【分析】

本题考查利用频率分布直方图求平均数、中位数，考查运算求解能力，是基础题.

利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此

能求出结果.

【解答】

解：由频率分布直方图得：

甲地区[40,60）的频率为：（0.015+0.020）x10=0.35,[60,70）的频率为0.025x10=

0.25,

•••甲地区用户满意度评分的中位数mi=60+琮箸x10=66,

甲地区的平均数Si=45x0.015x10+55x0.020x10+65x0.025x10+75x

0.020x10+85x0.010x10+95x0.010x10=67.

乙地区[50,70）的频率为：（0.005+0.020）x10=0.25,[70,80）的频率为:0.035x10=

0.35,

•••乙地区用户满意度评分的中位数租2=70+琮箸x10x77.1,

乙地区的平均数S2=55x0.005x10+65x0.020x10+75x0.035x10+85x

0.025x10+95x0.015x10=77.5.

•••<m2,Si<s2.

故选：C.

8.【答案】C

【知识点】线面平行的判定、面面垂直的判定、面面平行的判定、线面垂直的性质、简

单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征

【解析】

【分析】

本题主要考查了空间直线与平面，平面与平面的位置关系，以及三角形面积，以及投影

的定义的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及熟练应用空间几何体

的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正确；由面面平行的性质定

理，可得判定②正确；由三角形的面积公式，可求得的面积S的范最小值，可

判定③错误；由三角形的面积公式，得到Si，S2的范围，可判定④正确.

【解答】

解：连接B]C,设平面为B1CD与体对角线4Q交于点

由B1C1BG，DC1BCr,BXCCiDC=C,

可得BCi1平面为B1CD,即BG，平面BC】u平面"前。，

二存在点M,使得平面4DM，平面BCiD,故①对：

由BD//B】Di，A]D〃B[C,BDDArD=D,B1D1D=Blt

利用面面平行的判定可得，平面4B0〃平面当。1配

设平面4BD与AC1交于点M,可得DM〃平面BiCZ)i，故②对；

连接ADi交4过于点0，过。作。M_L4G，

由①可推知，&0_L平面ABG5，

・•・ArD10M,

r)MDA

・•・0M为异面直线A。与AC1的公垂线，根据△40M~Zk4C1。],则47=品？即。M=

CAQ%_氏2_V6

AC1-2V3-3'

&DM的最小面积为SAADM=：xX。"=gx2V2x曰=誓，故③错；

在点P从4cl的中点向着点A运动过程中，Si从1减少趋向于0,即S[6(0,1),52从。

增大到趋向于2,即S2c(0,2),

在这过程中，必存在某个点P使得Si=52,故④对.

故选：C.

9.【答案】D

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积、二面角、全称量词命题、存在

在边4E上不存在点F,使得在翻折过程中，满足BF〃平

面4'CD,不正确.

第14页，共26页

B.Ae(O,i),在翻折过程中，点A在底面BC£>E的射影不可能在交线8c上，因此不满

足平面48cl•平面BC£>E,因此不正确.

CU=｝当二面角A-DE-8为直二面角时，取E£>的中点可得：4M1平面8C£>E.

则=V/4M2+BM2=J(y)2+1+(|)2-2x1x|cosl200=岑。弓，因此不正

确.

。.在翻折过程中，取平面4ED_L平面BCDE,四棱锥4一8CDE体积"4)=1'S四边形

BCDE-V3A=|XV3(l-A2)-V3A=A-A3,Ae(0,1),广⑷=1-3於，可得；I=/时，

函数/(4)取得最大值=/(1一｝=誓，因此正确.

故选：D.

A.在边AE上点F,在4。上取一点N,使得FN〃ED,在ED上取一点H,使得NH〃EF,

作HG〃BE交BC于点G,可得四边形BGN/为平行四边形，可得GN始终与平面AC。

相交，即可判断出结论.

B.AG(O.i),在翻折过程中，点4'在底面BCDE的射影不可能在交线BC上，即可判断

出结论.

C.A=当二面角4'一DE-B为直二面角时，取的中点M,可得：AM1平面BCOE.

可得|4'B|=函2+丽,结合余弦定理即可得出.

D在翻折过程中，取平面4E0L平面BCDE,四棱锥4一8CDE体积f(Q=/S四边形

3

BCDe-V3A=A-A,Ae(0,1),利用导数研究函数的单调性即可得出.

本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦

定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能

力，属于难题.

10.【答案】BD

【知识点】平面与平面的位置关系、空间中直线与平面的位置关系

【解析】解：由〃?，〃是两条不重合的直线，a,B，y是三个两两不重合的平面，知：

在A中，若根〃/7,n///?,m,九ua,贝IJQ与/?相交或平行，故A错误；

在8中，若a_Ly,/?1y,an^?=m,ncy,则由面面垂直的性质定理得m_Ln,故

B正确；

在C中，若?n_La,al/?,an/?=n,那么由线面垂直的性质定理得mJLn,故C错

、口

K;

在。中，若m〃a,m//p,aC0=n,那么由线面平行的性质定理得zn〃n,故。正确.

故选：BD.

在A中，若a与£相交或平行；在8中，由面面垂直的性质定理得小上九；在C中，由线

面垂直的性质定理得7n1n；在。中，由线面平行的性质定理得m〃n.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

11.【答案】BC

【知识点】命题及其关系

【解析】解：f(解=4cos2x+4sinxcos(x+-)=2V3sin(2x+-)+1,

63

画出函数的图象，如图所示：

对于选项4/(无)的图象与x轴相邻的两个交点的距离不相等，且不为全故A错；

对于选项8函数/(x)的图象关于点(一也1)对称，故8正确；

对于选项C：函数/(x)=2Wsin(2x+9+l=2gcos(2x—g)+l,故C正确；

对于选项Q：函数/")的图象可由y=2gs讥2x先向上平移1个单位，再向左平移?个

单位长度得到，故。错误.

故选：BC.

首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质对称性，周期，函数的

图象的平移变换求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查

学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

12.【答案】BCD

【知识点】复数的模

第16页，共26页

【解析】解：对于A,复数z满足忆-4=遍，由复数模的几何意义可知，复数z对应

的点在以(0,1)为圆心，遍为半径的圆上，故选项A错误：

对于B,因为z+|z|=2+Bi,所以z=2-|z|+8i,贝lj|z『=(2-|z|)2+82,解得|z|=

17,所以z=-15+8i,故选项B正确；

对于C,由复数的乘法运算律可知，当小，n€N*时，有z^z71=zm+n,故选项C正确；

对于。，号=?=TeM={m|nt=巴口eN},故选项。正确.

l+l(l+t)(l-l)2'I)

故选：BCD.

利用复数模的几何意义判断选项4,利用复数模的定义判断选项8,利用复数的运算律

判断选项C,利用复数的除法运算判断选项。.

本题以命题的真假判断为载体考查了复数知识的运用，主要考查了复数模的几何意义,

复数模的定义，复数的运算律，复数的除法运算法则，考查了逻辑推理能力与运算能力，

属于中档题.

13.【答案】也公

3

【知识点】解三角形的实际应用

【解析】解：如图所示：在△4BD中，力B==7km,44BD=八\.(

60%/M

/<

利用余弦定理：AD2=AB2+BD2-2-AB-BD-cos60°,'\V

整理得49=25+BD?_2x5xBDx「一H

解得8。=8或一3(负值舍去).

在4BCO中，乙CBD=15°,4BCD=120°,

所以NCOB=45°,

利用正弦定理一骞=整理得BC=BDsin45°=陋.

sml2O°sm45°sinl20°3

故答案为：睡

3

首先利用余弦定理的应用求出BO的长，进一步利用三角形内角和定理和正弦定理的应

用求出结果.

本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的运算能力

和转换能力及思维能力，属于基础题型.

14.【答案】180

【知识点】众数、中位数、平均数

【解析】解：设这20人中选修政史类课程的学生人数为x,

则115x+120x(20-x)=20x119,解得x=4,

由分层抽样可知，该校选修政史类课程的学生人数为方x900=180人.

故答案为：180.

利用平均数的计算公式求出20人中选修政史类课程的学生人数，然后利用分层抽样的

特点进行求解即可.

本题考查了平均数计算公式的应用，分层抽样的应用，解题的关键是掌握分层抽样是按

比例抽取，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.

15.【答案】(1-V1T,2)U(2,1+V11)

【知识点】向量的夹角

【解析】解：••・向量1=(4,2),石=(41),.・.N+2方=(4+24,4)，a-K=(4-A,l)»

若五+2方与五一石的夹角是锐角，则五+23与为一石不共线，且它们乘积为正值，

即TT*1,且(五+2b)•(五一b)=(4+22,4)-(4-2,1)=20+42-2A2>0.

求得1-JIT<a<1+JTT,且义。2,

故答案为：(1-VH.2)U(2,1+V11).

先求出五+2万与己一B的坐标，再根据五+2方与日一方不共线，且它们乘积为正值，求出

实数2的取值范围.

本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量平行的性质，两个向

量坐标形式的运算，属于基础题.

16.【答案】112V38+8V3

【知识点】圆有关的轨迹问题、棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积

【解析】解：根据题意，该正四面体的棱长为3AB=12,

点A,B,M分别是正四面体棱的三等分点，

该正四面体的表面积为4x1xl2x12xsin6(T=144V3,'：

该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，

每个角上小正四面体的侧面面积为3xgx4x4x

sin60°=12曲,

第18页，共26页

每个角上小正四面体的底面面积为1X4x4xsin60°=4g，

所以该多面体的表面积为144国-4x12国+4x475=11273;

如图，设点，为该多面体的一个顶点，则"F=8=HM=MF,

在4HFB中，HB2=HF2+BF2-2BH-HFcos60°=82+42-2x4x8X1=48,

则HB=4g,所以旋+BF?=时,即HB1BF,同理MB=4b，MBLAB,

又HBCMB=B,HB,MBu平面MB”，所以AB_L平面M8H,

由点N是该多面体表面上的动点，且总满足MN14B,则点N的轨迹是线段MB,HB,

MH,

所以点N的轨迹的长度为MB+HB+MH=8+4百+4g=8+873.

故答案为：1128；8+8V3.

先求出正四面体的表面积，由该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，得出小

正四面体的侧面积和底面面积可得答案；

通过证明AB垂直于一截面，从而得到点N的轨迹，即可得到答案.

本题考查了求多面体的表面积和求动点轨迹的长度问题，解题本题的关键是先证明

431平面”8，，得出点N的轨迹是线段MB,HB,MH,属于中档题.

17.【答案】解：选择条件①3asinC=^ccosA,

(1)在△ABC中，运用正弦定理可得，3sinAsinC=4sinCcosA,

vsinC。0,

・•・3sinA=4cosA,

vsin27l+cos2A=1,

X%,sinA>0,

:，s.mA.=4

5

(2)VBM=MC,

4

・•・cos乙BMC=-cosZ-BMA=—sinA=-

在△BMC中，运用余弦定理可得，18=262-262.(一令，

解得m=V5>

•••SHBMC==1x5x|=|,

在Rt中，

4Ji

vsinA=BM=遮，/-ABM-

AB=―4,

013V5r=15

・'•SfBM=5x=XV5=至，

c_315_27

一»ABC~28.8•

选择条件②2加加=y/SasinB,

•・•2bsin^~=y/SasinB,

2

・•・2bsin^^-=4SasinB,

2

由正弦定理可得，2sinBcos^=V5sinAsinB,

vsinB=#0,

•••2cos-=VSsinA=V5•2sin--cos-,

222

A_

vcos-H0,

2

444

-cos-=-

：,sinA225

(2)・・・BM=MC,

4

:.cos乙BMC=-cosZ-BMA=-sinA——

在△BMC中，运用余弦定理可得，18=27712-2血2.(一》,

解得m=V5,

•1•S.BMC=1m2sinzBMC=1x5x|=|,

在Rt△ABM中，

sinA=I，BM=V5,/-ABM=p

AB=

4

c13遍r=15

••・SfBM=5X丁XV5=百，

C3,1527

5A=---1----———.

288

【知识点】解三角形的实际应用、余弦定理、正弦定理

第20页，共26页

【解析】选择条件①3asinC=4ccos4(l)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解.(2)

根据已知条件，运用余弦定理，可得加=遮，再结合三角形面积公式，即可求解.

选择条件②2bs讥手=V^as讥8(1)根据已知条件，运用正弦定理，以及二倍角公式，

即可求解.(2)根据已知条件，运用余弦定理，可得m=的，再结合三角形面积公式,

即可求解.

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运

用，属于中档题.

18.【答案】证明：⑴•••底面ABC。是矩形，.•.4B〃CD,

■:点E、/分别是棱PC和PD的中点，二后尸〃。。，

：.AB//EF,

V.ABu平面PAB,EF,平面PAB,

EF〃平面PAB.

(2)-AP=AD,且尸为PO的中点，

.-.AF1.PD,

又平面PADJL平面ABCD,平面24。C平面力BCD=AD,CDLAD,

CD1平面PAD,

•••CDVAF,

•:PDCCD=D,PD、CDu平面PC£>,

AF，平面PCD,

•••AFu平面PAD,

平面24。L平面PCD.

【知识点】线面平行的判定、面面垂直的判定

【解析】(1)由矩形的性质知4B〃CD,由中位线的性质知EF〃CD,从而有AB//EF,再

由线面平行的判定定理，得证；

(2)由平面P4D，平面ABCD,可证CD，平面PAD,知CD1AF,而AF1PD,再结合

线面垂直和面面垂直的判定定理，得证.

本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直、面面垂

直的判定定理或性质定理是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力，属于中档题.

/3+x+9+15+18+y=60

19.【答案】解：(1)由题意得：18+y=2,

(3+X+9+15-3

化简得：。J?：,阴，解得：x=9,y=6,

故p=0.15,q=0.1,

补全的频率直方图如图示:

则1=0.25x0.05+0.75x0.15+1.25x0.15+1.75x0.254-2.25x0.3+2.75x

0.1=1.7(千元)，

Xv0.054-0.15+0.15=0.35,

—=0.3,

0.5

故这60名网友的网购金额的中位数为：1.5+0.3=1.8(千元),

•••平均数1.7<2,中位数1.8<2,

故根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”.

【知识点】众数、中位数、平均数、频率分布表、频率分布直方图

【解析】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数的计算问题，是常规

题.

(1)根据频数和与频数的计算问题，求出x与y的值，再计算p与q的值：求出小组(0.5,1]

与(2.5,3]的篇，得出对应纵坐标，画出完整的频率分布直方图；

(2)根据频率分布直方图，计算平均数和中位数即可.

20.【答案】解：(1)•••g(x)=-sin(y-x)+V3sin(7r+x)

・•・g(x)=cosx-V3sinx=-V3smx4-cosx

・•.g。)的伴随向量57=(-V3,1);

(2)向量不后=(1,b)的伴随函数为/(x)=sinx+显cosx,

=sinx+y[3cosx=2sin(x+；)=：,sin(%+g)=:

第22页，共26页

•••xe(W),二x+ge(0,》cos(x+g)=|,

nTI1nbn4-3>/3

sinx=sin[(x+-)--]=-sin(x+-)-委COS(X+#F-

(3)由(1)知：g(x)=-y/3sinx+cosx=-2sin(x-')

将函数g(x)的图象(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=-2sin(^x-勺,

No

再把整个图象向右平移等个单位长得到九(%)的图象，得到九㈤=-2s讥(沁-甘-

-)=-2sin(-x-^)=2cos-x,

6222

设P(%2cos；x),・・・4(-2,3),8(2,6),

:.~AP=(%+22cos三x—3),BP=(x—2,2cos^x—6)

又•・•丽1丽，・••而•丽=0

11

••.(%+2)(%—2)+(2cos-x—3)(2cos-x-6)=0

B|J%2-4+4COS2-X-18cos-x+18=0

22

19?25

(2cos-x--)z=--x9z(*)

113195

,•*—2W2cos~xW2,-----W2cos—x—W—,

22222

.谭W(2c*x—于〈詈，

■V7252,25

又'••二一'工二，

44

二当且仅当X=0时，(2cos[x-g)2和/同时等于B，这时(*)式成立.

.•・在y=九(x)的图象上存在点P(0,2),使得万IBP.

【知识点】函数尸Asin((ox+(p)的图象与性质

【解析】(1)根据辅助角公式进行化简，结合伴随向量的定义进行求解即可

(2)根据方程，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可

(3)根据三角函数的图象变换关系求出/i(x)的解析式，结合向量垂直建立方程关系进行

求解.

本题主要考查三角函数和向量的综合应用，根据伴随向量的定义，以及利用辅助角公式,

两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键.考查学生的运算能力，综合性较强,

有一定的难度.

21.【答案】解：(1)两台空调在质保期的两年内维修交数超过2次的概率为：

P=Clx-x-+C^x—x-+Clx-x-+C^x(-)2+废x(工)2=—.

z55z102z105Nk107N100

(2)方案一的维修费用X的可能取值为0,200,400,600,800,

P(X=0)=.02x0.8+.03x0.5+0.3x0.2=0.37,

P(X=200)=0.2x0.2+0.3x0.3+0.3x0.3+0.2x0.2=0.26,

P(X=400)=0.3x0.2+0.3x0.3+0.2x0.3=0.21,

P(X=600)=0.3