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文档简介
第四节
无穷大量与无穷小量本节学习目标010203掌握无穷小量的阶的定义能熟练判断无穷小量、无穷大量掌握无穷小量、无穷大量的概念掌握无穷小量的性质04一、无穷大量1.定义1.10若变量y的绝对值在变化过程中无限增大,则称变量y为无穷大量,记作limy=∞或y→∞本来无穷大量的极限是不存在的,形式上称它的极限为无穷大.无穷大量是指在变化过程中其绝对值无限增大,任何一个绝对值很大的常数都不为无穷大量,如常量函数y=1010不为无穷大量.3在无穷大量的变化过程中,它取值可能为正,也可能为负.2.无穷大量有两种特殊情况:一种是正无穷大量,这时无穷大量y在变化过程中的某一时刻后取值恒为正,记作limy=+∞或y→+∞另一种是负无穷大量,这时无穷大量y在变化过程中的某一时刻后取值恒为负,记作limy=-∞或y→-∞4例1
通过深入的讨论,可以得到:当x→∞时,x的多项式也为无穷大量.53.无穷大量具有下列性质:性质1正无穷大量与正无穷大量的和仍为正无穷大量,负无穷大量与负无穷大量的和仍为负无穷大量性质2无穷大量与无穷大量的积仍为无穷大量注意:无穷大量与无穷大量的代数和、无穷大量与无穷大量的商都不一定为无穷大量.下面再讨论变量的另一种变化趋势6二、无穷小量1.定义1.11若极限limy=0,则称变量y为无穷小量无穷小量是指在变化过程中其绝对值无限减小,任何一个绝对值很小但不为零的常数都不为无穷小量如常量函数y=10-10不为无穷小量.但常量零为无穷小量,但不能认为无穷小量就是零.7例2
82.无穷小量的性质无穷小量具有下列性质:性质1无穷小量与无穷小量的和、差、积仍为无穷小量性质2无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量注意:无穷小量与无穷小量的商不一定为无穷小量9例3
10
当角度u(x)→∞时,函数sinu(x)与cosu(x)是常见的振荡无极限的有界变量.3.极限存在的变量与无穷小量有什么联系?考虑变量y的极限为A,意味着变量y无限接近于常数A,即变量y-A无限接近于常数零,说明变量y-A的极限为零,变量y-A当然为无穷小量,于是有下面的定理.11极限存在与无穷小量的联系定理1.5变量y的极限为A等价于变量y-A为无穷小量无穷大量与无穷小量有什么联系?有下面的定理.12无穷大量与无穷小量的联系定理1.6
推论如果极限limu≠0,limv=0,且变量v≠0,则极限
13例4
解:由于分子的极限
分母的极限
根据定理1.6的推论,所以分式的极限
14无穷小量虽然都是趋于零的变量,但它们趋于零的速度却不一定相同,甚至差别很大
x0.10.010.0010.0001…x20.010.00010.0000010.00000001…0.320.10.0320.01…2x0.20.020.0020.0002…x2+x0.110.01010.0010010.00010001…15以无穷小量x作为比较标准时,无穷小量x2趋于零的速度比x要快,它们之比值的极限
16无穷小量2x趋于零的速度与x属于同一档次,它们之比值的极限
无穷小量x2+x趋于零的速度与x几乎一样,它们之比值的极限
17三、无穷小量的阶定义1.1
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