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文档简介

第七节

函数的连续性本节学习目标010203能熟练判断分段函数分界点处的连续性掌握函数在某点连续的定义了解连续函数的性质一、函数的连续性

3函数曲线断开与否,体现出函数的一个重要性质.函数曲线y=x2在原点处不断开,称函数y=x2在点x=0处连续

4函数y=x2在点x=0处连续,有什么特征?函数y=x2在点x=0处有定义,极限也存在,而且极限值等于函数值,都等于零.即有关系式51.函数的连续性定义1.14

62.函数的连续性与改变量的关系函数y=f(x)在点x0处连续,只能说明函数y=f(x)在点x0处及其左右的变化情况,它表示函数的局部性质那么它与函数改变量有什么关系?

当x→x0时,变量f(x)-f(x0)为无穷小量

7定理1.7已知函数f(x)在点x0处及其左右有定义,在点x0处的自变量改变量为Δx,相应的函数改变量为Δy,函数y=f(x)在点x0处连续等价于极限

8

若函数f(x)在区间I(可以是开区间,也可以是闭区间或半开区间)上每一点x处都连续,则称函数f(x)在区间I上连续,并称函数f(x)为区间I上的连续函数.连续函数的图形是一条不断开的连续曲线.9根据§1.3极限基本运算法则1至法则4,连续函数与连续函数的和、差、积、商及复合仍为连续函数,其中作为除式的连续函数取值须不为零.显然,单调连续函数的反函数仍为单调连续函数.根据§1.3极限基本运算法则5,所有初等函数是其定义域上的连续函数.10二、连续函数的性质连续函数具有下列性质:性质1如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则函数f(x)在闭区间[a,b]上有界,存在最大值与最小值;性质2如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且函数值f(a)与f(b)异号,则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=0

(a<ξ<b)性质3如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,且f(x)≠0,则对于开区间(a,b)内所有点x,函数f(x)同号.11例1若分段函数

在分界点x=0处连续,则常数a=

.

12

=e5

a=e513例2已知分段函数

在

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