微积分 第七版 课件 4.6 不定积分第二换元法则_第1页
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文档简介

1第六节

不定积分第二换元法则本节学习目标010203了解第一换元法则与第二换元法则的区别理解不定积分第二换元法则能熟练进行不定积分第二换元法则计算一、不定积分第二换元法则∫f(φ(t))φ'(t)dt=F(φ(t))+c根据§4.4不定积分第一换元积分法则,如果对于自变量x,有不定积分∫f(x)dx=F(x)+c则对于中间变量x=φ(t),也同样有不定积分∫f(x)dx=F(x)+c即有31.不定积分第二换元法则引入是否还成立?现在提出相反的问题:如果对于自变量t,有不定积分∫f(φ(t))φ'(t)dt=F(φ(t))+c那么对于自变量x,问不定积分∫f(x)dx=F(x)+c4不定积分第二换元积分法则给出了肯定的回答.2.不定积分第二换元法则∫f(x)dx=F(x)+c不定积分第二换元积分法则内容已知函数f(x)连续,对不定积分∫f(x)dx作变量代换x=φ(t),函数x=φ(t)单调可导,且一阶导数φ'(t)连续,如果对于自变量t,有不定积分∫f(φ(t))φ'(t)dt=F(φ(t))+c则对于自变量x,有不定积分5不定积分第二换元法则证明dx=φ'(t)dt证:由于函数x=φ(t)单调,因而它存在反函数t=φ-1(x);又由于函数x=φ(t)可导,当然可微,根据§2.7函数微分表达式,于是微分dx=φ'(t)dt根据§2.7定理2.4关于微分形式不变性的结论,当变量t不是自变量而是中间变量,即变量t为自变量x的函数t=φ-1(x)时,同样有微分6f(φ(t))φ'(t)dt=dF(φ(t))对于已知不定积分∫f(φ(t))φ'(t)dt=F(φ(t))+c等号两端皆取微分,根据§4.1定理4.2,得到关系式f(φ(t))φ'(t)dt=dF(φ(t))根据§2.7定理2.4关于微分形式不变性的结论,当变量t不是自变量而是中间变量,即变量t为自变量x的函数t=φ-1(x)时,同样有关系式7∫f(x)dx=F(x)+c注意到函数t=φ-1(x)与x=φ(t)互为反函数,它们是等价的,又微分dx=φ'(t)dt,于是得到关系式f(x)dx=dF(x)等号两端皆取不定积分,根据§4.1定理4.3,所以对于自变量x,有不定积分8不定积分第二换元法则说明：

对不定积分∫f(x)dx可以通过作变量代换x=φ(t)达到求解的目的.关键在于:变量代换x=φ(t)表达式的选择要使得新积分变量为变量t的不定积分很容易求得结果.

9将原积分变量为自变量x的不定积分化为新积分变量为变量t的不定积分则可以令变量

即作变量代换

10例1

=2(t-ln|t+1|)+c11例2

=2ln|t+1|+c

12例3

=2arctant+c13例4

14例5

=3ln(t2+1)+c

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