微积分 第7版 课件 第二章 导数与微分

第二章导数与微分第一节导数的概念第二节导数基本运算法则第三节导数基本公式第四节复合函数导数运算法则第五节隐函数的导数第六节高阶导数第七节微分1本章思维导图引导案例---边际分析问题

讨论：日产量为100公斤是不是最好的日产量？分析：100公斤是不是最好的日产量，取决于是不是使每天的利润最大，通常该问题的解决可以用计算利润函数的最值法来判断。这里我们用一个简单的方法—边际分析的方法解决此问题。第一节

导数的概念本节学习目标010203能利用导数定义计算某些极限理解导数的概念及几何意义了解导数的物理意义04能利用导数定义计算某些基本初等函数的导数例1平面曲线的切线已知函数曲线y=f(x),它经过点M0(x0,y0),取函数曲线y=f(x)上的另外一点M(x0+Δx,y0+Δy),作割线M0M6

当Δx→0时,动点M沿着函数曲线y=f(x)无限接近于固定点M0,从而使得割线M0M的位置也随着变动,若割线M0M的极限位置存在,则称此极限位置M0T为函数曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)处的切线7

8例2直线运动的瞬时速度

在物体作直线运动时,它距出发点走过的路程s是经过时间t的函数s=s(t),称为运动方程.物体在时刻t=t0距出发点走过的路程为s(t0),在时刻t=t0+Δt距出发点走过的路程为s(t0+Δt),从而在时刻t0到t0+Δt这一段时间间隔Δt内,所走过的路程为Δs=s(t0+Δt)-s(t0)其平均速度为

9

10一、导数的定义1.定义2.1已知函数y=f(x)在点x0处及其左右有定义,自变量x在点x0处有了改变量Δx≠0,相应函数改变量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).

还可以记作11导数的定义

同时存在且相等比值的左极限与右极限分别称为函数y=f(x)在点x0处的左导数值与右导数值,于是有下面的定理.12定理2.1函数y=f(x)在点x0处可导等价于

同时存在且相等.13

当函数f(x)的定义域为闭区间[a,b]时,只要函数f(x)在左端点a处的右导数值存在,就认为函数f(x)在左端点a处可导只要函数f(x)在右端点b处的左导数值存在,就认为函数f(x)在右端点b处可导.根据导数值的定义,在例1中,函数曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)处的切线斜率k=f'(x0)这给出了导数值的几何意义.14

v=s'(t0)152.求导方法导数值的定义已经给出了求导数值f'(x0)的具体方法:当自变量改变量Δx趋于零时,计算函数改变量f(x0+Δx)-f(x0)与自变量改变量Δx之比值的极限.在计算这个比值的极限过程中,变量为自变量改变量Δx.根据§1.3定理1.3,这个比值的极限值与变量记号无关,因此自变量改变量的记号不仅可以表示为Δx,也可以表示为3Δx或-Δx,甚至可以表示为h或x,当然这个比值的分母必须与作为分子的函数改变量表达式中的自变量改变量记号完全一致16而且自变量改变量一定趋于零.于是有

=…17例3

18例3解:计算极限

=-3f'(x0)（a）19例4

解:计算极限

=2f'(x0)再从已知条件得到关系式2f'(x0)=4,因而导数值f'(x0)=22203.函数可导与连续的关系定理2.2如果函数y=f(x)在点x0处可导,则函数y=f(x)在点x0处连续.证:由于函数y=f(x)在点x0处可导,因而有极限

当自变量改变量Δx趋于零时,考察函数改变量Δy的极限,有

根据§1.7定理1.7,所以函数y=f(x)在点x0处连续.21

22由于此极限不存在,于是它在点x=0处不可导.再如分段函数f(x)=|x|在分界点x=0处显然连续;考虑左导数值

=-123函数可导与连续的关系而右导数值

尽管左导数值与右导数值都存在,但不相等,根据定理2.1,于是它在分界点x=0处不可导.综合上面的讨论得到:对于一元函数,可导一定连续,但连续不一定可导

=124

若函数y=f(x)在区间I(可以是开区间,也可以是闭区间或半开区间)上每一点x处都可导,则称函数y=f(x)在区间I上可导,或称函数y=f(x)在区间I上对自变量x可导,并称函数y=f(x)为区间I上的可导函数.这样,对于区间I上每一点x,恒有一个导数值与之对应,于是得到一个新的函数,这个新的函数称为函数y=f(x)的导函数,简称为导数,也称为函数y=f(x)对自变量x的导数,记作25二、可导函数的定义

还可以记作

26应用求导数的具体方法,容易得到：

常量函数f(x)=c(c为常数)的导数

说明常量的导数等于零,即(c)'=0

(c为常数)

=027三、常用基本初等函数导数计算例5求函数f(x)=x2的导数.

28例6

29考虑函数f(x),若已经求出导数f'(x),则导数f'(x)在属于定义域的点x0处的函数值就是函数f(x)在点x0处的导数值,即说明在导数f'(x)的表达式中,自变量x用数x0代入就得到导数值f'(x0).值得注意的是:函数f(x)的导数f'(x)也可以用(f(x))'表示,它们的含义是一样的,即f'(x)=(f(x))'30但是函数f(x)在点x0处的导数值f'(x0)却不能用(f(x0))'表示,这是由于(f(x0))'代表函数值f(x0)即常数的导数,当然等于零,因而它们的含义是不一样的,即f'(x0)≠(f(x0))'3132本次课程结束第二节

导数基本运算法则本节学习目标010203能熟练利用运用四则法则进行导数计算掌握导数的四则运算法则了解函数导数与反函数导数的关系一、导数基本运算法则

尽管导数的定义给出了求导数的具体方法,但是若对每一个函数都直接根据定义求得导数,则工作量是很大的.因此有必要给出导数基本运算法则,以简化求导数的计算.下面给出导数基本运算法则:法则1如果函数u=u(x),v=v(x)都可导,则导数(u±v)'=u'±v'35证:对应于自变量改变量Δx≠0,函数u,v分别取得改变量Δu,Δv,从而函数y=u±v取得改变量Δy=[(u+Δu)±(v+Δv)]-(u±v)

=Δu±Δv36

即导数(u±v)'=u'±v'

=u'±v'37法则2如果函数u=u(x),v=v(x)都可导,则导数(uv)'=u'v+uv'证:对应于自变量改变量Δx≠0,函数u,v分别取得改变量Δu,Δv,从而函数y=uv取得改变量Δy=(u+Δu)(v+Δv)-uv=Δu·v+uΔv+ΔuΔv38

=u'v+uv'+u'·0=u'v+uv'39法则3如果函数u=u(x),v=v(x)都可导,且函数v≠0,则导数

40于是导数

41法则1可以推广：

它对于m个函数的代数和也是适用的如果有限个函数u1=u1(x),u2=u2(x),…,um=um(x)都可导,则导数(u1+u2+…+um)'=u'1+u'2+…+u'm42二、运算法则推广法则2可以推广,它对于m个函数的积也是适用的如果有限个函数u1=u1(x),u2=u2(x),…,um=um(x)都可导,则导数(u1u2…um)'=u'1u2…um+u1u'2…um+…+u1u2…u'm特别地,如果函数u=u(x),v=v(x)及w=w(x)都可导,根据导数基本运算法则2的推论,则导数(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'43考虑特殊情况下的法则2:如果函数v=v(x)可导,k为常数,则导数(kv)'=(k)'v+kv'=0+kv'=kv'说明常系数可以提到导数记号外面.44考虑特殊情况下的法则3:如果函数v=v(x)可导,且函数v≠0,则导数

45三、函数导数与反函数导数的关系为了推导导数基本公式的需要,下面给出函数导数与反函数导数的关系.定理2.3

46证:由于函数x=f-1(y)在开区间J内单调,说明变量x与y一一对应;又由于函数x=f-1(y)在开区间J内可导,当然连续这样,函数x=f-1(y)的反函数y=f(x)也在对应区间内单调连续.于是当变量x有了改变量Δx≠0时,变量y的改变量Δy≠0,且当Δx→0时,也有Δy→0.所以导数

47总结：综合上面的讨论,得到导数基本运算法则:法则1

(u±v)'=u'±v'法则2

(uv)'=u'v+uv'

48导数基本运算法则推论推论1

(u1+u2+…+um)'=u'1+u'2+…+u'm推论2

(u1u2…um)'=u'1u2…um+u1u'2…um+…+u1u2…u'm推论3

(kv)'=kv'

(k为常数)

4950本次课程结束第三节

导数基本公式本节学习目标010203能熟练利用运用四则则进行导数计算掌握基本初等函数的导数公式了解导数的经济意义一、导数基本公式基本初等函数的导数构成导数基本公式1.常量函数y=c

(c为常数)在§2.1中已经得到导数y'=0532.正整数指数幂函数y=xn(n为正整数)

=nxn-1可以证明:对于任意常数α,幂函数y=xα的导数y'=αxα-154例1(x2)'=2x

=(x-1)'=-x-2

55例2求函数y=x4+7x3-x+10的导数.解:y'=(x4)'+7(x3)'-(x)'+(10)'=4x3+21x2-1+0=4x3+21x2-156例3

573.指数函数y=ax(a>0,a≠1)

58令u=aΔx-1,即Δx=loga(1+u);当Δx→0时,u→0

=axlna特别地,若a=e,则得到指数函数y=ex的导数y'=ex59例4(2x)'=2xln2(3x)'=3xln3(10x)'=10xln10应注意的是:要正确区分幂函数与指数函数,幂函数的特征是底在变而指数不变,指数函数的特征是底不变而指数在变,不能把指数函数误认为幂函数,如函数2x是指数函数而不是幂函数,因此不能应用幂函数导数基本公式求其导数,即导数(2x)'≠x2x-1.60例5求函数y=xe-ex+ee的导数.解:注意到函数y的表达式中第3项ee为常数项,其导数等于零,所以导数y'=exe-1-ex+0=exe-1-ex61例6求函数y=x2ex的导数.解:y'=(x2)'ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=(2x+x2)ex624.对数函数y=logax(a>0,a≠1)对数函数y=logax的反函数为指数函数x=ay(a>1,a≠1),根据§2.2定理2.3,得到导数

特别地,若a=e,则得到对数函数y=lnx的导数

63例7

64例8

65例9求函数y=xexlnx的导数.解:y'=(x)'exlnx+x(ex)'lnx+xex(lnx)'

=exlnx+xexlnx+ex=ex(lnx+xlnx+1)665.三角函数(1)y=sinx

=cosx67(2)y=cosx

=-sinx68(3)y=tanx

=sec2x69(4)y=cotx

=-csc2x70例10求函数y=exsinx的导数.解:y'=(ex)'sinx+ex(sinx)'=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)71例11

72例12求函数y=tanx+cotx的导数.解:y'=sec2x-csc2x=(1+tan2x)-(1+cot2x)=tan2x-cot2x736.反三角函数(1)y=arcsinx

74(2)y=arccosx

75(3)y=arctanx

76(4)y=arccotx

77例13求函数y=arcsinx-arccosx的导数.

78例14求函数y=x-arctanx的导数

79例15

80对于经济学中的函数而言,因变量对自变量的导数,统称为“边际”.即：

边际收益就是总收益

对销量

的导数。边际收益函数为二、导数的经济意义

经济领域中的“边际（函数）”就等于数学上的“求导”，这是导数的经济意义。边际成本就是总成本

对产量

的导数,边际成本函数为边际利润就是总利润L对销量的导数。边际利润为

生产第单位产品，总成本增加(实际上是近似的)的数量线性总成本函数

这说明,产量为任何水平时,每增加单位产品,总成本都增加6.如:由于边际成本

总成本函数

例1:由于边际成本

即边际成本是的函数,说明在不同的产量水平上,每增加单位产品,总成本的增加额将是不同的.三、导数基本公式总结综合上面的讨论,得到导数基本公式:公式1

(c)'=0

(c为常数)公式2

(xα)'=αxα-1

(α为常数)公式3

(ax)'=axlna

(a>0,a≠1)公式4

(ex)'=ex

83导数基本公式总结

公式7

(sinx)'=cosx公式8

(cosx)'=-sinx公式9

(tanx)'=sec2x公式10

(cotx)'=-csc2x84导数基本公式总结

8586本次课程结束第四节

复合函数导数运算法则本节学习目标010203能熟练进行复合函数求导计算掌握复合函数导数运算法则理解推广的导数基本公式一、复合函数导数运算法则已知函数y=f(u)对变量u可导,函数u=u(x)对变量x可导,考虑复合函数y=f(u(x))对自变量x的导数

为避免混淆,规定复合函数y=f(u(x))对自变量x的导数记作y'或(f(u(x)))',

复合函数y=f(u(x))对中间变量u的导数记作y'u或f'(u(x)),中间变量u=u(x)对自变量x的导数记作u'或u'(x)891.复合函数导数运算法则复合函数导数运算法则如果函数u=u(x)在点x处可导,函数y=f(u)在对应点u处可导,则复合函数y=f(u(x))在点x处可导,且导数y'=f'(u(x))u'(x)90证:对应于自变量改变量Δx≠0,中间变量u取得改变量Δu,复合函数y取得改变量Δy.

91复合函数导数运算法则

=f'(u(x))u'(x)所以导数92复合函数导数运算法则这个法则还可以表示为

它说明:复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.93二、导数基本公式推广对于导数基本公式,应用复合函数导数运算法则,得到推广的导数基本公式:公式1

(c)'=0

(c为常数)公式2

(uα)'=αuα-1u'

(α为常数)公式3

(au)'=aulna·u'

(a>0,a≠1)公式4

(eu)'=euu'

94导数基本公式推广

公式7

(sinu)'=cosu·u'公式8

(cosu)'=-sinu·u'公式9

(tanu)'=sec2u·u'公式10

(cotu)'=-csc2u·u'95导数基本公式推广

96三、复合函数导数计算步骤在求复合函数y的导数时,首先如§1.1那样引进中间变量u,将复合函数y分解为基本初等函数y=f(u)与函数u=u(x),然后根据复合函数导数运算法则计算导数y',其步骤如下:步骤1计算导数f'(u)的表达式,并表示为自变量x的函数,得到f'(u(x)).在这个过程中,并不急于计算导数u'(x)的表达式,仅在导数y'的表达式中将因式u'(x)乘在因式f'(u(x))的后面;97步骤2计算导数u'(x)的表达式:若函数u(x)为基本初等函数或简单函数,则立即求出导数u'(x)的表达式,因而得到导数y'的表达式;若函数u(x)仍为复合函数,则继续分解复合函数u=u(x),并重复上述步骤,直至最终得到导数y'的表达式.

这样就将复合函数的导数运算归结为基本初等函数或简单函数的导数运算,从而得到结果.在上述计算复合函数导数的两个步骤中,关键是第一个步骤.98例1求函数y=(3x+2)10的导数.解:将复合函数y=(3x+2)10分解为y=u10与u=3x+2根据复合函数导数运算法则,得到复合函数y对自变量x的导数y'=(u10)'u(3x+2)'=10u9(3x+2)'=10(3x+2)9(3x+2)'=30(3x+2)999例2

100例3

101例4求函数y=e-x的导数.解:y'=e-x(-x)'=-e-x102例5求函数y=log2(1+x2)的导数.

103例6求函数y=lnlnx的导数.

104例7求函数y=sinx3的导数.解:y'=cosx3·(x3)'=3x2cosx3105例8求函数y=sin3x的导数.解:y'=3sin2x(sinx)'=3sin2xcosx106例9

107例10

108在例1至例10中,由于复合函数只需经过一次分解就达到分解的要求,从而一次应用复合函数导数运算法则就得到结果.若复合函数需两次甚至多次分解才能达到分解的要求,则两次甚至多次应用复合函数导数运算法则才能得到结果.109例11

在计算两个函数之和、差、积、商的导数时,若其中至少有一个为复合函数,则首先应用导数基本运算法则,然后应用复合函数导数运算法则得到结果.110例12

111例13

根据导数基本运算法则、导数基本公式及复合函数导数运算法则,求初等函数的导数问题已经得到解决.在导数运算中,应该注意化简导数表达式.112例14求函数y=ex(sin3x-3cos3x)的导数.解:y'=ex(sin3x-3cos3x)+ex[cos3x·(3x)'+3sin3x·(3x)']=ex(sin3x-3cos3x)+ex(3cos3x+9sin3x)=10exsin3x113必须特别强调的是:在复合函数导数运算中,导数记号“'”在不同位置表示对不同变量求导数,不可混淆.如导数f'(sinx)表示复合函数f(sinx)对中间变量u=sinx求导数,而导数(f(sinx))'表示复合函数f(sinx)对自变量x求导数,根据复合函数导数运算法则,它们之间的关系为(f(sinx))'=f'(sinx)(sinx)'=f'(sinx)cosx114例15已知函数f(x)可导,若函数y=sinf(x),则导数y'=

.

解:根据复合函数导数运算法则,得到导数y'=cosf(x)·f'(x)=f'(x)cosf(x)115若求初等函数f(x)在属于定义域的点x0处的导数值f'(x0),不必直接根据导数值的定义去计算相应比值的极限,而是根据§2.1给出的关系式计算导数值f'(x0).即首先求出导数f'(x),然后在导数f'(x)的表达式中,自变量x用数x0代入所得到的数值就是所求导数值f'(x0).116例16已知函数f(x)=xex,求导数值f'(0).解:计算导数f'(x)=ex+xex=(1+x)ex在导数f'(x)的表达式中,自变量x用数0代入,得到所求导数值f'(0)=1117四、分段函数的一阶导数若求分段函数在分段区间内的一阶导数,则根据导数基本运算法则、导数基本公式及复合函数导数运算法则求得.如考虑分段函数

当x<0时,有

118分段函数的一阶导数当x>0时,有

于是得到一阶导数

119120本次课程结束第五节

隐函数的导数本节学习目标0102能熟练计算隐函数的导数理解隐函数求导方法一、隐函数求导方法已知方程式F(x,y)=0确定变量y为x的函数y=y(x),如何求函数y对自变量x的导数y'?具体做法是:

方程式F(x,y)=0等号两端皆对自变量x求导数,然后将含导数y'的项都移到等号的左端,而将不含导数y'的项都移到等号的右端,经过代数恒等变形,就得到导数y'的表达式,这个表达式中允许出现函数y的记号.在隐函数导数运算过程中,要注意应用复合函数导数运算法则.123若方程式F(x,y)=0分别确定几个函数y=y1(x),y=y2(x),…,则由上述方法求得的导数y'分别代表这几个函数的导数,它们用一个表达式表示,其中出现的函数y的记号分别代表这几个函数.

在隐函数导数运算的过程中,必须非常明确变量y为自变量x的函数.下面讨论经常用到的几个变量对自变量x的导数:考虑变量xy对自变量x的导数,根据§2.2导数基本运算法则2,有(xy)'=y+xy'124考虑变量y2,ey及lny对自变量x的导数,注意到变量y2,ey及lny分别为变量y的函数,变量y又为自变量x的函数,因而变量y2,ey及lny分别为自变量x的复合函数,中间变量为变量y,根据§2.4复合函数导数运算法则,有(y2)'=2yy'(ey)'=eyy'

至于其他有关变量对自变量x的导数,根据导数基本运算法则、导数基本公式及复合函数导数运算法则,容易得到结果.如(y3)'=3y2y',(siny)'=cosy·y'等.125例1

方程式x2+3xy+y2=1确定变量y为x的函数,求导数y'.解:方程式x2+3xy+y2=1等号两端皆对自变量x求导数,有2x+3(y+xy')+2yy'=0即有3xy'+2yy'=-(2x+3y)得到(3x+2y)y'=-(2x+3y)所以导数

126例2方程式y=x3+xey确定变量y为x的函数,求导数y'.解:方程式y=x3+xey等号两端皆对自变量x求导数,有y'=3x2+(ey+xeyy')即有y'-xeyy'=3x2+ey得到(1-xey)y'=3x2+ey所以导数

127例3方程式y=xlny确定变量y为x的函数,求导数y'.解:方程式y=xlny等号两端皆对自变量x求导数,有

即有

得到

所以导数

128二、求隐函数y=y(x)在其平面曲线上点(x0,y0)处的导数值首先，求出导数y'；其次，在导数y'的表达式中,自变量x用数x0代入；则因变量y用数y0代入所得到的数值就是所求导数值129例4方程式ysinx+ey-x=1确定变量y为x的函数,则导数值解:方程式ysinx+ey-x=1等号两端皆对自变量x求导数,有(y'sinx+ycosx)+eyy'-1=0即有y'sinx+eyy'=1-ycosx=

130得到(sinx+ey)y'=1-ycosx因而导数

在导数y'的表达式中,自变量x用数0代入、因变量y用数0代入,得到所求导数值=1131132本次课程结束第六节

高阶导数本节学习目标0102能熟练计算函数的二阶导数理解高阶导数定义一、高阶导数函数的导数仍为自变量的函数,还可以考虑它对自变量求导数.1.二阶导数定义2.2函数y=f(x)的导数f'(x)再对自变量x求导数,所得到的导数称为函数y=f(x)的二阶导数,记作f″(x)=(f'(x))'还可以记作

同时称导数f'(x)为函数y=f(x)的一阶导数.1352.高阶导数类似地,函数y=f(x)的n-1阶导数的导数称为函数y=f(x)的n阶导数,记作f(n)(x)=(f(n-1)(x))'

(n=2,3,…)还可以记作

函数存在n阶导数也称为n阶可导,正整数n称为导数的阶数,二阶与二阶以上的导数统称为高阶导数1363.二阶导数求法显然,求高阶导数只需反复应用导数基本运算法则、导数基本公式及复合函数导数运算法则,并不需要新的方法.已知函数,若求其二阶导数,必须先求出一阶导数,一阶导数表达式再对自变量求一阶导数,就得到二阶导数.137例1求函数y=(1+x2)arctanx的二阶导数.解:先计算一阶导数

=2xarctanx+1所以二阶导数

138例2

解:先计算一阶导数

=-(1+x)-2所以二阶导数y″=2(1+x)-3(1+x)'

139例3求函数y=ln(1+x2)的二阶导数.解:计算一阶导数

所以二阶导数

140例4求函数y=sinlnx的二阶导数.解:计算一阶导数y'=coslnx·(lnx)'

所以二阶导数

141例5

若函数y的n-2阶导数y(n-2)=lncosx,则函数y的n阶导数y(n)=

.

解:函数y的n-2阶导数y(n-2)对自变量x求导数,得到函数y的n-1阶导数

=-tanx函数y的n-1阶导数y(n-1)再对自变量x求导数,就得到函数y的n阶导数y(n)=-sec2x-sec2x函数在属于定义域的点x0处的二阶导数值为二阶导数的表达式中自变量x用数x0代入所得到的数值.142例6

(a)-2

(b)-1

(c)0 (d)2143例6解:计算一阶导数

于是二阶导数

因而得到所求二阶导数值f″(0)=2(d)144145本次课程结束第七节

微

分本节学习目标0102能熟练计算函数的微分了解微分的作用掌握微分的概念03例1正方形面积改变量的近似值在实际问题中,有时还需要研究函数改变量的近似值.已知正方形边长为x=x0,对应于边长x的改变量Δx>0,面积y取得改变量

=2x0Δx+(Δx)2148当边长改变量的绝对值|Δx|很小时,面积改变量Δy与边长改变量Δx的正比例函数2x0Δx之差Δy-2x0Δx=(Δx)2的绝对值就更小.即当Δx→0时,存在边长改变量Δx的正比例函数2x0Δx,使得差Δy-2x0Δx=(Δx)2为无穷小量,且是比Δx较高阶无穷小量.149于是可以把正比例函数2x0Δx作为面积改变量Δy的近似值,即Δy≈2x0Δx

(|Δx|很小)其中自变量改变量Δx的系数2x0恰好就是函数y=x2在点x0处的一阶导数值容易看出:可以用划斜线的两块矩形面积的和2x0Δx近似代替正方形面积改变量Δy,误差为划交叉斜线的小正方形面积(Δx)2150一、微分1.定义2.3已知函数y=f(x)在点x0处及其左右有定义,自变量x在点x0处有了改变量Δx≠0,若函数y=f(x)在点x0处可导,则称自变量改变量Δx的正比例函数f'(x0)Δx为函数y=f(x)在点x0处的微分值,记作可以证明:当Δx→0时,相应函数改变量Δy与微分值f'(x0)Δx之差Δy-f'(x0)Δx为无穷小量,且是比Δx较高阶无穷小量,此时称函数y=f(x)在点x0处可微.151若函数y=f(x)在点x0处可微,当自变量改变量的绝对值|Δx|很小时,则函数y=f(x)在点x0处的改变量Δy近似等于在点x0处